Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 2

Именно, оказы4вается, что очевидная перефразировка классической конструкции Чженя-Вейля (см.,например [16]), позволяет почти дословно перенести доказательства из книги на случайрегулярной связности на некоммутативном главном расслоении (Теорема 1.12). Отметим, что в работах Джорджевича не ставится вопроса о существовании регулярныхсвязностей на некоммутативных главных расслоениях, ответ на который даётся в третьей главе данной диссертации.Завершается параграф несколькими замечаниями, касающимися образа и областиопределения отображения из теоремы 1.12, а также её переформулировкой на случайнемультипликативной регулярной связности (Теорема 1.13 и следующие за ней замечания).

В конце параграф мы определяем гоморфизм Вейля в случае регулярной (мультипликативной или немультипликативной) связности, как отображение, фигурирующее втеоремах 1.12 или 1.13.Последний параграф первой главы посвящён теории векторных расслоений, ассоциированных с данным главным. Вслед за определением и списком основных свойствэтих объектов (опр.

1.10 и теорема 1.14) мы возвращаемся к предложению 1.4 и доказываем недостающие утверждения. Далее, мы описываем связь между категориейассоциированных векторных расслоений некоторого главного квантового расслоения исамим расслоением (теорема 1.17), что позволяет нам строить новые примеры некомутативных главных расслоений. Аналогично ранее данному определению векторного расслоения Eu , ассоциированному с некоммутативным главным расслоением при помощинекоторого представления структурной квантовой группы, мы определяем пространство Eu -значных дифференциальных форм на базе.

Список свойств этих пространствсодержится в теореме 1.18.Далее мы, следуя работе Джорджевича [6] вкратце излагаем теорию характеристических классов ассоциированных векторных расслоений. Для этого мы определдяемканонический след градуированного автоморфизма пространства Eu -значных дифференциальных форм на базе (см. диаграмму (1.48)), который нам затем понадобится втретьей главе при изучении препятствий. Оказывается, что канонический след квадрата « транспонируемого дифференцирования» (см. Опр. 1.12) такого модуля задаётхарактеристические классы в когомолгиях центра алгебры базы, не зависящие от выбора такого дифференцирования (теор.

1.22 и следствие 1.23). В том случае, когдадифференцирование, фигурирующее в указанных утверждениях порождено регулярной связностью на некоммутативном главном расслоении, построенные таким образомклассы оказываются в образе обобщённого гомоморфизма Вейля (предл. 1.24).Заканчивается параграф ещё одной теоремой Джорджевича (теор. 1.25), описывающей связь между дифференцированиями пространств Eu -значных дифферециальныхформ и регулярными связностями.Вторая главаВ этой главе, состоящей из трёх параграфов, мы описываем явно, во что превращаютсяобщие конструкции предыдущей главы в важных для приложений частных случаях.Так, в первом параграфе мы разбираем случай « локально-тривиального» главногоквантового расслоения над гладким многобразием.

Именно, взяв за основу работу [5],мы, вслед за Джорджевичем определяем локально-тривиальные квантовые расслоения,как алгебры B, для которых существуют тривиализующие гомеоморфизмы (Определение 2.1). Прежде, чем приступить к исследованию данного класса квантовых главныхрасслоений, мы приводим пример не локально-тривиального некоммутативного главного расслоения над гладкой базой, с « квантовой структурной группой» S 1 . Возвращаясь после этого к локально-тривиальному случаю, мы доказываем (Теорема 2.5),5что в этом образ обобщённого гомоморфизма Вейля W̃ такого расслоения состоит изхарактеристических классов « классической части» расслоения P , определение которой приводится выше (см.

Теорему 2.1). Теорема 2.5, является основным содержаниемданного раздела. Прежде, чем доказать её, приходится провести много вспомогательных рассуждений. Так, мы описываем набор векторных расслоений, асоциированныхс локально-тривиальным квантовым главным рассллоением (Лемма 2.4 и Теорема 2.3)и, пользуясь этим результатом и Теоремой 2.2, взятой из [5], мы описываем связностина локально-тривиальном главном квантовом расслоением над гладким многообразием как навбор связностей на ассоциированных векторных расслоениях (Теорема 2.3).Все эти результаты используются при доказательстве теоремы 2.5, однако они предсатвляют интерес и сами по себе, например в связи с возможными исследованиямиструктуры пространств связностей и уравнения Янга-Миллса для некоммутативногоглавного расслоения.Далее, в параграфах 2.2 и 2.3 мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения (необязательно локально-тривиального) служит произвольная унитальная алгебраM.

В этом случае мы строим алгебру « полуклассических горизонтальных дифференциальных форм» на расслоении P , hor∗sc (P )), удовлетворяющую всем условиям пункта(ii) теоремы 1.25. После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случаеэквивалентно понятию « лифта дифференцирований», а теория характеристическихклассов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах [18], [19].Параграф 2.2 посвящён описанию « полуклассического» дифференциального исчисления на главном квантовом расслоении, точнее, алгебры « полуклассических» горизонтальных форм на главном квантовом расслоении, построенной по алгебре Ли дифференцирований базы. Определение этой алгебры (Опр.

