Геометрия некоммутативных главных расслоений

Московский государственный университетимени М.В. Ломоносовамеханико-математический факультетНа правах рукописиУДК 514.7Шарыгин Георгий ИгорьевичГеометрия некоммутативныхглавных расслоений01.01.04 – геометрия и топологияДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель:Профессор, доктор физикоматематических наук,Ю. П. СоловьёвМосква 2000Предисловие1. Актуальность темыГлавной задачей диссертации является разработать возможно более полную теориюхарактеристических классов алгебр, на которых кодействует та или иная квантоваягруппа, или, более общо, алгебра Хопфа.С формальной точки зрения такие объекты аналогичны, точнее, двойственны, пространствам, на которых действует группа Ли. В самом деле, если рассмотреть алгебры функций на пространстве и на группе, то отображение, двойственное умножениюна элементы группы, определит обратный гомоморфизм на указанных алгебрах, удовлетворяющий (при некоторых не слишком ограничительных предположениях) всемусловиям, задающим кодействие.

Преимущество такого чисто алгебраического подходасостоит в возможности рассматривать не только коммутативные алгебры, тем самымзначительно расширяя область применимости теории. Конечно, полученным таким образом результатам нельзя дать непосредственной геометрической интерпретации, однако в последнее время и, прежде всего, в рамках так называемой некоммутативной геометрии появились многочисленные примеры некоммутативных алгебр, тесно связанныхс геометрическими объектами, изучение которых приносит значительую информацию осамом объекте.

Прежде всего речь идёт о C∗ -алгебре слоения. Кроме того, можно рассматривать скрещённые произведения алгебр функций на многообразиях и групповыхалгебр дискретных групп, изучение которых, несомненно, даёт достаточно информациио действии группы. Далее, теория групп и алгебр Ли поставляет два класса естествеено возникающих некоммутативных алгебр: универсальные обёртывающие алгебры алгебр Ли и алгебры функций относительно свёртки.

Другие обширные классы примеровнекоммутативных алгебр приходят из теории деформационного квантования, квантовой механики и квантовой теории поля. Все эти и другие примеры некоммутативныхалгебр дают широкое поле для применения идей и методов некоммутативной геометрии,одним из разделов которой является теория некоммутативных главных расслоений.Термин « некоммутативная геометрия» был предложен в начале 1980-х годов французским математиком А.Конном, [21], в связи с его исследованиями по теории слоений.Хотя некоммутативные алгебры, в частности C∗ -алгебра слоения, не могут быть отождествлены с алгебрами функций ни на каком топологическом пространстве, но оказалось чрезвычайно полезным рассматривать их в таком качестве и по мере возможностейприменять к ним те же конструкции, которые имеются в обычной дифференциальнойгеометрии.

На этом пути были получены многочисленные результаты, прежде всего втеории характеристических классов (см. [21, 22, 19, 18]). Оказалось, что конструкцияЧженя-Вейля, позволяющая строить характеристические классы векторных расслоений над гладкими многообразиями, почти дословно переносится на случай конечнопорождённых проективных модулей над произвольными ассоциативными унитальнымиалгебрами. С другой стороны, известно, что в классическом случае характеристическиеклассы векторных расслоений являются частным случаем характеристических классовсоответствующего главного расслоения.

Поэтому естественным желанием исследователей было построить аналогичную конструкцию и в некоммутативном случае.Прежде всего, необходимо найти замену структурной группы некоммутативногоглавного расслоения. Ясно, что « некоммутативными аналогами» групп Ли являтсяалгебры Хопфа. Однако, произвольная алгебра Хопфа — слишком общий объект для2этих целей. Достаточно богатый класс алгебр Хопфа, обладающх многими свойствами алгебр функций на группах Ли, был обнаружен в середине 80-х годов. Речь идёто квантовых группах, появившихся одновременно в работах нескольких математиков,см. например [13, 2].В течение 90-х годов было предпринято несколько попыток создать на основе теорииквантовых групп разумную теорию некоммутативных (квантовых) главных расслоенийи изучить геометрию с « квантовой структурной группой». К числу таких работ относятся, например [20, 17].

Наиболее последовательная и развитая теория была созданаюгославским математиком Джорджевичем (Durdevic). Не вдаваясь в подробности егоопределений, аккуратно изложенных в тексте диссертации, см. Главу 1, скажем, чтоодной из главных трудностей было дать правильную алгебраическую интерпретациюсвободного действия группы. Тем интереснее кажется факт, что это условие оказывается слегка ослабленным определением « расширения Галуа-Хопфа», объекта давноизучавшегося в алгебре.

Именно работы Джорджевича и послужили отпраной точкойданной диссертации.2. Содержание диссертацииПервая главаВ этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых группи квантовых главных расслоений. В главе практически нет утверждений и теорем, полученных автором диссертации, за исключением конструкции обобщённого гомоморфизма Вейля для случая немультипликативной регулярной связности, являющейся,по-существу, небольшим уточнением соответствующего результата для мультипликативных связностей, принадлежащего Джорджевичу. Кроме того, автору принадлежитконструкция замены структурной группы при помощи гомоморфизма.Первый параграф посвящён теории квантовых групп.

