Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 7

Îêàçûâàåòñÿ,ñîîòâåòñòâóþùèé îòðåçîê [c1 , c2 ] ⊂ (a0 , b0 ) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé, ïðèòîì íåâûðîæäåííûì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ôóíêöèè UC0 .  ñàìîì äåëå, èç (1.2.4), óñëîâèÿ (∀)s−loc îïðåäåëåíèÿ1.2.1 ñëåäóåò, ÷òî UC000 (c1 ) > 0 (ò.ê. â ñëó÷àå UC000 (c1 ) = 0 ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè ïåðèîäà Φ ñîäåðæèò èíòåðâàë ââèäó (1.2.4), à çíà÷èò íå ñîñòîèò èç ïîïàðíî ñîèçìåðèìûõ÷èñåë, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ (∀)s−loc îïðåäåëåíèÿ 1.2.1).

Ò.ê. îòðåçîê [c1 , c2 ] íà ñàìîìäåëå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé íåâûðîæäåííîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè UC0 , òî âûïîëíåíîóñëîâèå (∃)loc îïðåäåëåíèÿ 1.2.1. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ Ψ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåéíà (a, b).Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1.2.1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ψ ÿâëÿåòñÿ ρ-çàìûêàþùåéèëè ñèëüíî èëè ñëàáî ρ-çàìûêàþùåé, òî îíà àâòîìàòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé.Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèÿ Ψ ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé íà (a, b), è ôóíêöèÿ ρ íåèìååò íóëåé íà (a, b). Ïóñòü z0 ∈ (a, b) íåâûðîæäåííîå óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿóðàâíåíèÿ ïðè íåêîòîðîì K = K0 > 0 (êîòîðîå ñóùåñòâóåò â ñèëó óñëîâèÿ (∃)loc îïðåäåëåíèÿ 1.2.1).

Òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (∀)loc , òî ïðè C = 2/K 2 è C0 = 2/K02 ôóíêöèè Ψ,ρ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé (1.2.6) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè (z0 −ε, z0 +ε) ⊂ (a, b)òî÷êè z0 (ñîãëàñíî ëåììå 1.2.4). Áóäåì ïîíåìíîãó óâåëè÷èâàòü ìíîæåñòâî, íà êîòîðîìâûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.2.6). Ïóñòü (a0 , b0 ) ⊆ (a, b) ìàêñèìàëüíûé ïî âêëþ÷åíèþèíòåðâàë, ñîäåðæàùèé òî÷êó z0 , íà êîòîðîì âûïîëíåíû äèôôåðåíöèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ(1.2.6).  ñèëó ãëàäêîñòè ôóíêöèé Ψ, ρ, ñîîòíîøåíèÿ (1.2.6) âûïîëíÿþòñÿ íà ïðîìåæóòêåÄîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 327I := [a0 , b0 ] ∩ (a, b).

Îòñþäà è èç ëåììû 1.2.4 ñëåäóåò, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïðîìåæóòêà I â (a, b) âåðíà îäíà èç ôîðìóë äëÿ ïàðû (Ψ, ρ), óêàçàííûõ â ëåììå 1.2.4. ÎòñþäàI = (a0 , b0 ) = (a, b), òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èíòåðâàë (a0 , b0 ) íåìàêñèìàëåí. Òàêèìîáðàçîì, íà âñåì èíòåðâàëå (a, b) âåðíà îäíà èç ôîðìóë äëÿ ïàðû (Ψ, ρ), óêàçàííûõ âëåììå 1.2.4; ñîãëàñíî ýòîé æå ëåììå Ψ ÿâëÿåòñÿ ρ-çàìûêàþùåé è ñèëüíî ρ-çàìûêàþùåé.Îòñþäà Ψ ÿâëÿåòñÿ ïîëóëîêàëüíî ρ-çàìûêàþùåé è ñëàáî ρ-çàìûêàþùåé. çàâåðøåíèè äîêàçàòåëüñòâà îòìåòèì, ÷òî åñëè ρ(z) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé âîçðàñòàþùåé íà (a, b) ôóíêöèåé, òî èìåþò ìåñòî îáå âîçìîæíûå ρ-çàìûêàþùèå ñèëîâûå ôóíê2öèè Ψi (z) = Ai (z − ζ)1−i , i = 1, 2, ïðè÷åì ñîîòâåòñòâóþùèå óãëîâûå ïåðèîäû ðàâ√íû Φi = 2π/βi = 2π/(i ρ0 ).

