Диссертация (1102933), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Зависимость измеренного фактора потерь в модах колебаний от их резонансных частот (точки). Расчетный уровень термоупругих потерь для таких мод колебаний(штриховая линия).99что потери в креплении уменьшаются при увеличении . Поэтому можнопредположить, что потери в креплении являются причиной избыточного затухания для . 6. При больших значениях предположительно определяющее значение имеют поверхностные потери, которые в механических резонаторах обычно считаются практически не зависящими от частоты.
Посколькумеханизм поверхностных потерь достаточно сложен и во многом до сих порне изучен, этот вид потерь затруднительно моделировать теоретически. Измеренные величины фактора потерь ≈ 4 × 10−6 для мод колебаний с & 26соответствуют уровню поверхностных потерь для кремниевых резонаторовблизких поперечных размеров [81].3.2.4. Нелинейность вынужденных колебаний кремниевыхдисковых резонаторовПри увеличении амплитуды возбуждения на частотах, близких к резонансным частотам мод колебаний пластины, наблюдается нелинейный режимколебаний. Данная нелинейность имеет в основном геометрическую природу.Уравнения движения тонкого диска с учетом деформаций его средней плоскости были проанализированы и решены в [75].
Полная картина нелинейныхколебаний включает множество типичных явлений, таких как гистерезис искачкообразные изменения амплитуды, нелинейная связь между различными модами колебаний, генерация третьей гармоники и хаотическое поведение при больших амплитудах. В экспериментах были получены нелинейныерезонансные кривые мод колебаний пластины, для которых не наблюдалосьрасщепления резонансных частот, при относительно небольших амплитудахколебаний.
В данном случае допустимо пренебречь нелинейной связью междуразличными модами колебаний пластины и использовать уравнения, описы10010,8,56040226,440227,42,=202(1+3/43810)-242040226,040226,440226,840227,2,Рис. 3.22. Полученные в эксперименте резонансные кривые моды колебаний си = 0 = 19в нелинейном режиме. Различные кривые соответствуют различным амплитудам управляющего напряжения. Кривые были получены при положительном направлении сканирования по частоте. На врезке показаны резонансные кривые для той же модыколебаний и фиксированной амплитуде управляющего напряжения, полученные при положительном и отрицательном направлениях сканирования по частоте.101вающие только возбуждаемую моду колебаний [75]: (,,) = ()() cos ,(3.68)где () определяется из уравнения[︀]︀¨() + 2()˙ + Ω20 () 1 + Γ 2 () = 0 cos Ω.(3.69)Здесь 0 cos Ω — приведенная внешняя сила, — коэффициент затухания,Ω0 — резонансная частота рассматриваемой моды колебаний, Γ — коэффициент, определяющий величину нелинейности, величина которого может бытьполучена из измеренных резонансных кривых.
Полученные в экспериментерезонансные кривые моды колебаний с = 19 и = 0 приведены на рис. 3.22.Различные кривые соответствуют различным амплитудам напряжения на актюаторе, все приведенные кривые были получены при увеличении частотыэтого напряжения. Резонансные кривые той же моды колебаний, полученныепри увеличении и уменьшении частоты напряжения на актюаторе, показаны на врезке рис. 3.22. Амплитуда колебаний оценивалась в соответствиис результатами калибровки емкостного сенсора.
Для осциллятора Дуффинга, описываемого уравнением (3.69), значение коэффициента нелинейности Γможет быть получено как параметр аппроксимации скелетной кривой, определяемой положениями максимальных значений амплитуды колебаний резонансных кривых2Ω =Ω20(︂)︂3 21 + Γ ,4(3.70)а также из экспериментально измеренных частот, на которых скачкообразноуменьшается и увеличивается амплитуда колебаний [82]. Значения Γ, полученные с помощью обоих указанных методов, составляют около 3 × 108 м−2 .102Глава 4Трехмодовая электромеханическая системауправляемого демпфирования изгибных модколебаний дисковых резонаторов4.1.
