Диссертация (Управляемое демпфирование колебаний высокодобротных механических резонаторов), страница 12

На электрод подавалось переменноенапряжение 0 cos Ω, что создавало силу электростатического притяжениямежду электродом и пластиной, содержащую компоненту, осциллирующую счастотой 2Ω, которая возбуждала колебания в пластине на этой частоте. Длявеличины 0 = 300 В амплитуда силы притяжения, создаваемой на каждомиз штырьков электрода, составляла около 10−3 Н. Для оптимального воз­буждения моды колебаний с угловым индексом пространственный периодгребенчатого электрода должен быть равен 2/ ; моды колебаний с близки­ми значениями углового индекса также возбуждаются таким электродом. Вэксперименте использовался электрод с пространственным периодом 10 мм,91Рис.

3.18. Схема экспериментальной установки.что позволяло регистрировать моды колебаний диска со значениями угловогоиндекса 2 ≤ ≤ 30, наибольшая эффективность возбуждения наблюдаласьв области = 23.Регистрация изгибных колебаний пластины осуществлялась при помо­щи емкостного преобразователя. Изгибные колебания пластины приводили кизменению взаимной емкости пластины и гребенчатого электрода сенсора, ко­торый имел такую же форму, как и электрод актюатора. Указанная емкостьбыла включена в радиочастотный электрический колебательный контур. Из­менение резонансной частоты контура при движении пластины регистриро­валось посредством демодуляции выходного сигнала контура.

Чувствитель­√ность сенсора составила около 0,1 нм/ Гц.Измерения проводились в вакууме при остаточном давлении порядка10−4 торр при комнатной температуре.923.2.2. Резонансные частоты и форма изгибных мод колебаний влинейном режимеИзгибные колебаний свободных тонких дисков являлись предметом тео­ретического рассмотрения во многих исследования от Кирхгофа до нашихдней.

В случае малых колебаний тонкого ( << ) идеального диска, из­готовленного из однородного изотропного материала плотностью , модулемЮнга и коэффициентом Пуассона , линейное уравнение движения, опи­сывающее смещение (, , ) в направлении, перпендикулярном плоскостидиска, имеет следующий вид [75]: 2∇ ∇ + 2 2 = −+ (,,),22(3.62)где = (2)3 /[12(1 − 2 )] — так называемый коэффициент изгибной жест­кости диска, — коэффициент затухания, — плотность внешней силы, на­правленной нормально к поверхности диска. Решения однородного ( ≡ 0)уравнения (3.62) с соответствующими граничными условиями описывают мо­ды колебаний такого диска2 .

Решение разделяется относительно переменных, и . Временная часть решения описывается синусоидальной зависимостьюот времени. Пространственная часть решения имеет видΦ (, ) = [ ( ) + ( )] ×× [ cos() + sin()] . (3.63)Здесь через и обозначены соответственно функции Бесселя и Инфель­да -го порядка. Константы , , , определяются из граничныхусловий, соответствующих свободному диску. Собственные значения 2 =2В случае << метод, описанный в разделе 3.1.1, требует учета очень большого количестваэлементов ортогонального базиса , поэтому здесь используется указанное приближенное уравнениедвижения для изгибных колебаний тонких пластин, допускающее точное решение.93Ω√︀2/ даются решением характеристического уравнения[2 2 +(+1)(−1)] ()−(−1)−1 ()[2 2 −(+1)(−1)] ()+(−1)−1 ()==[2 2 − 2 (−1)]−1 ()− [2 2 −(+1)(−1)] ()[2 2 + 2 (−1)]−1 ()−[2 2 +(+1)(−1)] () .(3.64)Приведенное уравнение имеет бесконечное количество решений для каждогозаданного .

При этом -й корень этого уравнения (начиная с наименьшего)представляет собой собственную частоту изгибной моды колебаний с числомузловых диаметров (угловым индексом) и числом узловых окружностей (ра­диальным индексом) . В настоящем разделе рассмотрены только изгибныемоды колебаний с ненулевым числом узловых диаметров и нулевым числомузловых окружностей (т.е. > 0, = 0).Расчеты резонансных частот мод колебаний выполнены для случая изо­тропного диска, в то время как монокристаллический кремний представля­ет собой анизотропный материал. Тем не менее, для идеальной пластины сориентацией кристаллографических осей (111) компоненты упругих парамет­ров в плоскости пластины изотропны. В реальных коммерческих кремниевых(111)-пластинах анизотропия параметров и в плоскости пластины состав­ляет около 6% [76].

В расчетах использовались значения = 169 ГПа и = 0,262.Анализ формы мод колебаний, описываемых уравнением (3.63), показы­вает, что энергия колебаний сосредоточена в основном в области пластины,прилегающей к ее внешнему краю. Это дает основания считать, что, посколь­ку диаметр зажима мал по сравнению с диаметром пластины, результатырасчета для свободной пластины будут отличаться от результатов для пла­стины, зажатой подобным образом, лишь незначительно.Каждому собственному значению частоты для идеального однородногоизотропного диска соответствуют две вырожденные моды колебаний, отли­чающиеся лишь фазой колебаний на величину фазового сдвига в /2 [75]. В9461006040-54f / f (x 10 ),802200510152025030kРис.

