Геометрия некоммутативных главных расслоений, страница 12

, dxn ),aj = Rj (x2 , . . . , xn , dx2 , . . . , dxn ), j = 2, . . . , m,где Rl , l = 1, . . . , m — 1–формы, такие что в некоторой точке x0 : Rj (x0 ) = 0, dRj (x0 ) = 0.Тогда в этой точкеXXF α (x0 ) =ei ⊗ f i (x0 ) =ei ⊗ dRi (x0 ),iiи значит (2.11) превращается в этой точке в равенство0 = Q1 (dR1 (x0 ), .

. . , dRm (x0 ))dx1 .Далее, пусть {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn } (n = dim M ) — базис в Λ1 (Tx∗0 M ), ξi = dxi . Тогда последнееравенство переписывается в формеQ1 (η1 , η2 , . . . , ηm )ξ1 = 0,где ηi ∈ Λ2 (ξ1 , . . . , ξn ), причем в выражения для ηi не входит ξ1 . Но ясно,что подходящим выбором ηi можно добиться, чтобы Q1 (η1 , η2 , .

. . , ηm ) 6= 0. ТогдаQ1 (η1 , η2 , . . . , ηm )ξ1 6= 0. Противоречие.Итак, многочлены Qi , входящие в (2.11) тождественно равны нулю. Поэтому длялюбых двух косоэрмитовых матриц A и B выполняется равенство:X ∂pX ∂p X{Bik Akj − Aik Bkj } =[B, A]ij = 0,∂A∂Aijiji,ji,jkгде p = p(Aij ) = p(A) — многочлены от матричных элементов. Но, как известно,[B, A] =dB̂ −1 (t)AB̂(t).dt|t=053Здесь B̂ = etB , B̂ −1 = e−tB . Положим q(t) = p(B̂ −1 )(t)AB̂(t) = p(Â(t)). Тогда мы можем найти производную q(t). Заметим, что при всех t матрица B̂ −1 (t)AB̂(t) = Â(t) —косоэрмитова, поэтомуq 0 (t0 ) =X ∂p dp(Â(t)) dÂij (t) = .dtdt t=t0t=t0t=t0i,j ∂ ÂijНоdÂij (t) =dt t=t0d dt t=t0!.ijИd d d d = e−tB AetB = e−(t0 +t)B Ae(t0 +t)B = e−tB CetB = [B, C],dt t=t0 dt t=t0dt t=0dt t=0где C = e−t0 B Aet0 B = Â(t0 ), поэтомуq 0 (t0 ) =X ∂p[B, C]ij = 0.∂Ciji,jИтак, q(t) = const = q(0) = p(A). Так как множество унитарных матриц вида eBпорождает всю группу U (nα ), то тем самым мы доказали утверждение в данном случае.В случае, когда мы не фиксируем α ∈ T \ {∅}, и в случае, когда вместо косоэрмитовых матриц рассматривается другая матричная алгебра Ли, рассуждения полностьюангалогичны (таким образом утверждение Леммы верно и для R̃ω⊗ (ea)).

Лемма доказана.Утверждение теоремы теперь следует из определения гомоморфизма Вейля классического главного расслоения.В заключение этого параграфа отметим, что может случиться, что в образе Rω⊗ (I⊗ )eω⊗ ((ker )⊗ )) вообще не содержится замкнутых форм.(или Rinv2.2Полуклассические дифференциальные исчисленияПусть M — произвольная унитальная (необязательно коммутативная) алгебра. В работах [18], [19] построена дифференицальная градуированная алгебра ΩZ (M), которуюмы будем использовать в дальнейшем. Опишем поэтому конструкции, предложенные вуказанных статьях.Пусть M — ассоциативная алгебра с единицей (не обязательно коммутативная).Пусть Z — коммутативная подалгебра в M, лежащая в центре алгебры M, Z(M);der(M) — дифференцирования алгебры M, т.е.der(M) = {X ∈ HomK (M, M) | X(ab) = X(a)b + aX(b)},где K — основное поле (C в нашем случае).Очевидно, что правила(zX)(m) = zX(m),(Xz)(m) = X(m)z,54для любого X ∈ der(M), z ∈ Z, m ∈ M, задают над der(M) структуру коммутативногобимодуля над Z, т.е.zX = Xz,∀X ∈ der(M), z ∈ Z.Кроме того, пусть X, Y ∈ der(M) — произвольные дифференцирования алгебры M.Положим[X, Y ](m) = X(Y (m)) − Y (X(m)).Тогда[X, Y ](m1 m2 ) = X(Y (m1 )m2 + m1 Y (m2 )) − Y (X(m1 )m2 + m1 X(m2 )) == X(Y (m1 ))m2 + Y (m1 )X(m2 ) + X(m1 )Y (m2 ) + m1 X(Y (m2 ))−− Y (X(m1 ))m2 − X(m1 )Y (m2 ) − Y (m1 )X(m2 ) − m1 Y (X(m2 )) =[X(Y (m1 )) − Y (X(m1 ))]m2 + m1 [X(Y (m2 )) − Y (X(m2 ))] == [X, Y ](m1 )m2 + m1 [X, Y ](m2 ),т.е.