Теоретическое описаниеТрехмодовые системы, образованные двумя оптическими модами и механической модой колебаний, в настоящее время активно исследуются в оптомеханике [83–85]. В частности, изучаются перспективы возможного проведениямакроскопических квантовых экспериментов с такими системами [86, 87].В этом разделе предложена трехмодовая система управляемого демпфирования изгибных мод колебаний дисковых резонаторов — на примерепластин из монокристаллического кремния, описанных в предыдущей главе. В основе предлагаемой системы лежит параметрическое взаимодействиемежду механическим осциллятором с резонансной частотой Ω и системойиз двух индуктивно связанных между собой электрических радиочастотныхколебательных контуров, осуществляемое посредством емкостного преобразователя.Система представлена на рис.
4.1. Механический осциллятор с приведенными параметрами — массой , угловой резонансной частотой Ω и коэффициентом затухания Γ = Ω / — соединяется параметрической связьюс радиочастотным электрическим колебательным контуром, образованнымемкостью 1 , индуктивностью 1 и сопротивлением 1 с резонансной часто√той 1 = 1/ 1 1 .
В контур включен источник переменного напряжения = 1/2(0 + к.с.).103Рис. 4.1. Схема трехмодовой системы демпфирования, основанной на взаимодействии механического осциллятора с двумя связанными электрическими колебательными контурами.104Полная емкость электрического контура 1 может быть представлена ввиде суммы «рабочей» емкости плоскопараллельного емкостного преобразователя и паразитной емкости . Емкость между жестко закрепленнойпластиной преобразователя и подвижной пластиной, закрепленной на колеблющейся массе, при движении осциллятора модулируется его смещением ()(0)(0)и может быть записана в виде = /(1 − ()/), где = 0 / и — соответственно емкость преобразователя и расстояние между пластинами в отсутствие механического движения, 0 — электрическая постоянная и — площадь пластины преобразователя.Полагая амплитуду колебаний осциллятора малой по сравнению с расстоянием между электродами , введем малый параметр = 0 / << 1,так что = 0 () = (), где |()| ≤ 1.
Раскладывая полную емкостьэлектрического контура по степеням , получим с точностью до членов, пропорциональных 2 , выражение1 ≃(0)где 1 = (0)1,1 − ()(0)+ и = /( + ).Электрически заряженные до величины заряда пластины емкостногопреобразователя притягиваются с силой = 2 /(20 ).Описанный выше электрический колебательный контур (будем в дальнейшем называть его первичным) индуктивно связан с другим, вторичным,контуром с угловой резонансной частотой 2 , емкостью 2 , индуктивностью2 , сопротивлением 2 . Взаимная индуктивность между двумя контурамиравна .Уравнения движения для такой системы можно записать в следующем105виде:¨1 + Γ1 ˙1 +12 112 1+ 1 ¨2 −1 = 0 + к.с.2¨2 + Γ2 ˙2 + 22 2 + 2 ¨1 = 0,¨ + Γ ˙ +Ω2 2 12,=20 (4.1)(4.2)(4.3)где 1 и 2 — величины электрического заряда конденсаторов 1 и 2 соответственно, 1,2 = /1,2 — константы связи, Γ1,2 = 1,2 /1,2 и 0 = 0 /1 .Учитывая малость параметра , решение будем искать в виде разложения по степеням , пренебрегая всеми членами, пропорциональными для ≥ 2:1[10 + 11 ()] + к.с.,212 = [20 + 21 ()] + к.с.,21 = Ω + к.с.21 =(4.4)(4.5)(4.6)Подставляя (4.4-4.6) в (4.1-4.3), приравнивая члены с одинаковыми степенями и принимая во внимание, что амплитуды 11 и 21 можно рассматривать как медленно меняющиеся (т.е.