Åñëè ρ(z) èìååò âèä ρ2 (z) ïðè D 6= 0, òî âîçìîæíàÿ ρçàìûêàþùàÿ ôóíêöèÿ ðîâíî îäíà: ýòî Ψ2 (z) = A(z − ζ)−3 , ïðè÷åì Φ = 2π/β . Åñëè ρ(z)íå ïðèíàäëåæèò íè îäíîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âèäîâ, òî íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü íè îäíîéρ-çàìûêàþùåé ñèëîâîé ôóíêöèè Ψ. 28Ãëàâà 2Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ýòîé ãëàâå ìû îïèøåì âñå äâóìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé âðàùåíèÿ,à òàêæå ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé âðàùåíèÿ, áåç ýêâàòîðîâ, íà êîòîðûõ ñóùåñòâóåò çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë, ïðèâîäÿùèé ê çàìêíóòûì îðáèòàì. Òàêèì îáðàçîì, áóäåòîáîáùåíà êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ.

Îñíîâíûì âñïîìîãàòåëüíûì ñðåäñòâîì ñòàíóò ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè îðáèò. Óñòàíîâëåííàÿ ñâÿçü(ïðåäëîæåíèÿ 2.1 - 2.5) ìåæäó ñâîéñòâàìè ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà è ãåîìåòðèåé îðáèò ïîçâîëÿò äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü â öåíòðàëüíîé òåîðåìå 6. Óñòàíîâëåííûé ÿâíûéâèä îðáèò (2.2.18)-(2.2.20) êàê çàâèñèìîñòè íåóãëîâîé êîîðäèíàòû θ îò óãëîâîé ϕ, ò.å.ôóíêöèè θ(ϕ), ïîçâîëèò äîêàçàòü äîñòàòî÷íîñòü â òåîðåìå 6, óñòàíîâèòü âåëè÷èíó ìèíèìàëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî óãëîâîãî ïåðèîäà Φ êàæäîé ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû, à òàêæåíåçàâèñèìîñòü ìèíèìàëüíîãî âðåìåííîãî ïåðèîäà T ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèé ~r(t)îò èíòåãðàëà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K è ÿâíûé âèä çàâèñèìîñòè îò èíòåãðàëà ïîëíîéýíåðãèè E .  ñëåäóþùèõ ãëàâàõ âûðàæåíèÿ (2.2.18)-(2.2.20) áóäóò èñïîëüçîâàíû äëÿäîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî îðáèòû â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿþòñÿ êîíè÷åñêèìè ñå÷åíèÿìè (óòâåðæäåíèå 15), à òàêæå ïðè ïîñòðîåíèè ðàñøèðåííûõ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì(ïðåäëîæåíèÿ 4.1-4.4).2.1Îáîáùåíèå òåîðåìû Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿÏîëó÷åííàÿ â ïðåäûäóùåé ãëàâå òåîðåìà 3 î ñâîéñòâàõ ðåøåíèé îáîáùåííîãî ñåìåéñòâàäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Áåðòðàíà ïîçâîëÿåò âûâåñòè èç ñåáÿ íàïðÿìóþ òåîðåìû4, 5, 6.

Îáîáùåíèå çàäà÷è Áåðòðàíà íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîéäàþò òåîðåìû 4, 5. Îíè îïèñûâàåò âñå äâóìåðíûå ïîâåðõíîñòè S ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé, íà êîòîðûõ ñóùåñòâóþò çàìûêàþùèå ïîòåíöèàëû V (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.6), ïðèýòîì îíè óêàçûâàþò òàêæå êîëè÷åñòâî ýòèõ ïîòåíöèàëîâ ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé èïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíò.29(Ôåäîñååâ Ä.À.). Ïóñòü äàíà ãëàäêàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü S , äèôôåîìîðíàÿ (a, b) × S 1 , ñíàáæåííàÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = dv 2 + f 2 (v)dϕ2 (ò.å. àáñòðàêòíàÿ ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ).

