Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 11

Теперь можно дать описание этих пространств в терминах функций перехода.48Для этого заметим, что выполнено следующее равенство:∞(Pcl , Hα> ) =C ∞ (Pcl ) ⊗Gcl Hα> ∼= Cinv= {ϕ = C ∞ (Pcl , Hα> )|ϕ(xg) = ρα (g)(ϕ(x)), ∀x ∈ P, g ∈ Gcl }Тут ρα (g)(e) = (g⊗idHα> )α 4(e), где α 4 — левое кодействие квантовой группы A на Hα> =Hα , и группа Gcl интерпретируется как множество характеров алгебры A. Заметим, чтоρα : Gcl → U (nα ) — унитарное представление группы Gcl (nα = dim Hα ); в самом деле:ρα (g1 g2 )(e) = (g1 g2 ⊗ id)α 4(e) == (g1 ⊗ g2 ⊗ id)(φ ⊗ id)α 4(e) == (g1 ⊗ g2 ⊗ id)(id ⊗ α 4)α 4(e) = ρα (g1 )ρα (g2 )(e).Унитарность ρα следует из того, что матрица (uαij ), определяющая представление u, —унитарный элемент в B(Hα ) ⊗ A.∞(Pcl , Hα> ) = Γ∞ (Pcl ×Gcl Hα> ) = Γ∞ (Pcl ×ρα Cnα ), иС другой стороны, очевидно, что Cinvмы будем в дальнейшем говорить, что расслоение Pcl ×ρα Cnα ассоциировано с квантовымглавным расслоением P при помощи uα .Далее, как указано в §1.1, см.

также [2], в качестве базиса алгебры A можно взятьследующий набор: {uαij | i, j = 1, . . . , nα , α ∈ T }, где множество T — все неэквивалентные унитарные представления квантовой группы A, nα = dim Hα , и элементы uαij —матричные элементы представления u (см. §§1.1 и 1.5).Напомним условие унитарности представления uα :κ(uαij ) = (uαji )∗ .(2.4)При отождествлении (Γ0 )inv ∼= ker , проекция π : A → (Γ0 )inv принимает видπ(a) = a − (a) · 1. Пусть {∅} ∈ T обозначает тривиальное одномерное представление(матрица этого представления состоит из единственного элемента 1).

Тогда очевидно,что множество{π(uαij ) = uαij − δij · 1 | i, j = 1, . . . , nα , α ∈ T \ {∅}}будет базисом в (Γ0 )inv .Итак, фиксируем α ∈ T и выберем какую–нибудь карту U ∈ U. Мы можем расαсмотреть матрицу AαU = (U aαij )ni,j=1, U aαij = AU (π(uαij )), U aαij ∈ Ω1 (U ). Тогда, во-первых,вспомним, что AU — ∗–линейное отображение, то есть, AU (θ∗ ) = AU (θ). Но ∗–структурана Γ вводится таким образом, что (см.

[5]) π(a)∗ = −π(κ(a)∗ ). Следовательно,(2.4)π(uαij )∗ = −π(κ(uαij )∗ ) = −π((uαji ∗ )∗ ) = −π(uαji ).ПоэтомуαU aij= AU (π(uαij )) = AU (π(uαij )∗ ) = −AU (π(uαji )) = −U aαji ,то есть матрица AαU — косоэрмитова.Теперь мы найдем закон преобразованияPматричных элементов U aαij при изменениикарты. Для этого вспомним, что ω(π(a)) = (a) π(a(2) ) ⊗ κ(a(1) )a(3) .

Значитω(π(uαij ))=nαXπ(uαkl ) ⊗ κ(uαik )uαlj .k,l=149(2.5)Тогда (см. формулу (2.2))αV aij |U ∩V= AV (π(uαij ))|U ∩V =XAU (π(uαkl ))|U ∩V gU V (κ(uαik )uαlj ) + ∂ U V (π(uαij )).(2.6)k,lНоgU V (κ(uαik )uαlj ) = gU−1V (uαik )gU V (uαlj ) = ((RUα V )−1 )ik (RUα V )lj ,(2.7)αгде матрица ((RUα V )ij )ni,j=1= RUα V (x) равна ρα (gU V (x)), и аналогичноX∂ U V (π(uαij )) =((RUα V )−1 )ik d(RUα V )kj .(2.8)kПереписывая теперь (2.6) с учетом (2.7) и (2.8), получаем, что матрицы {AαU }U ∈U преобразуются по закону(AαV )|U ∩V = (RUα V )−1 (AαU )|U ∩V (RUα V ) + (RUα V )−1 dRUα V .Мы видим, что набор {AαU }U ∈U задает линейную связность в векторном расслоении,ассоциированном с Pcl при помощи представления ρα .Аналогично, прямымα}U ∈U равны(FU (π(uαij )))ni,j=1вычислениемполучаем,(FUα )ij = d(U aαij ) +XαU aikчтоматрицы{FUα=∧ U aαkjk(d — внешний дифференциал на Ω(U )) и преобразуются по закону(FVα )|U ∩V = (RUα V )−1 (FUα )|U ∩V (RUα V ),то есть этот набор матриц совпадает с формой кривизны вышеуказанной линейнойсвязности.Квантовое тождество Бьянки в локальной записи выглядит следующим образом:DFU − {[FU , AU ]q − hFU , AU i + hAU , FU i} = hAU , hAU , AU ii − hhAU , AU i, AU i.(2.9)В этой формуле левая и правая части — ∗–линейные отображенияPиз Γinv в Ω3 (U ), произведение h·, ·i определяется так же, как и выше, а [FU , AU ]q (θ) = FU (θk ) ∧ AU (π(ck )),kPгде $(θ) = θk ⊗ck (см.