пренебречь членами, пропорциональными ¨1 и Γ ˙1 , = 1,2), получим следующую систему уравнений:[︀ 2]︀− + Γ1 + 12 10 − 1 2 20 = 0 ;[︀ 2]︀− + Γ2 + 22 20 − 2 2 10 = 0;(4.7)(4.8)[︀]︀[︀]︀12 ˙11 + − 2 + Γ1 + 12 11 − 1 2 21 = 12 10 Ω + −Ω ; (4.9)2[︀ 2]︀2 ˙21 + − + Γ2 + 22 21 − 2 2 11 = 0.(4.10)Первая пара уравнений описывает стационарное решение для электрической подсистемы при отсутствии механического смещения осциллятора. Ре106шая эти уравнения, получим для 10 выражение10 = 0 −2 ()Ψ() ,(4.11)где1,() = √︁22Δ () + ()tg Ψ() = − ()/Δ (),Δ и выражаются следующим образом:1 2 Δ2 (),Δ22 () + 22 ()1 2 2 ()1 ()+ 2.Δ2 () + 22 ()Δ () =−Δ1 ()+ () =(4.12)(4.13)2Здесь были введены безразмерные функции расстройки Δ1,2 () = 1 − 1,2/ 2и безразмерные коэффициенты затухания 1,2 () = Γ1,2 / .Подставляя (4.11) в (4.9), получим следующее решение второй пары уравнений:11 = 11+ Ω + 11− −Ω ,11± =112 0()( ± Ω )[Ψ()+Ψ(±Ω )] .222 ( ± Ω )(4.14)(4.15)Запишем выражение для квадрата 1 (), которому пропорциональна сила, действующая на механический осциллятор со стороны электрической системы:12 () = 12 20 −4 2 ()×]︂{︂[︂4( − Ω )( + Ω )×cos Ψ( + Ω ) +cos Ψ( − Ω ) Ω +22( + Ω )( − Ω )[︂]︂}︂( + Ω )( − Ω )Ω +sin Ψ( + Ω ) −sin Ψ( − Ω ) + к.с.,( + Ω )2( − Ω )2(4.16)107где были опущены члены, соответствующие колебаниям на частотах порядка и члены, пропорциональные 2 , как не оказывающие существенного влияния на движение осциллятора.Первое слагаемое в выражении (4.16) представляет собой фазовую компоненту силы, действующей на осциллятор; воздействие этой компоненты наего движение аналогично внесению дополнительной жесткости, сдвигающейрезонансную частоту осциллятора Ω на величину ΔΩ :0 3 0 16 2ΔΩ = ()×83[︂ Ω 4]︂( − Ω )( + Ω )×cos Ψ( + Ω ) +cos Ψ( − Ω ) (4.17)( + Ω )2( − Ω )2Второе слагаемое описывает квадратурную компоненту силового воздействия емкостного преобразователя на механический осциллятор, которомусоответствует внесение в осциллятор дополнительного затухания:Δ−1 =0 3 0 16 2 ()×43 Ω2 4[︂]︂( − Ω )( + Ω )×sin Ψ( − Ω ) −sin Ψ( + Ω ) .
(4.18)( − Ω )2( + Ω )2Рассмотрим случай идентичных радиочастотных контуров с сильной связью 1,2 >> Γ1,2 /1,2 ), причем константу связи между ними будем считать подобранной таким образом, чтобы разность нормальных частот была равна резонансной частоте механического осциллятора, т.е. 1 = 2 = , 1 = 2 = , 1 = 2 = = Ω / . В этом случае вносимое в механический осциллятордополнительное затухание максимально при частоте накачки электрических√контуров, равной нижней из нормальных частот, ≃ / 1 + ≃ − Ω /2.Тогда02 3 0 3≃,(4.19)323 Ω2если система работает в т.н. режиме «разрешенной боковой полосы» (resolvedΔ−1sideband), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