Основными источниками намслужат работы Вороновича [1]-[4]. Следует указать, что определения и результаты,которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функций на « квантовом пространстве», а не как деформированныхуниверсальных обёртывающих алгебр, каковое описание принято в большинстве работ,посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, изосновополагающей работы [13]. Содержание этого параграфа естественно разбиваетсяна три части. Во-первых, мы даём определение (Определение 1.1) и описываем основные свойства квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической частиквантовой группы (см. Определение 1.2).

Далее, мы, следуя работам [1] и [3] описываем свойства « дифференциальных исчислений» на квантовых группах. Конец первогопараграфа посвящён основам теории представлений квантовых групп в смысле Вороновича (см. [2]). Не претендуя на полноту изложения, мы ограничиваемся фактами,которые нам потребуются позднее для работы с главными расслоениями. Теоремы 1.1и 1.3 являются сводками результатов работ [3] и [2, 4] соответственно.В следующих четырёх параграфах мы последовательно излагаем теорию квантовыхглавных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мыопираемся на работы Джорджевича [5]-[9].

Некоторые другие подходы к теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии сквантовыми структурными группами можно найти также в работах [20, 17].Во втором параграфе даётся определение квантового главного расслоения по Джорджевичу (Определение 1.3), обсуждается его геометрический смысл, в частности указы3вается на связь этих объектов с расширениями Галуа-Хопфа. В конце параграфа приводятся примеры некоммутативных (квантовых) главных расслоений. В качестве одногоиз способов построения квантовых главных расслоений рассматривается принадлежащая автору конструкция замены структурной группы (см. пример 1.2.5 и предложение1.4).Третий параграф посвящён теории дифференциального исчисления на некоммутативных главных расслоениях. В начале параграфа даётся определение дифференциального исчисления на тотальном пространстве расслоения, согласованного с исчислениемΓ на структурной группе (Определение 1.4) и приводится пример, доказывающий существование таких объектов.

Далее мы определяем алгебру дифференциальных формна базе расслоения, Ω(M), алгебру горизонтальных дифференциальных форм, hor(P ),алгебру разложимых дифференциальных форм vh(P ) (при этом мы показываем, чтодва возможных способа определить её — эквивалентны, Предложение 1.5).В четвёртом параграфе излагаются основные результаты работы Джорджевича [6].Именно, дав вслед за этим автором определение псевдотензориальных, тензориальных форм и связностей на некоммутативном главном расслоении (Определение 1.5),мы формулируем без доказательства теорему о существовании связностей (Теорема1.6). Далее мы определяем мультипликативные связности (условие 1.30) и отображение mω : vh(P ) → Ω(P ). Затем мы приводим без доказательства ещё одно техническоеутверждение, принадлежащее Джорджевичу, Теор.

1.7.Вслед за этим, при помощи отображения mω определятся горизонтальное проектирование (формула 1.31), и ковариантное дифференцирование (Определение 1.6). Теорема1.8, принадлежащая Джорджевичу, содержит список свойств ковариантного дифференцирования, построеннного по произвольной связности.Совершенно аналогично случаю обычного главного расслоения, мы определяем кривизну Rω связности ω, Опр.

1.7. Список свойств форм кривизны общих связностей нанекоммутативном главном расслоении содержится в Теореме 1.9. Её, как и предыдущуютеорему мы приводим без доказательства.Чтобы обойти трудности, связанные с немультипликативностью связности, мы вводим "накрывающее отображение"R̃ω : ker → hor(P ) и доказываем, что квадрат ковариантного дифференцирования равен умножению на форму, определяемую при помощиэтого отображения (Предложение 1.10). Это отображение не рассматривалось Джорджевичем явно, однако, все доказательства свойств формы кривизны основывались, посуществу, на рассмотрении этого отображения.Следующее определение, Опр.

1.8, является ключевым для всего нижеследующегоизложения. Именно, в нём мы выделяем важнейший для нас класс связностей — регулярные связности. На идейном уровне, связность называется регулярной, если онафиксированным образом коммутирует с горизонтальными формами на расслоении (см.формулы (1.39) и (1.390 )). Существование этого требования, как нетривиального условия — чисто квантовый феномен, не существующий в обычном случае. Понятие регулярной связности введено Джорджевичем, им же исследованы свойства регулярныхсвязностей, а так же горизонталной проекции, ковариантного дифференцирования иформы кривизны, определяемых регулярной связностью.

Список этих свойств, без доказательств, которые, будучи чисто техническими, заняли бы весьма много места, мыприводим в виде теоремы (Теорема 1.11). При этом, мы переформулируем некоторые изсвойств в терминах отображения R̃ω (свойства (iii) и (iv )). Грубо говоря, регулярныесвязности — естественно выделяемый класс связностей, по своим свойствам максимально напоминающих обычные связности на главных расслоениях. Именно эти свойстваи позволяют использовать их при построении гомоморфизма Вейля.