§1.4). Кроме того, ковариантная производная, стоящая в левойkчасти, равнаDFU = dFU + [FU , AU ]q .Поэтому в случае, когда произведение h·, ·i корректно определено, как у нас, праваячасть в (2.9) равна нулю и если переписать (2.9) для базисного элемента π(uαij ), получимравенствоX{(FUα )ik ∧ (AαU )kj − (AαU )ik ∧ (FUα )kj } = 0,d(FUα )ij +kили, на матричном языке,dFUα + [FUα , AαU ] = 0.То есть, тождество (2.9) переходит для конкретного выбора Γ = Γ0 в обычное тождествоБьянки для линейных связностей.50Замечание. В случае, когда Γ — произвольное допустимое дифференциальное исчисление, рассмотрим вместо формы связности ω : Γinv → Ω(P ), отображение ω̃ : ker =Γ0 → Ω(P ),ω̃(a) = ω(π(a)).Оно корректно определено и однозначно задаётся локальными калибровочными потенциаламиÃU (a) = AU (π(a)),удовлетворяющими условиямXXÃV (a)|U ∩V =ÃU (a(2) )|U ∩V gU V (κ(a(1) )a(3) ) +gU V (a(1) )dgU V (a(2) ).(a)(a)Правда, так как Ω(P ) в этот раз построен по дифференциальному исчислению Γ 6=Γ0 , эти потенциалы нельзя использовать дя построения связности на расслоении Pотносительно дифференциального исчисления Γ0 .Совершенно аналогично вышеприведенным вычислениям доказывается, что матрицы {ÃαU | U ∈ U }, ÃαU = (U ãαij ) = (ÃU (uαij )) образуют для каждого α линейную связностьна ассоциированном векторном расслоении.

Тогда обобщенная формула кривизны R̃ω(см. §1.4) связности ω, может быть отождествлена в локальных терминах с наборомформ кривизны указанных линейных связностей:XααπU∧ (R̃ω (uαij )) = d(U ãαij ) +U ãik ∧ U ãkj .kЕдинственное отличие от вышеописанного случая состоит в том, что матрица ÃαU лежитне просто в пространстве косоэрмитовыхматриц, тов u(nα ), но в некотором векPестьP⊕⊕u(nα ) при помощи соотношенийu(nα ), выделенном вторном подпространстве вα∈Tα∈TXãαiα jα = 0,α,iα ,jαгдеXuαiα jα ∈ R,α,iα ,jαгде R — идеал, определяющий дифференциальное исчисление Γ.

(Мы рассматриваемвсе матрицы Ãαij одновременно для всех α ∈ T ). Cуществует некоторая минимальнаяP⊕u(nα ), содержащая указанное подпространство. Конечно, этаподалгебра Ли g вα∈TPподалгебра содержит подалгебру ⊕ ρα (lie(Gcl )). Мы можем считать, поэтому, что наα∈Tкаждом векторном расслоении Pcl ×ρα Cnα задана линейная связность со значениями вαgα = g ∩ u(nα ), тогда матрицы (U R̃ij) определяют кривизну этой связности.Теперь мы можем сформулировать основную теорему данного параграфа. Она касается образа гомоморфизма Вейля. В §1.4 мы определили гомоморфизм Вейля в случае,когда на расслоении P задана регулярная связность. Если, однако, квантовое расслоение P локально–тривиально, то все регулярные связности мультипликативны и могутбыть интерпретированы как связности на « классической части» Pcl расслоения P (см.пункт (iv ) Теоремы 2.2).

