Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 6

В самом деле, очевидно,что000(F ⊗ id⊗2A0 )(idB ⊗ φ ) = F ⊗ φ = (idB ⊗ idA ⊗ φ )(F ⊗ idA )и(idB ⊗ A F ⊗ idA0 )(idB ⊗ φ0 ) = idB ⊗ (A F ⊗ idA0 )φ0 == idB ⊗ (idA ⊗ φ0 )A F = (idB ⊗ idA ⊗ φ0 )(idB ⊗ A F ).Поэтому (Φ ⊗ idA0 )(idB ⊗ φ0 ) = (idB⊗A ⊗ φ0 )Φ, и значит (idB ⊗ φ0 )(ker Φ) ⊆ ker(Φ) ⊗ A0 .Пусть F̃ : B A A0 → (B A A0 ) ⊗ A0 — вышеуказанное кодействие.

Найдём егонеподвижную подалгебру. Предположим, чтоX X00F̃b i ⊗ ai =bi ⊗ ai ⊗ 1.iiЭто значит, чтоXXXXbi ⊗ a0i,(1) ⊗ a0i,(2) =bi ⊗a0i,(1) ⊗ a0i,(2) ,bi ⊗ a0i ⊗ 1 =ii,(a0i )i(a0i )Pгде (a0 ) a0i,(1) ⊗a0i,(2) = φ0 (a0 ). Без ограничения общности можно считать, что все bi ∈ B –iлинейно-независимы. Поэтому, сравнивая коэффициенты при bi , получаем, что φ0 (a0i ) =a0i ⊗ 1, для всех i и значит a0i ∈ C. СледовательноXbi ⊗ a0i = b̃ ⊗ 1.iНо тогда B A A 3 b̃ ⊗ 1 и значитF (b̃) ⊗ 1 = b̃ ⊗ A F (1) = b̃ ⊗ 1 ⊗ 1,то есть F (b̃) = b̃ ⊗ 1, b̃ ∈ M.Наконец, нам осталось доказать, что выполняется условие (кгр2 ).

Однако, это утверждение требует более основательного знакомства с устройством алгебры B и мы отложим его до §1.5, посвящённого описанию структуры ассоциированных векторных расслоений.Замечание. Пусть биалгебра A действует справа на векторном пространстве R и действует слева на пространстве L.

Тогда, точно так же, как и выше можно определитьтензорное произведение над A правого A-комодуля R и левого A-комодуля L, пространство R A L. Ясно, что если R и L — *-алгебры, и A действует на них гомоморфизмамиалгебр, то и пространство R A L будет алгеброй.1.3Дифференциальные исчисленияКак обычно, под « дифференциальным исчислением» следует понимать алгебру (некоммутативных) дифференциальных форм на расслоении. Ясно, что для успешной работы22с главным расслоением следует потребовать, чтобы эта алгебра была согласована сдифференциальным исчислением на квантовой структурной группе A.

Точный смыслэтого требования становится ясен из определения 1.3 ниже.Именно, пусть P = (B, F ) — квантовое главное расслоение над базой M ⊂ B соструктурной квантовой группой A. Фиксируем на квантовой группе A биковариантноедифференциальное исчисление Γ∧ . Следующее определение взято из [6]:Определение 1.4. Дифференциальным исчислением на квантовом главном расслоении P , согласованным с Γ∧ , называется дифференциальная градуированная *-алгебраΩ(P, Γ∧ ) = Ω(P ), такая, что1. Ω0 (P ) = B;2.

Ω(P ) порождена Ω0 (P ) как дифференциальная градуированная алгебра;3. Существует отображение дифференциальных градуированных алгебрFb : Ω(P ) → Ω(P ) ⊗ Γ∧ ,такое, что Fb|Ω0 (P ) = F : B → B ⊗ A.Прежде, чем мы продолжим давать определения, заметим, что для любого фиксированного биковариантного дифференциального исчисления Γ∧ на квантовой группеA на любом квантовом главном расслоении P существует соответствующее Γ∧ дифференциальное исчисление Ω(P, Γ∧ ). В самом деле, достаточно взять в качестве Ω(P )тривиальное диффернциальное исчисление, Ωtriv (B), существующее для любой ассоциативной унитальной алгебры, см. §1.1.

Напомним, чтоXXbk ck = 0}.bk ⊗ ck ∈ B ⊗2 |Ωtriv (B) = B 2 = {kkТак как F – гомоморфизм алгебр, то F ⊗2 (B 2 ) ⊆ (B ⊗ A)2 , и значит отображение Fестественным образом распространяется до отображения1Fbtriv: Ω1triv (B) → Ω1triv (B ⊗ A) = Ω1triv (B) ⊗ A ⊕ B ⊗ Ω1triv (A),а значит и до отображенияFbtriv : Ωtriv (B) → Ωtriv (B) ⊗ Ωtriv (A)указанного типа. С другой стороны, как указано в §1.1, для любого дифференциального исчисления Γ∧ на A существует единственный эпиморфизм дифференциальныхградуировнных алгебр g : Ωtriv (A) = Γ∧0 → Γ∧ .