3.19. Расчетные (левая шкала, крестики) и полученные в эксперименте (левая шкала,треугольники) значения резонансных частот0изгибных мод колебаний кремниевогодискового резонатора; относительные величины расщепления резонансных кривыхΔ / ,если наблюдались (правая шкала, квадраты).реальной пластине за счет различных неоднородностей вырождение снима­ется: резонансные частоты мод несколько отличаются, появляется дополни­тельный сдвиг фаз между модами. Если сенсор размещен в области нулевогодиаметра одной моды из такой пары, то с помощью него возможно зареги­стрировать будут только колебания другой моды.Результаты расчета собственных частот 0 = Ω0 /(2) мод колебанийкремниевой пластины, а также их значения, измеренные в эксперименте,представлены на рис.

3.19. Можно отметить хорошее соответствие теорети­ческих и экспериментальных результатов.При измерении резонансных частот мод колебаний на электрод актюато­950,15meff,k0/ mfull0,200,100,050,000510152025303540kРис. 3.20. Эффективная масса для различных изгибных мод колебаний кремниевого дис­кового резонатора.ра подавалось переменное напряжение сравнительно низкой амплитуды дляобеспечения линейного режима колебаний пластины.

Приблизительно дляполовины из изученных в эксперименте изгибных мод колебаний пластинынаблюдалось расщепление резонансных частот на относительную величинуΔ0 /0 от 5 × 10−5 для мод колебаний с низкими резонансными частотамидо 7 × 10−6 для более высоких частот. Для остальных мод колебаний такоерасщепление не наблюдалось, что может быть следствием выбранной формыи расположения электродов сенсора и актюатора, приводящего к слабым эф­фектам возбуждения и регистрации одной невырожденной моды колебанийиз пары относительно другой. Значения относительной величины расщепле­ния частоты мод колебаний также приведены на рис.

3.19.Важным параметром, характеризующим моды колебаний диска, являет­ся их эффективная масса , , которая может быть рассчитана для извест­96ной нормированной формы моды колебаний как2R R , = 2[Φ (,)]2 d d0 0[Φ (,)]2.(3.65)Эта величина (в сочетании с соответствующей эффективной жесткостью , = , Ω2 ) описывает движение осциллятора с сосредоточенными параметра­ми, соответствующего выбранной моде колебаний механического резонатора.Результаты расчета эффективной массы, отнесенные к полной массе пласти­ны = 22 , приведены на рис.

3.20.3.2.3. Затухание колебаний в изгибных модахСреди различных механизмов потерь в механических резонаторах отме­тим фундаментальный механизм термоупругих потерь, вызываемых потока­ми тепла между сжатыми и растянутыми областями упругой среды вслед­ствие их нагревания и охлаждения, соответственно. Такие тепловые потокивозникают и в случае изгибных колебаний дискового резонатора. Первая ана­литическая модель этого процесса для изгибных колебаний прямоугольныхмеханических брусков была предложена Зенером [77]. Лифшиц и Роукс [78]предложили более точную модель для брусков, в которой выражение дляфактора механических потерь имеет вид−1где = 22 0=(︂66 sh + sin − 2 3 ch + cos )︂,(3.66)√︀Ω/2; , и — соответственно коэффициент теплового расши­рения, коэффициент теплопроводности и объемная теплоемкость материалабруска при постоянном давлении, 0 — температура.Позднее этот метод был распространен на изгибные моды колебаний дис­ковых механических резонаторов [79, 80].97Фактор термоупругих потерь для изгибных мод колебаний свободнойкремниевой пластины, описываемых функцией распределения амплитуд сме­щения Φ(,) был рассчитан в соответствии со следующим выражением, по­лученным в [80]:2R R (︀−1 = −1)︀2∇2 Φ d d1+0 0× 2 {︁,}︁RR1 − 2(∇2 Φ)2 + 2(1 − )[Φ] d d(3.67)0 0где [Φ] — гауссова кривизна[︂(︂1 2Φ1 2Φ− 2 2)︂2 2Φ− 2(︂1 2Φ1 Φ+ 2 2 )︂]︂,а фактор потерь −1 рассчитывается по модели Лифшица-Роукса в соответ­ствии с (3.66).В настоящей работе было проведено сравнение экспериментально изме­ренных величин факторов потерь в изгибных модах колебаний кремниевойпластины и значений, рассчитанных для термоупругих потерь в соответствиис выражением (3.67).

Амплитуда возбуждения колебаний пластины выбира­лась достаточно низкой для обеспечения линейного режима. Факторы потерьвычислялись как параметры аппроксимации резонансных кривых мод колеба­ний, в которых не наблюдалось расщепление резонансных частот, лоренцевойформой (рис. 3.21). Было обнаружено, что фактор механических потерь −1монотонно уменьшается с увеличением углового индекса вплоть до ≈ 26(резонансная частота ≈ 70 кГц). Фактор потерь для мод с угловым индексом6 .

. 26 близок к значениям, рассчитанным для термоупругого механизмапотерь.Поскольку смещения в рассматриваемых модах колебаний сосредоточе­ны в прилегающей к краю пластины области, эффективная ширина которойимеет величину порядка длины стоячей волны волны 2/ , можно считать,98-3Q-110-410-510020406080100,Рис. 3.21.