Очевидно, что образ гомоморфизма Вейля для таких связностей состоит из характеристических классов расслоений Pcl . Мы докажем, что и для51произвольных, не обязательно регулярных, связностей верно аналогичное утверждение.Именно, пусть ω — произвольная мультипликативная связность. Тогда, точно так же,как и в §1.4, мы можем определить отображение Rω⊗ : Γ⊗inv → Ω(M).

(В случае немуль⊗типликативной связности алгебру Γinv следует заменить на (ker )⊗inv и рассматриватьотображение R̃ω⊗ ). Тогда справедливаPТеорема 2.5. Пусть элемент I⊗ 3 θ̃ = θi1 ⊗ · · · ⊗ θin (соответственно ã ∈ (ker )⊗invi) таков, что для любой (необязательно регулярной) связности ω на любом локально–тривиальном квантовом расслоении P , d(Rω⊗ (θ̃)) = 0 (соответственно d(R̃ω⊗ (ã)) =0), где d — дифференциал в Ω(M) = Ω∗ (M ), то образ W (θ) (соответственно W̃ (ã))лежит в множестве характеристических классов Чженя, классической части Pclрасслоения P .Доказательство. Прежде всего заметим, что образ Rω⊗ (I⊗ ) (и R̃ω⊗ ((ker )⊗inv )) для любойсвязности ω лежит во множестве дифференциальных форм, которые на каждой картеU расслоения представляются в виде полинома от элементов матриц FUα , α ∈ T \ {∅}.Во-вторых, эти полиномы инвариантны при замене матриц FUα на сопряженные матрицы R−1 FUα R, R ∈ ρα (Acl ), хотя вообще говоря не инвариантны при такой замене дляпроизвольной унитарной матрицы R.

Что касается значения внешнего дифференциалаот этих форм, то он определяется при помощи тождества Бьянки. Поэтому утверждениетеоремы 2.5 является прямым следствием следующего утверждения.Лемма 2.6. Если выполняются условия теоремы, то полиномы, задающие локальнуюзапись формы Rω⊗ (θ̃) (соответственно R̃ω⊗ (ã)) инвариантны относительно сопряжений произвольными унитарными матрицами (соответственно, относительно сопряжений произвольными элементами из компоненты единицы группы Ли Gα ⊆ U (nα ),соответствующей подалгебре Ли gα ⊆ u(nα )).Доказательство.

Мы докажем только первое утверждение, второе доказывается полностью аналогично.Во–первых, так как равенство dRω⊗ (θ̃) = 0 достаточно проверять локально, то мывправе предположить, что расслоение тривиальное, и рассматривать только одну картуU . Поэтому в дальнейшем мы не будем указывать какой карте соответствует матрица,представляющая кривизну. Мы будем писать просто F α вместо FUα (тут α — неприводимое представление квантовой группы, отличное от тождествнного).Предположим, что в выражение для Rω⊗ (θ̃) входят коэффициенты только одной матрицы F α (то есть фиксируем на время представление).

Пусть p(tij ) — многочлен откомплексных переменных tij , такой что Rω⊗ (θ̃) = p(Fijα ). В силу того, что для всех i, jdeg Fijα = 2, получаемX ∂pdp(Fijα ) =dFijα = 0.(2.10)α∂Fiji,jИз тождества Бьянки следуетdFijα = −Xα}{Fikα ∧ Aαkj − Aαik ∧ Fkjkи, подставляя это в выражение (2.10),0=X ∂pX ∂p XααdF={Aαik ∧ Fkj− Fikα ∧ Aαkj }.ijαα∂F∂Fijij ki,ji,j52Выберем некоторый базис {ei } в пространстве косоэрмитовых матриц нужного порядканад C и пусть f i , ai , i = 1, . .

. , m — коэффициенты разложения матриц F α , Aα по этомубазису, f i = f i (a1 , . . . am ) ∈ Ω2 (U ), ai ∈ Ω1 (U ). Тогда мы сможем переписать последнеевыражение в терминах f i , ai , работая с ними, как с формальными переменными (ведьвсе f i коммутируют между собой и со всеми ai , и в каждый моном входит не большеодного ai , см.(2.10)). Получим:X0=Qi (f 1 , . .

. , f m )ai .(2.11)iНам нужно доказать, что из предположения о том, что последнее равенство выполненодля любого набора 1–форм aj следует, что Qi ≡ 0 для всех i. Для этого вспомним, чтоXAα =ei ⊗ ai ,iααααF = dA − A ∧ A =Xei ⊗ dai −iX[ei , ej ] ⊗ ai ∧ aj .i<jПредположим, что для некоторого k, скажем, для k = 1, многочлен Qk 6= 0. Тогдавыберемa1 = dx1 + R1 (x2 , . . . , xn , dx2 , . . .