[X, Y ] ∈ der(M). Очевидно, что операция [, ] задает на der(M) структуру алгебрыЛи над K.Рассмотрим внешнюю алгебруMΛnZ (M),Λ∗Z (M) =n>0.где Λ0Z (M) = K, ΛnZ (M) = Λn (der(M)) ∼, где Λn (der(M)) — обычная внешняя степеньвекторного пространства der(M), рассматриваемая естественным образом как бимодульнад Z, а отношение эквивалентности определяется равенствамиz(X1 ∧ · · · ∧ Xn ) = zX1 ∧ · · · ∧ Xn == X1 ∧ zX2 ∧ · · · ∧ Xn = · · · == X1 ∧ · · · ∧ zXr ∧ · · · ∧ Xn == · · · = X1 ∧ · · · ∧ zXn = (X1 ∧ · · · ∧ Xn )zдля любых X1 , . .

. , Xn ∈ der(M), z ∈ Z.Рассмотрим теперь градуированное пространствоMΩ∗Z (M) =ΩnZ (M),n>0гдеΩ0Z (M) = Hom(C, M) = M,ΩnZ (M) = HomZ (ΛnZ (M), M),n > 1.Пусть ω1 ∈ ΩnZ (M), ω2 ∈ ΩmZ (M) — произвольные элементы. Определим элементn+mω1 ∧ ω2 ∈ ΩZ (M) при помощи формулыX(ω1 ∧ ω2 )(X1 , . . . , Xm+n ) =(−1)ε(π) ω1 (Xi1 , . .

. , Xin )ω2 (Xj1 , . . . , Xjm ),(2.12)i1 <···<inj1 <···<jmгде ε(π) — знак перестановки π ∈ Σn+m , π(k) = ik , k = 1, . . . , n, π(n + k) = jk , k =1, . . . , m, если n, m > 1; если ω1 = a ∈ M, то(aω2 (X1 , . . . , Xm )) = a · ω2 (X1 , . . . , Xm ),55и, аналогично, если ω2 = b ∈ M, то(ω1 b(X1 , . . .

, Xn )) = ω1 (X1 , . . . , Xn ) · b.Определим для произвольного элемента ω ∈ ΩnZ (M), n > 1, элемент dω ∈Hom(Λn+1Z (M), M),(dω)(X1 , . . . , Xn+1 ) =n+1Xbi , . . . , Xn+1 ))+(−1)i−1 Xi (ω(X1 , . . . , Xi=1Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ),(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<jгде b означает пропуск элемента.Следующая теорема доказана в работе [18].Теорема 2.7.(i) Отображение∧ : Ω∗Z (M) ⊗ Ω∗Z (M) → Ω∗Z (M)ω1 ⊗ ω2 7→ ω1 ∧ ω2 ,превращает пространство Ω∗Z (M) в градутированную (но, вообще говоря, некоммутативную) алгебру.(ii) Для любого ω ∈ ΩnZ (M), n > 1dω ∈ Ωn+1Z (M).(iii) Если положить (da)(X) = X(a), для любого a ∈ M = Ω0Z (M), то будет выполняться равенство d2 ω = 0, для любого ω ∈ Ω∗Z (M).(iv ) Для любых ω1 ∈ ΩnZ (M) и ω2 ∈ ΩmZ (M) выполняется равенствоd(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)n ω1 ∧ d(ω2 ).Таким образом, пространство Ω∗Z (M) превращается в дифференциальную градуированную алгебру.В случае, если M — унитальная ∗–алгебра, следует потребовать, чтобы Z ⊆ Z(M)состояла из ∗–инвариантных (эрмитовых) элементов.