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (v) óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâóf 00 f − f 02 = −ζ 2 , ãäå ζ > 0 ðàöèîíàëüíî, ò.å. f (v) èìååò îäèí èç ñëåäóþùèõ âèäîâ:Òåîðåìà 4±ζ(v − v0 ), c = 0,√sin( c(v − v0 )), c > 0,f (v) = ζfc (v − α) :=c√ √ζ± −c sh( −c(v − v0 )), c < 0,√ζ(2.1.1)ãäå ñ ïîëîâèíà ñêàëÿðíîé êðèâèçíû Ðèìàíà ýòîé ïîâðåõíîñòè; â äàííîì ñëó÷àå êðèâèçíà ïîñòîÿííà; 2πζ ïîëíûé óãîë â êîíè÷åñêîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè, ïîñòîÿííàÿ v0 âåùåñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü, äàëåå, ôóíêöèÿ f 0 (v) íå èìååò íóëåé íà èíòåðâàëå(a,b). Òîãäà â êëàññå öåíòðàëüíûõ ïîòåíöèàëîâ íà S ñóùåñòâóþò ðîâíî äâà (ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé è ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíò) çàìûêàþùèõïîòåíöèàëà V1 (v), V2 (v) ñ êîíñòàíòàìè Áåðòðàíà β1 = ζ, β2 = 2ζ (ñì.

êîììåíòàðèé 2.1íèæå).Êîíñòàíòà β > 0 íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé Áåðòðàíà, åñëè ëþáàÿíåîñîáàÿ íåêðóãîâàÿ îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèèv = v(ϕ), ìèíèìàëüíûé ïîëîæèòåëüíûé ïåðèîä êîòîðîé ðàâåí 2π/β .  ýòîì ñëó÷àå îðáèòà çàæàòà ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëÿìè (àïî- è ïåðèöåíòðàìè), ÷àñòèöà îñöèëëèðóåòìåæäó íèìè è ïðîõîäèò ïóòü ìåæäó ñîñåäíèìè àïîöåíòðîì è ïåðèöåíòðîì çà âðåìÿ π/β ,ò.å. çà ïîëóïåðèîä.Êîììåíòàðèé 2.1.(Ôåäîñååâ Ä.À.). Ïóñòü äàíà ãëàäêàÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü S , äèôôåîìîðíàÿ (a, b) × S 1 , ñíàáæåííàÿ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé ds2 = dv 2 + f 2 (v)dϕ2 .

Ïóñòü ôóíêöèÿf (v) íå óäîâëåòâîðÿåò òîæäåñòâó f 00 f −f 02 = −ζ 2 íè äëÿ êàêîãî ðàöèîíàëüíîãî ζ > 0, èïóñòü ôóíêöèÿ f (v) íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà (a, b). Òîãäà ñóùåñòâóåò íå áîëååîäíîãî çàìûêàþùåãî öåíòðàëüíîãî ïîòåíöèàëà (ñ òî÷íîñòüþ äî àääèòèâíîé è ïîëîæèòåëüíîé ìóëüòèïëèêàòèâíîé êîíñòàíò).

