Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 5

. . », или на какой-нибудьдругой алгебре.В дальнейшем мы будем отождествлять алгебру M и образ вложения i. Поэтомуможно считать, по-определению, что база расслоения P состоит из A - инвариантныхэлементов:defM = {m ∈ B|F (M ) = m ⊗ 1}18В самом деле, ясно, что 1 ∈ M и что, если m ∈ M, то и m∗ ∈ M. Кроме того, таккак отображение F является гомоморфизмом алгебр, то сумма и произведение любыхдвух элементов из M тоже принадлежат M, то есть множество M ⊆ B является *подалгеброй в B.Обсудим теперь условие (кгр2 ).

Заметим, прежде всего, что та же самая формула1.18 может быть использована для того, чтобы задать отображение X̃ : B ⊗M B →B ⊗ A. Иначе говоря, отображение X пропускается через B ⊗M B. Кроме того, обаотображения, и X, и X̃, являются морфизмами левых B модулей. Поэтому условие(кгр2 ) эквивалентно следующему условию(кгр2 0 ) Для любого a ∈ A существуют элементы pk , qk ∈ B, чтоXXpk ⊗ qk = 1 ⊗ a.kОбъясним, наконец, геометрический смысл определения 2.1. В классическом случаеглавное расслоение P со структурной группой G — это пространство, на котором свободно действует группа Ли G. Действие группы G задаётся отображением f : P × G → P ,таким, что коммутативны следующие диаграммы:f ×idGP × G × G −−−→P ×Gid ×ϕfy PyP ×Gf−−−→P,i1P −−−→ P ×GfyPP.Здесь ϕ — умножение в группе Ли G, и i1 (p) = p × {e}.

База расслоения P тогдаотождествляется с фактор-пространством M = P / G.В соответсвие с общей идеологией, описанной во « Введении», мы должны заменить сами пространства на соответствующие алгебры (гладких) функций и при этомобратить все стрелки в диаграммах. Тогда несложно проверить, что отображение пространств f при этом превращается в отображение ∗-алгебр F , удовлетворяющее уравнениям (2.1) и (2.2). (Ср.

§1.1, определение представлений квантовой группы.) Базарасслоения становится множеством M — A-инвариантных элементов алгебры B.В классическом случае условие свободности действия f эквивалентно инъективностиследующего отображенияY : P × G → P × P,Y(p, g) 7→ (p, p · g),где p · g = f (p, g).

Очевидно, что образ отображения Y лежит в подпространствеdefP ×M P = {(p, q) ∈ P × P |π(p) = π(q)} ⊂ P × P,где π : P → M – естественная проекция. Но инъективное отображение пространств,очевидно, индуцирует сюръективное отображение алгебр функций. В результате обращения стрелок в определении отображения Y , получается отображение X (или X̃).Следовательно условие (кгр2 ) является обобщением классического условия свободностидействия структурной группы на пространстве расслоения.Замечание. Несложно проверить, что, на самом деле, в классическом случае образотображения Y совпадает с пространством P ×M P . На языке алгебр функций этоутверждение эквивалентно следующему условию:19(ргх ) Отображение X̃ : B ⊗M B → B ⊗ A — изоморфизм.В квантовом случае, однако, автору не известно доказательство того, что из условия(кгр2 ) следует изоморфность отображения X̃.Если на алгебре B действует справа алгебра Хопфа A, так что выполняется условие(ргх ) то говорят, что B является расширением Галуа – Хопфа алгебры M при помощиалгебры Хопфа A.

Эти объекты изучаются, например в статье [11].Закончим этот раздел примерами квантовых главных расслоений.Пример 1.2.1 (Тривиальные главные квантовые расслоения). Пусть M — произвольнаяунитальная *-алгебра, A — квантовая группа. Положим B = M ⊗ A. Кодействие F наB задаётся формулой F (m ⊗ a) = m ⊗ φ(a), где m ∈ M, a ∈ A и φ : A → A ⊗ A— коумножение в квантовой группе A. То, что отображение F является кодействием(то есть верны формулы (2.1) и (2.2) ) и то, что алгебра M совпадает со множествомA-инвариантных элементов этого кодействия — очевидно.Проверим, что действие группы A на B – свободное, то есть, чтоPвыполняется условие0(2 ). Рассмотрим произвольный элемент a ∈ A.

Пустьφ(a) =k bk ⊗ ck , тогда дляPpk = 1 ⊗ κ(bk ), qk = 1 ⊗ ck , очевидно, X= 1 ⊗ a. В частности, самаk p k ⊗ qkквантовая группа A является тривиальным расслоением над точкой: C ∞ (pt) = C.Пример 1.2.2. Пусть Γ∧ — алгебра (некоммутативных) дифференциальных форм наквантовой группе A. Алгебра A действует на Γ∧ справа (Напомним, что мы рассматриваем только би-ковариантные дифференциальные исчисления.) Множество неподвижных точек этого действия состоит из право-инвариантных дифференциальных форм нагруппе, inv Γ∧ (см. §1.1).

