Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 8

Кроме того, если элементы µk ∈ Eū , νk ∈ Eu таковы,чтоXγ∗u (1) =µk ⊗ νk ,kто выполняется равенствоXµk (e∗i )νk (ej ) = δij · 1.(1.46)kВ самом деле, из определений и сделанных отождествлений следует, чтоXX∗µk (ei )νk (ej ) =µk ⊗ νk (e∗i ⊗ ej ) =kk= γ∗u (1) (e∗i ⊗ ej ) = (γu (e∗i ⊗ ej )) · 1 = e∗i (ej ) · 1 = δij · 1.Теперь мы можем доказать последнее утверждение Предложения 1.4: квантовая группаA0 свободно действует на пространстве B A A.Доказательство.

Как известно (см. §1.1) любая квантовая группа A0 , как векторноепространство распадается в прямую сумму подпространств H̃α0 порождённых матрич0ными элементами (uαi0 j 0 )i0 ,j 0 =1,...,nα0 всевозможных неэквивалентных неприводимых представлений α0 ∈ T 0 группы A0 . При этом, все такие элементы линейно независимы. Заметим, что в силу формулыX 000φ0 (uαi0 j 0 ) =uαi0 k0 ⊗ uαk0 j 0 ,k0пространство H̃α0 является би-комодулем над A0 .Пусть Hα0 — пространство представления α0 , и ei0 , i = 1, .

. . , nα0 — орто-базис в Hα0 ,такой, чтоX04α0 (ei0 ) =ek0 ⊗ uαk0 i0 .k0Очевидно, что формулаα0 4(ei0 )=X0uαi0 k0 ⊗ ek0k0задаёт на пространстве Hα0 структуру левого A0 — комодуля. Этот комодуль мы будемобозначать Hα>0 . Следующее утверждение — очевидно.Лемма 1.15. H̃α0 ∼= Hα>0 ⊗Hα0 как би-комодуль над A0 . Изоморфизм задаётся формулой0ei0 ⊗ ej 0 7→ uαi0 j 0 .Пусть f : A0 → A — гомоморфизм квантовых групп. ФормулыX00) =4A(eek0 ⊗ f (uαk0 i0 ),0iαk0Aα0 4 (ei0 )=Xk0350f (uαi0 k0 ) ⊗ ek0определяют на Hα0 структуру левого (соотв.

правого) комодуля над A, иначе говоря, пространство Hα0 становится пространством некоторого, может быть приводимого,представления группы A. Ясно, что еслиX⊕HσHα0 =σ∈S(α0 )— разложение пространства Hα0 в прямую сумму неприводимых представлений A относительно кодействия 4Aα0 , тоX⊕Hσ> .Hα>0 =σ∈S(α0 )Воспользуемся теперь результатами пункта (vi) теоремы 1.14:X ⊕X ⊕B A A0 =Eα ⊗ Hα AH̃α0 =α∈T 0α∈T=X ⊕Eα ⊗ Hα AX ⊕Hα>0⊗ Hα0 =α∈T 0α∈T=X ⊕Eα ⊗ Hα A X⊕ X⊕α∈T 0α∈THσ> ⊗ Hα0  =σ∈S(α0 )X⊕=Eα ⊗α∈T ,α0 ∈T 0Лемма 1.16.Hα A Hβ>= X⊕Hα A Hσ> ⊗ Hα0 .σ∈S(α0 )α=βα 6= βC,0,Доказательство.

Пусть eαi , i = 1, . . . , nα , eβj , j = 1, . . . , nβ — базисы в пространствахHα , Hβ , в которых правое действие квантовой группы задаётся формулой (1.13). РасPсмотрим произвольный элемент i,j Cij eαi ⊗ eβj ∈ Hα A Hβ> ⊆ Hα ⊗ Hβ . Согласно определению тензорного произведения над коалгеброй, должно быть выполнено следующееравенствоXXCij eαi ⊗ uβjl ⊗ eβl .Cij eαk ⊗ uαki ⊗ eβi =i,j,ki,j,lСравнивая коэффициенты при eαn ⊗ eβm , получаемXXCim uαni =Cni uβjm .ijТак как все элементы uαij и uβkl линейно-независимы, то α = β и коэффициенты приuαij слева и справа совпадают. Поэтому δni Cjm = δmi Cni для любых i, j, m, n = 1, .