Вместо алгебры Ли всех дифференцирований мы будем рассматривать эрмитовы дифференцирования, то естьderh (M) = {X ∈ der(M) | X(a∗ ) = X(a)∗ ,∀a ∈ M}.Ясно, что derh (M) является подалгеброй Ли в der(M) и одновременно Z–подмодулемв der(M).Можно построить дифференциальную градуированную алгебру Ω∗Z,h (M),MΩ∗Z,h (M) =ΩnZ,h (M),n>0гдеΩ0Z,h (M) = MΩnZ,h (M) = HomZ (ΛnZ (derh (M)), M),n > 1.Умножение и дифференциал в алгебре ΩnZ,h (M) задаются теми же самыми формулами,что и умножение и дифференциал в ΩnZ (M).56Предложение 2.8. Формула(ω ∗ )(X1 , . . .

, Xn ) = (ω(X1 , . . . , Xn ))∗ ,(a)∗ = a∗ , a ∈ Ω0Z,h (M) = Mω ∈ ΩnZ,h (M), n > 1, и(2.13)задает на Ω∗Z,h (M) структуру градуированной ∗–алгебры, совпадающую на Ω0Z,h (M)со ∗–структурой на M.Доказательство. Второе утверждение предложения 2.8 очевидно. Докажем первое.Прежде всего, если n > 1, то, очевидно,ω ∗ (zX1 , . . .

, Xn ) = (ω(zX1 , . . . , Xn ))∗ == (zw(X1 , . . . , Xn ))∗ = (ω(X1 , . . . , Xn ))∗ z ∗ =z(w(X1 , . . . , Xn ))∗ = zω ∗ (X1 , . . . , Xn ),то есть ω ∗ ∈ ΩnZ,h (M). Далее, если ω1 ∈ ΩnZ,h (M), ω2 ∈ ΩmZ,h (M), n, m > 1 — произвольные элементы, то(ω1 ∧ ω2 )∗ (X1 , . .

. , Xm+n ) = ((ω1 ∧ ω2 )(X1 , . . . , Xm+n ))∗ =∗ X(−1)ε(π) ω1 (Xi1 , . . . , Xin )ω2 (Xj1 , . . . , Xjm ) =i1 <···<inj1 <···<jm=X(−1)ε(π) ω2∗ (Xj1 , . . . , Xjm )ω1∗ (Xi1 , . . . , Xin ) =i1 <···<inj1 <···<jm= (−1)ε(τ ) (ω2∗ ∧ ω1∗ )(X1 , .

. . , Xm+n ),где τ — перестановка, τ ∈ Σm+n , τ меняет местами блок, состоящий из первых n элементов с блоком, состоящим из последних m элементов (элементы внутри блоков неперемещаются). Несложно видеть, что ε(τ ) = (−1)mn , то есть выполняется равенство(ω1 ∧ ω2 )∗ = (−1)deg ω1 ·deg ω2 ω2∗ ∧ ω1∗ .57(2.14)Наконец, покажем, что d(ω ∗ ) = (dω)∗ для любого ω ∈ ΩnZ ,h (M), n > 1. В самом деле,(dω)∗ (X1 , . . . , Xn+1 ) = (dω(X1 , . .

. , Xn+1 ))∗ =n+1X!∗bi , . . . , Xn+1 ))(−1)i+1 Xi (ω(X1 , . . . , X+i=1!∗X+bi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 )(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , X=i<j=n+1Xi+1(−1)∗bXi (ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xn+1 )) +i=1+X∗bi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) =(−1)i+j ω([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<j=n+1Xbi , . . . , Xn+1 ))∗ +(−1)i+1 Xi (ω(X1 , . . .

, Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) =(−1)i+j ω ∗ ([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<j=n+1Xbi , . . . , Xn+1 ))+(−1)i+1 Xi (ω ∗ (X1 , . . . , Xi=1+Xbi , . . . , Xbj , . . . , Xn+1 ) =(−1)i+j ω ∗ ([Xi , Xj ], X1 , . . . , Xi<j= d(ω ∗ )(X1 , .

. . , Xn+1 ).Это равенство верно для любых X1 , . . . , Xn+1 ∈ derh (M), значит, верно, что d(ω ∗ ) =(dω)∗ .До сих пор все дифференциальные формы, которые мы рассматривали, были пололжительной степени, поэтому для окончания доказательства осталось заметить, чтоесли степень одной из двух форм ω1 , ω2 равна нулю, то равенство (2.14) выполняетсяавтоматически.Вернемся теперь к главным квантовым расслоениям. Пусть P = (B, F ) — главноеквантовое расслоение со структурной группой A и базой M.