Диссертация (1102933), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(3.12)⎩ sin( )/ sin( ℎ) ⎭Для волновых чисел , и и частоты выполняются соотношения(3.13)2 + 2 = 2 ,1 − 22 + 2 = 2=2(1 − )(︂ )︂2,(3.14)где — коэффициент Пуассона и = / .Функции и , входящие в уравнения (3.4)–(3.12), определяются как (), ′ () () = .−1 () =(3.15)(3.16)Здесь () — функция Бесселя. Как видно из (3.13) и (3.14), аргументы этихфункций могут принимать либо действительные, либо чисто мнимые значения, поскольку значения действительны (см.
ниже уравнения (3.19),(3.20)).Удобство такого определения заключается в том, что в обоих случаях значения функций действительны: для мнимых значений аргумента () = ()/ , () = ′ ()/−1 (а также sinc() = sh()/, cos() = ch()),где — функция Инфельда. Для случая = 0 имеем (0) = 1/(2 !), (0) = 1/[2 ( − 1)!] и sinc(0) = 1.64Члены в фигурных скобках в уравнениях (3.4)—(3.12) представляют дваразных набора решений. Следуя другим авторам [62, 63], будем называтьверхние и нижние решения «четными» и «нечетными» соответственно.
Этотвыбор достаточно произволен, поскольку для верхнего набора решений , , , и являются четными функциями , в то время как , и являются нечетными функциями .Компоненты тензора напряжений можно получить из уравнений (3.4)—(3.12):⎛⎞⎛2) 1 ⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟( ++⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟1⎜ ⎟ = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ,−0⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠0⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞0⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟1 ⎜ ⎟ = ⎜⎟ ⎜ ⎟ ,0⎝ ⎠ ⎝ (︀⎠⎝ ⎠)︀ 1 + ( + 2) (3.17)(3.18)где = /. Нетрудно убедиться, что для выбранной формы решений (3.4)—(3.12)члены с коэффициентами в и равны нулю при = ±ℎ, а члены скоэффициентами и в равны нулю при = 1.В последовательностях с коэффициентами и значения выбираютсяв виде = =⎧⎨( − 1)/ℎ⎫⎬⎩ (2 − 1)/(2ℎ) ⎭, = 1,2,..., ,(3.19)что приводит к обнулению членов с коэффициентами и в и при = ±ℎ.
В последовательностях с коэффициентами задается как -йположительный корень уравнения′ () = 0,(3.20)поэтому члены с коэффициентами в равны нулю при = 1.Таким образом, построенные решения в точности удовлетворяют граничным условиям (3.2a), (3.2b) и (3.2f). Три оставшихся граничных условия65(3.2c), (3.2d) и (3.2e) удовлетворяются приближенно посредством наложенияусловий ортогональности.Условие (3.2d) может быть удовлетворено тогда и только тогда, когда ортогональна полному набору функций, определенных на отрезке −ℎ ≤ ≤ ℎ. Выберем в качестве таких наборов функции cos( ) и sin( ) длячетных и нечетных решений соответственно, причем определяется как в(3.19); тогдаZℎ−ℎ⎧⎫⎨ cos( ) ⎬ (1,,) = 0.⎩ sin( ) ⎭(3.21)Интегрирование приводит к следующим уравнениям:1 +∑︁1 + 1 = 0, = 1,2,..., ,(3.22)=1где1⎧⎫⎨ 1 + ⎬ [︀(︀)︀12 2 − = 2ℎ ( ) ( )×⎩ 1 ⎭[︀]︀[︀ 2]︀]︀222× 2 − 1 + − 2 /2 − ( ) +2()()−1−−(), (3.23)[︂=41⎧⎫⎨ 1+ ⎬[︀1= 2ℎ ( ) −2 ( ) ( )+⎩ 1 ⎭(︀2 +2]︂222)︀ − 22 − − /2 22 + 2 2 − 2 × − ⎧⎫⎨ 2 ℎ2 sinc( ℎ)sinc( ℎ) ⎬×, (3.24)⎩ − cos( ℎ) cos( ℎ) ⎭12(︀)︀]︀2+ ( ) 2 − 1 + − 2 /2 − ( ) , (3.25)66где — символ Кронекера.