Ïðè ýòîì ïîòåíöèàë ðîâíî îäèí òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ θ = θ(v) áåç íóëåé íà (a, b), òàêàÿ÷òî θ0 (v) > 0 è ðèìàíîâà ìåòðèêà â êîîðäèíàòàõ (θ, ϕ) èìååò âèäÒåîðåìà 5ds2 =dϕ2dθ2+,(θ2 + c − tθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )(2.1.2)ãäå µ ïîëîæèòåëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, t íåíóëåâàÿ ïîñòîÿííàÿ, à c ïðîèçâîëüíàÿ. Ëþáîé çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë èìååò âèä V (v) = Aθ−2 (v)+B äëÿ íåêîòîðûõïîñòîÿííûõ A, B , ãäå A(θ4 (v) + t) > 0. Ýòîìó çàìûêàþùåìó ïîòåíöèàëó ñîîòâåòñòâóåò êîíñòàíòà Áåðòðàíà β = 2/µ (ñì. êîììåíòàðèé 2.1 âûøå).30(ñì. îïðåäåëåíèå 1.1.11) Ðèìàíîâî 2-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå âðàùåíèÿ áåç ýêâàòîðîâ, íà êîòîðîì ñóùåñòâóåò öåíòðàëüíûé çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë, íàçîâåìïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà.

Ñîãëàñíî òåîðåìàì 4 è 5, ýòî ðèìàíîâû 2-ìåðíûå ìíîãîîáðàçèÿ, îïèñàííûå â òåîðåìàõ 4 è 5.Îïðåäåëåíèå 2.1.1.Äàäèì îòâåò íà ñëåäóþùèé âîïðîñ À.Ñ. Ìèùåíêî  òåîðåìàõ 5 è 6óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî åñëè ðèìàíîâà (ïñåâäîðèìàíîâà) ìåòðèêà íà íåêîé äâóìåðíîé ïîâåðõdϕdθ2íîñòè âðàùåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó ds2 = (θ2 +c−tθ−2 )2 + µ2 (θ 2 +c−tθ −2 ) , òî íà ñîîòâåòñòâóþùåéïîâåðõíîñòè ñóùåñòâóþò çàìûêàþùèå ïîòåíöèàëû, à êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðîâåðèòü,÷òî ìåòðèêà (èíäåôèíèòíàÿ ìåòðèêà) ïðèâîäèòñÿ ê óêàçàííîìó âèäó?. Áåç îãðàíè÷åíèÿîáùíîñòè ìîæíî ãîâîðèòü î ðèìàíîâîé ìåòðèêå âðàùåíèÿ. Ïóñòü çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿìåòðèêà âðàùåíèÿ f1 (u)2 du2 + f2 (u)2 dϕ2 , ãäå ϕ = ϕ mod 2π, f1 (u) > 0, f2 (u) > 0.

Ïåðåéäåì ê íàòóðàëüíûì êîîðäèíàòàì (v, ϕ) ñ (ñì. 3.1.1) ïîìîùüþ çàìåíû v = v(u) òàêîé, ÷òîdv/du = f1 (u).  êîîðäèíàòàõ (v, ϕ) ìåòðèêà âðàùåíèÿ èìååò âèäÇàìå÷àíèå 2.1.1.ds2 = dv 2 + f (v)2 dϕ2 ,(2.1.3)ãäå f (v(u)) = f2 (u). Ïåðåéäåì ê ïàðàìåòðó Θ = Θ(v) òàêîìó, ÷òî dΘ/dv = 1/f 2 (v). Âêîîðäèíàòàõ (Θ, ϕ) ìåòðèêà âðàùåíèÿ èìååò âèä f 4 (v(Θ))dΘ2 + f 2 (v(Θ))dϕ2 . Çàìåòèìòàêæå, ÷òî äëÿ ëþáîé ìåòðèêè âðàùåíèÿ f1 (u)2 du2 + f2 (u)2 dϕ2 , ïàðàìåòð v(u) îïðåäåëåíñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãà v(u) → v(u) + v0 , ãäå v0 - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à ïàðàìåòðΘ(v) ñ òî÷íîñòüþ äî ñäâèãàΘ(v) → Θ(v) − Θ0 ,(2.1.4)ãäå Θ0 - ëþáàÿ êîíñòàíòà.Àíàëîãè÷íûé ïàðàìåòð Θ ìîæíî ââåñòè è äëÿ ìåòðèêè âðàùåíèÿ (2.1.2) èç òåîðåìû5 (ò.å. äëÿ ds2 = dθ2 /(θ2 + c − tθ−2 )2 + dϕ2 /(µ2 (θ2 + c − tθ−2 )),ãäå µ > 0 ðàöèîíàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, c, t âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå).