Поэтому мы можем положитьFb = (id ⊗ g)FbtrivFb : Ωtriv (B) = Ω0 (P ) → Ω0 (P ) ⊗ Γ∧ .С любым дифференциальным исчислением Ω(P ) на P можно связать несколько важных градуированных алгебр.1. Прежде всего, определим алгебру Ω(M) дифференциальное исчисление на базе Mрасслоения P :defΩ(M) = Fb−1 (Ω(P ) ⊗ 1).(1.23)Заметим, что ограничение на Ω(M) дифференциала d алгебры Ω(P ) переводит алгебруΩ(M) в себя. Таким образом Ω(M) является дифференциальной градуированной *подалгеброй в Ω(P ), через dM мы будем обозначать дифференциал в Ω(M).23˜ в Ω(P ), порождёнКонечно, дифференциальная градуированная ∗-подалгебра Ω(M)ная ∗-алгеброй M ⊆ B, лежит в Ω(M). Обратное утверждение, однако, вообще говоря,неверно.2. Во-вторых, определим алгебру hor(P ), « горизонтальных дифференциальных форм»на расслоении P :defhor(P ) = Fb−1 (Ω(P ) ⊗ A).(1.24)Очевидно, что hor(P ) является градуированной *-подалгеброй в Ω(P ), причём Ω(M) ⊆hor(P ), hor0 (P ) = B.

Однако, в отличие от Ω(M), d(hor(P )) 6⊆ hor(P ), так что hor(P ) неявляется дифференциальной подалгеброй в Ω(P ). Наконец, ограничение на подалгебруhor(P ) отображения Fb индуцирует на ней правое (ко-)действие квантовой группы A.Это кодействие мы будем обозначать F ∧ .3. Рассмотрим алгебру лево-инвариантных дифференциальных форм на квантовойгруппе A:Γ∧inv = {θ ∈ Γinv |φΓ∧ (θ) = 1 ⊗ θ},см.

§1.1. Напомним, что формулаθ◦a=Xκ(a(1) )θa(2)(a)задаёт на Γ∧inv правое действие алгебры A, удовлетворяющее условиям из примера 1.2.3.Поэтому мы можем построить по Γ∧inv и hor(P ) скрещённое произведение hor(P ) n Γ∧inv(см. §1.2, пример 1.2.3), которое естественным образом будет наделено структурой ∗алгебры, на которой справа кодействует алгебра Хопфа A (кодействие задаётся кактензорное произведение отображений Fb : hor(P ) → hor(P ) ⊗ A и $∧ : Γ∧inv → Γ∧inv ⊗ A,см.

§1.1).Кроме того, по правому A-комодулю hor(P ) и левому A-комодулю Γ∧ мы можемпостроить тензорное произведение над A,hor(P ) A Γ∧(см. §1.2, пример 1.2.5). Это пространство тоже будет ∗-алгеброй с правым действиемквантовой группы.Предложение 1.5.hor(P ) o Γ∧inv ∼= hor A Γ∧ ,причём действия квантовых групп при этом отождествлении совпадаютДоказательство. Напомним, что справедливо следующее разложениеΓ∧ ∼= A ⊗ Γ∧inv ,(1.25)⊗0∧(напомним, что Γ∧0inv = Γinv = C), левое действие A на Γ при этом совпадает с отображением φ ⊗ id. Но несложно заметить, что для любой коалгебры C и любого правогоC-комодуля D существует изоморфизм D C C ∼= D. В самом деле, очевидно, что следующие два отображения взаимно-обратныg : D C C → D, d ⊗ c 7→ d(c),где – коединица C, иf : D → D C C, d 7→ φC (d) ∈ C24(φC : D → D ⊗ C – кодействие).Таким образом получили изоморфизм векторных пространствf˜ : hor(P ) n Γ∧inv ∼= hor(P ) A Γ∧ .Пусть m — умножение в hor(P ) A Γ∧ .

Изоморфизм f˜ переводит его в отображение⊗2f˜−1 ◦ m ◦ (f˜ ⊗ f˜) : (hor(P ) n Γ∧inv ) → hor(P ) n Γ∧inv ,которое собвпадает с умножением в hor(P ) n Γ∧inv — достаточно заметить (см. [3],[5])что умножение в Γ∧ задаётся формулойX(a ⊗ θ)(b ⊗ η) =ab(1) ⊗ (θ ◦ b(2) )η(b)(мы воспользовались разложением (1.25)). Аналогично проверяем, что изоморфизм f˜сохраняет ∗-структуру и A -кодействие.Полученная нами алгебра называется алгеброй разложимых дифференциалдьныхформ на главном расслоении P и обозначается vh(P ). Правое кодействие квантовой∧.группы A на vh(P ) мы будем обозначать FvhЗамечание.