. . , nα ,откуда Cij = Cδij , C ∈ C.Итак,B A A0 =X⊕ X⊕α0 ∈T 0X⊕Eσ ⊗ Hα0 =Eα0 ⊗ Hα0 ,α0 ∈T 0σ∈S(α0 )P⊕где Eα0 =σ∈S(α0 ) Eσ . Ясно, что если uα0 — представление квантовой группы A напространстве Hα0 , описываемое кодействием 4Aα0 то Eα0 = Euα0 .36PТеперь мы можем найти такие элементы pk , qk ∈ B A A0 , что X( k pk ⊗ qk ) = 1 ⊗ a00для произвольного a0 ∈ A0 .

В самом деле, можно считать, что a0 = uαi0 j 0 для некоторыхα0 ∈ T 0 , i0 , j 0 = 1, . . . , nα0 . Пусть µ0k ∈ Eūα0 , νk0 ∈ Euα0 определяются формулойXuγ∗ α0 (1) =µ0k ⊗ νk0 .kВозьмёмpk =X0µ0k (e∗l0 ) ⊗ κ(uαi0 l0 ),qk =X0νk0 (em0 ) ⊗ uαm0 j 0 .m0l00Очевидно, что pk , qk ∈ B A A . Вычислим XX X0∗α00α0α0X(pk ⊗ qk ) =µk (el0 ) ⊗ κ(ui0 l0 )νk (em0 ) ⊗ um0 n0 ⊗ un0 j 0=kl0=m0 ,n0X000µ0k (e∗l0 )νk0 (em0 ) ⊗ κ(uαi0 l0 )uαm0 n0 ⊗ uαn0 j 0 =k,l0 ,m0 ,n0=X00001 ⊗ κ(uαi0 m0 )uαm0 n0 ⊗ uαn0 j 0 = 1 ⊗ 1 ⊗ uαi0 j 0m0 ,n0Мы воспользовались формулой (1.46) и тем, чтоX00κ(uαi0 m0 )uαm0 j 0 = δi0 j 0 · 1.m0Таким образом, ясно, что структура ассоциированных векторных расслоений тесно связана со структурой главного расслоения. На самом деле, главное расслоениеможно восстановить по множеству ассоциированных векторных расслоений.

Именно,пусть R(G) — категория конечномерных представлений квантовой группы G. ПустьM — некоторая ассоциативная унитальная ∗-алгебра, Φ(M) — категория M- бимодулей, конечно-порождённых и проективных и как левые, и как правые M-модули. Вкачестве морфизмов категории R(G) мы будем рассматривать не только линейные, нои антилинейные морфизмы представлений. Под антилинейным морфизмом мы понимаем такое антилинейное отображение гильбертовых пространств f : Hu → Hv , что4v f = (f ⊗ ∗)4u .

Множество антилинейных морфизмов представлений мы будем обозначать M̄(u, v). ТогдаMorR(G) (u, v) = Mor(u, v) ⊕ M̄(u, v).Аналогично, морфизмами в категории Φ(M) мы будем считать не только гомоморфизмы бимодулей, но и антигомоморфизмы: такие отображения ϕ, что ϕ(mp) = ϕ(p)m∗(m ∈ M, p — элемент бимодуля), и наоборот. Категории R(G) и Φ(M), таким образом,становятся Z2 -градуированными.Пусть, как обычно, × обозначает тензорное произведение представлений в R(G). Мыбудем говорить, что функтор градуированных категорий ρ : R(G) → Φ(M) – мультипликативный, если существует естественная эквивалентность θ функторов (· ⊗M ·)(ρ, ρ)и ρ(· × ·), такая, что для любых трёх представлений u, v, w ∈ R(G) выполнено равенствоθu×v,w (θuv ⊗ id) = θu,v×w (id ⊗ θvw ).Следующая теорема составляет основное содержание статьи [8]:37Теорема 1.17.