2.3) полностью аналогичноопределению алгебры дифференциальных форм, построенной по дифференцированиямпроизвольной ассоциативной алгебры (см. Опр. 2.1), данной в [18]. Небольшое отличиепроявлется в том, что нам приходится работать с алгебрами, снабжёнными инволюцией,в связи с чем определения указанной работы было необходимо несколько видоизменить(см. Определение 2.2). Другое отличие состоит в необходимости описывать кодействиеквантовой структурной группы на этой алгебре.Основной теоремой данного параграфа является Теорема 2.10, описывающая свойства алгебры полуклассических дифференциальных форм на квантовом главном расслоении.

Оказывается, что для построенной алгебры справедливы все разложения, которые выполняются для алгебр горизонтальных диффенренциальных форм на главномквантовом расслоении (сравни Теор. 1.25). Важность этого утверждения в том, что мыне предъявляем никакого дифференциального исчисления на квантовом раслоении, алгеброй горизонтальных форм которого могла бы служить hor∗sc (P ), однако, благодаряутверждению (ii) теоремы 1.25, мы можем говорить о регулярных связностях на главном расслоении, заменяя их на подходящие дифференцирования алгебры hor∗sc (P ). Более того, ограничиваясь одним из модулей, входящих в разложения Теоремы 2.10, мыможем изучать классы Чженя соответствующего ассоциированного векторного расслоения, изучая « транспонируемые дифференцирования» указанного модуля, см. §1.5.В последнем параграфе второй главы мы изучаем связности и кривизны на главныхквантовых расслоениях в случае, когда алгебра горизонтальных форм — полуклассическая.

А именнно, в предложении 2.12 вводится понятие « лифта дифференцирований», аналогичное классическому понятию « лифта векторных полей», см. [16], и доказывается, что задание лифта дифференцирований на алгебре полуклассических гори-6зонтальных дифференциальных форм эквивалентно заданию регулярной связности наподходящем дифференциальном исчислении на главном квантовом расслоении. Далеемы изучаем структуру кривизны в случае полуклассического дифференциального исчисления на главном квантовом расслоении.

Оказывается (см. предложение 2.13), чтокривизна, определяемая общими методами из главы 1, совпадает в рассматтриваемомслучае с тем, что дают конструкции из работ [19], [18].Третья главаПоследняя глава диссертации посвящена следующему важному вопросу: существуют лина гланом квантовом расслоении регулярные связности? Дело в том, что все конструкции Джорджевича, описанию которых посвящена первая глава, никак не отвечая напоставленный вопрос, тем не менее целиком и полностью основываются на предположении, что ответ на него положительный.

В качестве оправдания, в работе [6] приводитсяконструкция, позволяющая изменить дифференциальное исчисление на главном расслоении таким образом, что необходимые для работы связности появляются. Однако,структуру нового дифференциального исчисления, полученного подобным путём, совершенно невозможно предсказать. Например, может случиться, что новое дифференциальное исчисление будет тривиальным (равным нулю в размерностях выше нулевой).То же самое касается и второй из представленных в главе 1 конструкций характеристических классов, связанных с ассоциированными векторными расслоениями (см. §1.5):вопрос о существовании необходимых для её успешной реализации «транспонируемыхдифференцирований» соответствующих бимодулей никак не решается.Решению этих двух проблем и посвящена третья глава.

В первом параграфе мыизучаем вопрос о существовании регулярных связностей. Оказывается, основываясь напроизвольной связности на расслоении, можно построить класс в когомологиях специально построенного по алгебре hor(P ) пространству Γinv коцепного комплекса (см.формулы (3.4) и (3.5)), служащий препятствием для существования связности на главном квантовом расслоении – равенство этого класса нулю необходимо и достаточно длясуществования регулярной связности (теорема 3.5 и следствие 3.6).

Более того, припомощи этого препятствия мы построим аналог гомоморфизма Вейля, принимающийзначение в Хохшильдовых когомологиях алгебры M, со значениями в Ω(M)(или, более общо, в когомологиях Хохшильда градуированной алгебры Ω(M), см. теорему 3.8и замечание после неё).В общем случае, однако, вычислить подобное препятствие не представляется возможным. Поэтому во втором параграфе мы разарабатываем более простой аналог вышеуказанной конструкции, позволяющий ответить на второй из поставленных вопросов:существование дифференцирований на присоединённых векторных расслоениях, прежде всего, в случае полу-классического дифференциального исчисления (см.

главу 2). Вначале параграфа разбирается более простой вопрос, а именно, впрос о препятствиидля существования связности на произвольном правом модуле над алгеброй M. В этомслучае удаётся построить несложный комплекс и указать класс в его гомологиях, служащий препятствием для существования связности, см. (3.15), (3.17) и предложение3.10. В случае, когда модуль E — проективный, мы получаем, в качестве следствияиз предыдущих конструкций, хорошо известный езультат (см.

[18], [21], [22]), гласящий,что на E существует связность, предл. 3.11. Далее мы приводим аналогичную конструкцию, позволяющую строить препятствия для существования связности на бимодулях,см. (3.18) - (3.21) и предложение 3.12. В случае, когда бимодуль E является векторнымрасслоением, ассоциированным с некоторым некоммутативным главным расслоением,его свойства (см. теор. 1.14) позволяют значительно упростить данную конструкцию,7а именно, вместо достаточно громоздкого комплекса (3.18), являющегося на самом деле тотальным комплексом бикомплекса (3.23), мы можем рассмотреть более простойкомплекс (3.23), (3.25), при этом препятствие будет задаваться коциклом (3.27).