Здесь и далее опущены индексы при , , и индексы при , и . Функция () = ′ ()−1 ()−1=− − 1. () ()(3.26)Заметим что для чисто мнимых значений аргумента () = −1 ()/ () − − 1,а для случая = 0 (0) = − 1.Условие (3.2c) удовлетворяется, если и только если ортогональнаполному набору функций, определенных на отрезке 0 ≤ ≤ 1. Выберемэти функции в виде ( ), где определяется как в (3.20). ИнтегрируяформулуZ1 (,,ℎ) ( ) = 0(3.27)0с учетом того, чтоZ1[︃(3.28)′ () ( ),2−(3.29)2 = 0, = 1,2,..., ,(3.30)0Z10]︃1 − 2 2 ( ),2 ( ) ( ) = () ( ) =22получаем∑︁2 +2+=1∑︁=1где2= 2 ( ) ( )[︂(22]︂2 222 − +4 2,− ) 2 − 2 − 2267(3.31)2⎧⎫⎨ sinc( ℎ) cos( ℎ) ⎬2= (− 2 )2+⎩ sinc( ℎ) cos( ℎ) ⎭⎫⎧]︂⎨ 2 sinc( ℎ) cos( ℎ) ⎬]︂ [︂22ℎ 1 − 2 , (3.32)+ 4⎩ 2 sinc( ℎ) cos( ℎ) ⎭[︂2= 2 ( ) ( )22 − 22 − 2 .(3.33)Наконец, потребуем, чтобы была ортогональна полному набору функций на отрезке −ℎ ≤ ≤ ℎ.
Выберем такие же функции, как для граничногоусловия на :Zℎ−ℎ⎧⎫⎨ cos( ) ⎬ (1,,) = 0.⎩ sin( ) ⎭(3.34)Интегрирование дает3 +∑︁(3.35)3 + 3 = 0, = 1,2,..., ,=1где[︀]︀2 23 = − (2 − ) ( ) ( ) ( ) + 2()()() ×⎧⎫⎨ 1+ ⎬1× 2ℎ, (3.36)⎩ 1 ⎭3 = 4[︂⎧]︂ ⎨222− 2+22 ⎩2 − 2 − 2 ℎ2 sinc( ℎ)sinc( ℎ)⎫⎬− cos( ℎ) cos( ℎ)⎭,(3.37)[︀[︀]︀]︀3 = 2 ( ) 2 − 1 − 2 /2 − ( ) − 2 ( ) ( ) ×⎧⎫⎨ 1+ ⎬1× 2ℎ ( ). (3.38)⎩ 1 ⎭ 68Уравнения (3.22), (3.30) и (3.35) могут быть записаны в матричном виде:⎛A1B1MM⎜⎜MD = ⎜MA2 MB2⎝MA3 MB3⎞⎛ ⎞AM⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟MC2 ⎟ ⎜B⎟ = 0,⎠⎝ ⎠C3CMC1(3.39)где M — блочная квадратная матрица размером (2 + ) × (2 + ),D — блочный вектор размером (2 + ), составленный из векторов коэффициентов A, B и C. Собственные частоты даются корнями уравненияdet M = 0.Вместо непосредственного вычисления определителя det M возможноосуществить преобразование матрицы M в матрицу размером × , сохраняющее корни определителя матрицы.
Ввиду того, что матрицы MA1 , MC1 ,MA3 , MC3 и MB2 диагональны, такое преобразование не требует вычисления обратных матриц, за исключением тривиальных вычислений обратныхдиагональных матриц. Выражая C из уравнения (3.35), получим(︀)︀−1 [︀ A3]︀C = − MC3M A + MB3 B .(3.40)Подстановка C в (3.22) и (3.30) даетmA1 A + mB1 B = 0,(3.41)mA2 A + mB2 B = 0.(3.42)(︀)︀−1 A3mA1 = MA1 − MC1 MC3M ,(︀)︀−1 A3mA2 = MA2 − MC2 MC3M ,(︀)︀−1 B3mB1 = MB1 − MC1 MC3M ,(︀)︀−1 B3mB2 = MB2 − MC2 MC3M .(3.43)Здесь69(3.44)(3.45)(3.46)Выражая A из (3.41):(︀)︀−1 B1A = − mA1m B,(3.47)и подставляя в (3.42), получимNB = 0,(3.48)(︀)︀−1 B1N = mB2 − mA2 mA1m .(3.49)гдеРазмер матрицы N есть × . Собственные частоты диска являются корнями уравненияdet N = 0.(3.50)Алгоритм поиска собственных частот, использованный нами, заключается в следующем.