Для любого квантового главного расслоения с базой M соответствиеρR(G) 3 u 7→ Eu определяет мультипликативный функтор градуированных категорий ρ : R(G) → Φ(M). Наоборот, для любого мультипликативного функтораρ : R(G) → Φ(M) существует единственное главное квантовое расслоение с базойM и со структурной квантовой группой G, такое, что ρ(u) = Eu .Теорема 1.17 позволяет описывать главные расслоения, если категория R(G) достаточно простая.

Приведём примерыПример 1.5.1. G = U (1). Главные U (1) -расслоения с базой M однозначно определяютсябимодулем E над M, конечно-порождённым и проективным и как левый, и как правыймодуль над M. При этом должны быть определены отображения бимодулейµ : E ⊗M Ē → Mµ̄ : Ē ⊗M E → Mдля которых µ ⊗ id = id ⊗ µ̄ и µ̄ ⊗ id = id ⊗ µ Тут Ē – сопряжённый бимодуль ,то естьE = Ē, как векторные пространства а умножение в Ē определяется формуламиm ◦ e = em∗ , e ◦ m = m∗ e.Пример 1.5.2. Другая квантовая группа, категория представлений которой устроенадостаточно просто — универсальная матричная псевдогруппа UF (n), см. §1.1. Представления этой квантовой группы взаимно-однозначно соответствуют словам из u, ū, где u— фундаментальное представление, ū — его сопряжение, F — канонический морфизмF : Hu → Hu .

Морфизмы в категории представлений этой квантовой группы порождены сопряжениями {ju , jū }, спариваниями {γu , γ u } и вложениями единичных операторов{Iu , I u }, удовлетворяющими соотношениям, описанным в начале параграфа.Тогда главные квантовые расслоения с такой структурной группой однозначно соответствуют парам антиизоморфных M -бимодулей Eu , Eū , для которых определены−∗uспаривания {hi+u , h, iu } и вложения {γu , γ∗ }.В частности, для любого главного квантового расслоения P , любая пара ассоциированных векторных расслоений Eu , Eū , соответствующих соппряжённым представлениямu, ū удовлетворяет всем описанным требованиям и следовательно определяет некотороеглавное квантовое расслоение со структурной группой UCu (nu ).Точно так же, как и ассоциированные векторные расслоения Eu , можно определитьпространства Eu – значных дифференциальных форм на базе.