Чтобы проверить выполнение условия (2 0 ), достаточно вспомнить, что существует разложениеΓ∧ = inv Γ∧ ⊗ A.PДалее, так же как в Примере 2.1, берём pk = 1 ⊗ κ(bk ), qk = 1 ⊗ ck , где k bk ⊗ ck = φ(a).Пример 1.2.3 (Скрещённые произведения). Примеры 2.1 и 2.2 — частные случаи следующей общей конструкции. Пусть ∗-алгебра Хопфа A действует слева, (в обычномсмысле!) на унитальной ∗-алгебре M, так что выполняются следующие условия:Xa(m · n) =a(1) (m) · a(2) (n), a(1) = (a),(a)a∗ (n∗ ) = (κ−1 (c)(n))∗ ,Pдля любого a ∈ A, m, n ∈ M,(a) a(1) ⊗ a(2) = φ(a) и a(m) — результат действияэлемента a на m.Тогда можно определить алгебру M o A.

Именно: как векторное пространство M oA∼= M ⊗ A, а умножение и ∗-структура на M o A задаются при помощи формулX(m ⊗ b)(n ⊗ c) =mb(1) (n) ⊗ b(2) c(1.19)(b)(m ⊗ b)∗ =Xb∗(1) (m∗ ) ⊗ b∗(2) .(1.20)(b)На MoA справа очевидным образом ко-действует алгебра Хопфа A, так что множествонеподвижных точек этого кодействия совпадает с M. Если A — квантовая группа, то,чтобы доказать, что мы получили квантовое главное расслоение, осталось проверить20выполнение условия (кгр2 ), что делается точно так же, как в предыдущих двух примерах.Чтобы теперь получить из этой общей конструкции тривиальное главное расслоениепримера 1.2.1, надо положить, что a ∈ A действует на m ∈ M по формулеa(m) = (a)m,а в примере 1.2.2 M = inv Γ∧ и действие задаётся формулойXa(θ) =a(1) θκ(a(2) ), θ ∈ inv Γ∧(a)(см.

§1.1).Совершенно аналогично можно определить скрещённое произведение в случае, когдаалгебра Хопфа действует на унитальной алгебре N справа, в этом случае пишут A oN . Кроме того, скрещённые произведения можно определить когда алгебра Хопфа Aдействует слева (соотв. справа) на алгебре M и ко-действует справа (соотв. слева) наалгебре N . Полученная алгебра обозначается M n N (соотв. N o M). Подробностиможно найти, например, в книге [12] (см. также [20]).Пример 1.2.4 (Однородные пространства). Пусть задано вложение квантовых группϕ̃ : G0 → G, то есть эпиморфное отображение алгебр Хопфа ϕ : A → A0 . Тогда можнопостроить некоммутативное главное расслоение со структурной группой G0 . Алгебройгладких функций на пространстве этого расслоения служит A, действие A0 на A определяется формулойXFA0 (a) =a(1) ⊗ ϕ(a(2) ).(1.21)(a)В силу эпиморфности отображения ϕ условие (кгр2) выполняется.

Следовательно, (A,FA0 ) — квантовое главное расслоение со структурной группой A и базойM0 = {a ∈ A|FA0 (a) = a ⊗ 1}.Заметим, кстати, что эта же конструкция позволяет из произвольного главного расслоения со структурной квантовой группой A получить главное A0 -расслоение.Пример 1.2.5 (Замена структурной группы). Пусть задано квантовое главное расслоение P = (B, F ) и пусть f : A0 → A — гомоморфизм квантовых групп (то есть морфизм алгебр Хопфа).

Определим квантовое главное расслоение P 0 , с базой M, ассоциированное с P при помощи гомоморфизма f . Именно, рассмотрим подпространствоB A A0 ⊆ B ⊗ A0 :B A A0 = ker F ⊗ idA0 − idB ⊗ A F = Φ : B ⊗ A0 → B ⊗ A ⊗ A0 ,(1.22)Pгде A F (a0 ) = (a0 ) f (a0(1) ) ⊗ a0(2) . Пространство B A A0 называется тензорным произведением B и A0 над алгеброй Хопфа A.Предложение 1.4. Пространство B A A0 является алгеброй гладких функций на квантовом главном расслоении со структурной группой A0 и базой M, то есть это алгебра00для которой существует правое ко-действие F : B A A → B A A ⊗ A0 , такое,что выполняется условие (кгр2) и подалггебра, неподвижная относительноэтого кодействия, изоморфна M.21Доказательство. Так как оба отображения, и F ⊗ idA0 , и idB ⊗ A F — гомоморфизмы*-алгебр, то пространство B A A0 является *-подалгеброй в B ⊗ A0 с единицей 1 ⊗ 10 ∈B A A0 .000Действие группы G наB A A задаётся как ограничение на B A A отображенияidB ⊗ φ0 : B ⊗ A0 → B ⊗ A0 ⊗ A0 (здесь φ0 – коумножение в A0 ).