Вместо алгебры hor(P ) в этой конструкции можно исплользовать её *подалгебру hor0 (P ) = B. При этом получается градуированная *-подалгебра в vh(P ),defver(P ) = B o Γ∧inv ∼= B A Γ∧ ,называемая алгеброй вертикализованных дифференциальных форм на раслоении. Наней тоже определено правое кодействие квантовой группы A.4. Расссмотрим отображениеdefF ∧ = (id ⊗ pr0 )Fb : Ω(P ) → Ω(P ) ⊗ A,(1.26)где pr0 — проектирование на формы нулевой степени в Γ∧ , то есть A. Очевидно, чтоF ∧ является отображением градуированных ∗-алгебр и задаёт правое кодействие квантовой группы A на Ω(P ).

Очевидно, что на hor(P ) это отображение совпадает с ужепостроенным в пункте 2 кодействием (поэтому мы и не вводим для него отдельногообозначения).1.4Связности и гомоморфизм ВейляВслед за работой [6] дадим определение:Определение 1.5. (a) Псевдотензориальной формой на квантовом главном расслоении P = (B, F ) со структурной квантовой группой A и диффернециальным исчислением Ω(P ) = Ω(P, Γ∧ ) называется ∗-линейное отображение ϕ : Γinv → Ω(P ), такое, чтодиаграммаϕΓinv−−−→ Ω(P )$ ∧(1.27)yyFϕ⊗idΓinv ⊗ A −−−→ Ω(P ) ⊗ A25коммутативна. Пространство псевдотензориальных форм на P является градуированным векторным пространством (градуировка индуцируется из Ω(P )). Мы будем обозначать его ψ(P ).(b) Псевдотензориальная форма ϕ ∈ ψ(P ) называется тензориальной, если ϕ(Γinv ) ⊆hor(P ).

Тензориальные формы на расслоении P образуют градуированное подпространство в пространстве всех псевдотензориальных форм, которое мы будем обозначатьτ (P ) ⊆ ψ(P ).(c) Связностью на главном квантовом расслоении P с дифференциальным исчислениемΩ(P ) называют произвольную псевдотензориальную форму ω, для которой выполняются равенстваXFb(ω(θ)) =ω(θk ) ⊗ ck + 1 ⊗ θ(1.28)kдля всех θ ∈ Γinv , гдеPkθk ⊗ ck = $(θ).Следующая важная теорема доказана в работе [6].Теорема 1.6.

(i ) На любом главном квантовом расслоении P с любым дифференциального исчисления Ω(P ) существуют связности.(ii) Если ω1 , ω2 две связности на главном квантовом расслоении P с дифференциальным исчислением Ω(P ), то их разность, ω1 − ω2 ∈ ψ(P ), является тензориальной1-формой на расслоении.В дальнейшем при разговоре о связностях мы больше не будем указывать на дифференциальное исчисление на P .Пусть теперь ω — некоторая связность на главном квантовом расслоении P . В цитированной статье показано, что для любого дифференциального исчисления Γ∧ на⊗∧квантовой группе существует сечение ι : Γ∧inv → Γ⊗inv естественной проекции Γinv → Γinvтакое, что1.

$⊗ ι = (ι ⊗ idA )$∧ , где $⊗ , $∧ — распространения правого кодействия $ : Γinv →∧Γinv ⊗ A на Γ⊗inv и Γinv соответственно;2. ι(θ∗ ) = ι(θ)∗ для любого θ ∈ Γ∧inv ;3. ι(θ ◦ a) = (ι(θ)) ◦ a для всех a ∈ A, θ ∈ Γ∧inv .Положимdefω ∧ = ω ⊗ ι : Γ∧inv → Γ⊗inv .(1.29)Это отображение, конечно, в общем случае зависит от выбора сечения ι. Связности,для которых отображение ω ∧ определено канонически, то есть независимо от выбораι, называются мультипликативными, так как они, очевидно, задают гомоморфизм *∧алгебр Γ∧inv → Ω(P ). Вспомним, что ядро естественной проекции Γ⊗inv → Γinv порожденовекторным подпространством*+Xπ(a(1) ) ⊗ π(a(2) )|a ∈ R ⊆ Γ⊗2inv ,(a)где R ⊆ ker() — правый идеал, определяющий дифференциальное исчиение Γ на квантовой группе.

Поэтому условие мультипликативности связности ω есть*+Xω(π(a(1) ))ω(π(a(2) )) = 0.(1.30)(a)26В частности, если Γ = Γ0 — тривиальное дифференциальное исчисление, то R = 0, ипоэтому все связности будут мультипликативными. В общем случае, однако, условие(1.30) — нетривиально.Определим теперь для произвольной связности ω отображение векторных пространств mω : vh(P ) → Ω(P ) по формулеmω (ϕ ⊗ θ) = ϕω ∧ (θ).Следующая теорем взята из [6]Теорема 1.7.