Именно, положим:Fu = Mor(u, F ∧ ).Следующую тоерему см. [6, 8].Теорема 1.18 (свойства пространств Fu ). (i) Для любого u, Fu — градуированный бимодуль над градуированной алгеброй Ω(M);(ii) F∅ = Ω(M);(iii) умножение на элементы из Ω(M) задаёт изоморфизмыEu ⊗M Ω(M) ∼= Fu ∼= Ω(M) ⊗M Eu ;(iv ) пусть σu : Eu ⊗M Ω(M) → Ω(M) ⊗M Eu — сквозной изоморфизм, m — умножениев M, тогдаσu (id ⊗ m) = (m ⊗ id)(id ⊗ σu )(σu ⊗ id);38(v ) для любых представлений u и v(id ⊗ θuv )σu×v = (σu ⊗ id)(id ⊗ σv )(θuv ⊗ id),где θuv : Eu ⊗M Ev → Eu×v изоморфизм, описанный выше;(vi) следуещие две диаграммы коммутативныσσu→ Ω(M) ⊗M EuEu ⊗M Ω(M) −−−[\ ,∗][∗,\ ]y uy uσū→ Eū ⊗M Ω(M),Ω(M) ⊗M Eū −−−u→ Ω(M) ⊗M EuEu ⊗M Ω(M) −−−f ⊗idid⊗fy∗y ∗σv→ Ω(M) ⊗M Ev ,Ev ⊗M Ω(M) −−−defгде f : Hv → Hu – морфизм представлений и [a, b](x ⊗ y) = b(y) ⊗ a(x) (заметим,что, тем самым, определены морфизм градуированных бимодулей fˆ∗ и антиизоморфизм градуированных бимодулей ˆ\u );(vii) алгебра hor(P ) распадается в прямую суммуX⊕hor(P ) =Hα ,Hα ∼= Fα ⊗ Hα ;α∈Tи поэтомуΩ(M) ⊗M B ∼= hor(P ) ∼= B ⊗M Ω(M);(1.47)(viii) наоборот, если задана система градуированных бимодулей Fα , α ∈ T над Ω(M),удовлетворяющая условиям (i) - (vi) то по ним однозначно восстанавливаетсяалгебра hor(P ).Определим теперь « канонический след» произвольного градуированного автоморфизма A : Fu → Fu градуированного бимодуля Fu , для чего рассмотрим диаграммуid⊗AEū ⊗M Eu −−−→xγ u∗Eū ⊗M Eu ⊗M Ω(M) −yhiu ⊗id(1.48)gtrM (A)M = E∅ −−−−→ M ⊗M Ω(M) = Ω(M).В этой диаграмме tgrM (A) — морфизм градуированных бимодулей, восстанавливаемыйпри помощи диаграммы.

Ясно, что морфизм tgrM (A) однозначно определяется своимзначением на единицеdeftrM (A) = tgrM (A)(1),причём, так как tgrM (A) — морфизм би-модулей, то trM ∈ Z(Ω(M)). Очевидно, trM (A ⊕B) = trM (A) + trM (B). Исследуем теперь поведение отображения trM относительнокомпозиции морфизмов. Докажем, сначала, следуещее вспомогательное утверждение.−Лемма 1.19. Спаривания hi+u (соотв.

hiu ) индуцируют изоморфизм пространства Eūкак левого (соотв. как правого) модуля над M с пространством левых (соотв. правых)модульных морфизмов Eu → M.Доказательство. Мы докажем первое утверждение, второе доказывается полностьюаналогично. Итак, то, что спаривание hi+u индуцирует морфизм указанных градуированных модулей — очевидно. Из равенстваXµk hνk , ψi+u = ψ,k39Pгде, как обычно k µk ⊗ νk = γ∗u , следует, что этот морфизм (мы будем его обозначатьχ+u ) — инъективный. Чтобы доказать это равенство, достаточно применить правую илевую часть к вектору e∗l и воспользоваться равенствами (1.44) и (1.46). Пусть ϕ :Eu → M — произвольное M- линейное отображение. Рассмотрим тогда элемент ψ =Pk µk ϕ(νk ) ∈ Eū . Имеем:X + χu (ψ) (ξ) = hξ, ψi+=hξ, µk ϕ(νk )i+uu =k=Xhξ, µk i+u ϕ(νk ) =kX ϕ hξ, µk i+ν= ϕ(ξ)kukдля любого ξ ∈ Eu , то есть χ+u — эпиморфное отображение.В свете этого утверждения ясно, что для любого градуированного автоморфизмаA : Fu → Fu формулы−hA⊥ ϕ, xi−u = hϕ, Axiu ,+hx, A> ϕi+u = hAx, ϕiuзадают градуированные автоморфизмы A⊥ , A> : Fū → Fū сопряжённого бимодуля+(здесь hi−u , hiu — спаривания градуированных бимодулей Fu и Fū , построенные по морфизмам представлений Iu , I u , см теорему 1.18).Определение 1.11.