Äëÿ òàêèõ ìåòðèê èìååì 1/f (v(Θ)) =√µ θ2 + c − tθ−2 , ïîýòîìóΘ − Θ0 = µ2 θ(2.1.5)äëÿ íåêîòîðîé âåùåñòâåííîé ïîñòîÿííîé Θ0 .Èç (2.1.4) è (2.1.5) íåòðóäíî âûâîäèòñÿ ðàâíîñèëüíîñòü ñëåäóþùèõ äâóõ óñëîâèé:(a) ìåòðèêà (2.1.3) íåêîòîðîé çàìåíîé θ = θ(v) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (2.1.8) äëÿ íåêîòîðûõêîíñòàíò 0 < µ ∈ Q, c ∈ R, t ∈ R (ò.å. ê âèäó, óêàçàííîìó â òåîðåìå 5),(b) ôóíêöèÿ F (Θ) := 1/f (v(Θ)) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé (áîëåå òîãî, êâàäðàòíûì êîðíåì èç ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè) âèäàF (Θ) = µp(Θ − Θ0 )2 /µ4 + c − tµ4 (Θ − Θ0 )−2(2.1.6)äëÿ íåêîòîðûõ âåùåñòâåííûõ êîíñòàíò µ > 0, c, t, Θ0 . Îòìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (2.1.6)ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ F 2 (Θ) ÿâëÿåòñÿ ëèáî ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè 2 (ïðè t = 0), ëèáî31ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé âèäà P (Q(Θ))/Q(Θ), ãäå P è Q ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè 2, Q åñòüêâàäðàò ëèíåéíîé ôóíêöèè è P (0) 6= 0 (ïðè t 6= 0).Óñëîâèå (b) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:(c) ôóíêöèÿ F (Θ) := 1/f (v(Θ)) àíàëèòè÷íà è èìååò âèä (2.1.6), ãäå êîíñòàíòû µ >0, c, t, Θ0 îäíîçíà÷íî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè F (Θ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:1/µ = lim |F (Θ)/Θ|,Θ→∞Θ0 ýòî ëèáî ïîëþñ ôóíêöèè F (Θ) â ñëó÷àå, êîãäà F 2 (Θ) íå ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì,ëèáî òî÷êà ìèíèìóìà ôóíêöèè F (Θ) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå,c = lim (F 2 (Θ)/µ2 − (Θ − Θ0 )2 /µ4 ),Θ→∞t = − lim (Θ − Θ0 )2 F 2 (Θ)/µ6 .Θ→Θ0 ñèëó ðàâíîñèëüíîñòè óñëîâèé (a) è (c), óñëîâèå (c) ñëóæèò îòâåòîì íà óïîìÿíóòûéâûøå âîïðîñ À.Ñ.Ìèùåíêî.Åñëè (a, b) × S 1 ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà, òî å¼ S 1 -ïîäïîâåðõíîñòü, ò.å.

ïîâåðõíîñòü (c, d) × S 1 , ãäå a ≤ c < t ≤ b, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþÁåðòðàíà. Ñîîòâåòñòâåííî íàçîâ¼ì ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ìàêñèìàëüíîé, åñëè îíà íåÿâëÿåòñÿ S 1 −ïîäïîâåðõíîñòüþ íèêàêîé ñâÿçíîé ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà.Çàìå÷àíèå 2.1.2.Ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà îïðåäåëÿþòñÿ 5 ïàðàìåòðàìè: c, t äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå (t çäåñü ýòî íå âðåìÿ âäîëü òðàåêòîðèé, à ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé ïîâåðõíîñòü), µ ðàöèîíàëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, â, b̂ äåéñòâèòåëüíûåïîñòîÿííûå, îòâå÷àþùèå ãðàíèöàì ïîâåðõíîñòè S , â := lim θ(v), b̂ := lim θ(v).