Вначале задаются значения и ℎ. Далее вычисляютсяэлементы матриц M, mA1 , mA2 , mB1 , mB2 и N и определитель det N длявозрастающих значений частоты до тех пор, пока det N не изменяет знак.Далее методом деления отрезка пополам (вместе с проверкой на возможныеразрывы функции det N) значение собственной частоты вычисляется с любойтребуемой точностью.Для расчета смещений при колебаниях на заданной собственной частотедалее из системы уравнений (3.48) находятся значения B, после чего значенияA и C вычисляются из уравнений (3.47) и (3.40), соответственно.
Компонентывектора смещения u вычисляются по формулам (3.4)—(3.12).3.1.2. Результаты расчетаБыли изучены моды колебаний диска из дюралюминия с отношениемтолщины к диаметру ℎ = 0,08864, равным отношению толщины к диаметрудюралюминиевого дискового резонатора, который использовался в экспериментах (см. далее). Для расчета были взяты значения плотности и скоро70стей продольных и поперечных волн, типичные для дюралюминия Д16: =2,78 г/см3 , = 6,375 × 105 см/с и = 3,150 × 105 см/с, соответственно. При[︀ (︀)︀]︀этом значение коэффициента Пуассона = (2 − 22 )/ 2 2 − 2 = 0,3385.Для проверки работы алгоритма также были воспроизведены некоторыерезультаты, полученные другими авторами [62, 63]; получено полное совпадение.Как было показано в [62], оптимальное соотношение между числом членов в последовательностях и есть ∼ /ℎ.(3.51)В расчетах при ℎ = 0,0833 использовались значения = 5 и = 25.В настоящем разделе приводятся результаты только для четных решений, поскольку в эксперименте изучались моды колебаний, возбужденныесиловым полем, симметричным относительно плоскости = 0 (см.
далее), ипоэтому нечетные моды не возбуждались.В основном рассматривались четные моды с большими значениями углового индекса & 10. Зависимости частот семи наиболее низко лежащихветвей мод, отнесенных к угловому индексу от показаны на рис. 3.1 точками с заливкой. Напомним, что частоты в расчетах безразмерны, поэтомузначения по оси ординат являются фазовыми скоростями волн , отнесенными к скорости поперечных волн :Ω Ω === ,2(3.52)где и Ω — длина волны и собственная (размерная) частота моды соответственно.Крестиками и точками без заливки на рис. 3.1 обозначены спектры модколебаний бесконечно длинного цилиндра радиусом (что соответствует случаю ℎ → ∞), для которых компоненты вектора смещения и , вообще712,0-11,8-21,6-1-2ta / (k v ) = vk/ vt(h = 0.0833)k1,41,21,01020304050607080kРис.
3.1. Зависимость расчетных значений нормированных собственных частот от углового индексав диске из дюралюминия с отношением толщины к диаметруℎ = 0,0833.Разные ветви мод отмечены точками разной формы с заливкой. Представлены тольконизколежащие четные решения. Крестиками отмечены собственные частоты рэлеевскихмод на поверхности бесконечно длинного цилиндра того же радиусагалереи такого цилиндра отмечены точками без заливки.72.Моды шепчущейговоря, отличны от нуля, а компонента тождественно равна нулю. Собственные частоты для этого случая даются корнями уравнения [66][︀]︀+2 (/) + −2 (/) − 2( 2 − 1) (/) [+2 () + −2 ()] −− [+2 (/) − −2 (/)] [+2 () − −2 ()] = 0, (3.53)где = / = 2,024 для дюралюминия Д16.Данное уравнение имеет бесконечное число корней для любого заданно()го индекса .
Решение с наименьшим значением собственной частоты (крестики на рис. 3.1) соответствуют рэлеевским модам колебаний на беско( 1)нечной цилиндрической поверхности. Все остальные корни ( 2), ит.д. соответствуют модам шепчущей галереи (МШГ) различных порядков.Нетрудно убедиться, что некоторые части спектров мод колебаний дискаво многом воспроизводят характер спектров рэлеевских мод и МШГ бесконечно длинного цилиндра того же радиуса .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
