Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 23

À ïåðåìåííàÿ ϕ1 åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî îò θ. Óðîâåíü A1 A4 = A2 A3 îòâå÷àåòïàðàëëåëè θ = θ2 , à óðîâåíü B1 B2 ïàðàëëåëè θ = θ1 . Îòíîøåíèå ρ = cc12 , íàçûâàåìîå÷èñëîì âðàùåíèÿ, ðàâíî µ äëÿ ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ïîòåíöèàëîì V1 = Aθ, ðàâíî µ2äëÿ ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà ñ ïîòåíöèàëîì V2 = θA2 . Ñîîòâåòñòâåííî íà ðèñ. 4.13, 4.14, 4.15íàðèñîâàíû ôàçîâûå òðàåêòîðèè äëÿ µ = 1, µ = 2, µ = 0.5 è ïîòåíöèàëà V1 .Ïðè ïåðåñòðîéêå òîðà â öèëèíäð ïðÿìîóãîëüíèê A1 A2 A3 A4 ñòàíîâèòñÿ âñ¼ áîëåå èáîëåå âûòÿíóòûì, ñòîðîíà A1 A2 âûòÿãèâàåòñÿ, à ôàçîâûå òðàåêòîðèè âñ¼ áîëåå è áîëååêðóòûìè.

 ïðåäåëå θ2 → b òî÷êà (K, E) íà ðàñøèðåííîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå(ðèñ. 4.2) ïîïàäàåò èç IB íà ãðàíèöó çîí IB è I1 (áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíîâçÿòü ïåðâóþ äèàãðàììó), ïàðàëëåëü θ = θ2 óõîäèò íà ãðàíèöó {b} × S 1 ïîâåðõíîñòè S 0 ,2òîð TK,Eïðåâðàùàåòñÿ â öèëèíäð, öèêë A1 A4 = A2 A3 èñ÷åçàåò, òðàåêòîðèè ñòàíîâÿòñÿâåðòèêàëüíûìè (ñì. ðèñ 4.16, 4.17, 4.18).323Ìîäåëü (M1−11, M1−11, g ) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ òðîéêó, ãäå M1−11 òðåõìåðíîå ìíî98A2A3A2A3A2A3B1B2B1B2B1B2A1A4A1A4A1A4Ðèñ. 4.13: Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðè µ = 1.Ðèñ. 4.14: Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðè µ = 2.Ðèñ. 4.15: Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðè µ = 0.5.332æåñòâî âðàùåíèÿ â R3 , g äåéñòâèå ãðóïïû S 1 íà M1−11òàêîå, ÷òî M1−11≈ M1−11× S 1.Òî÷íåå ïóñòü T 3 îêðåñòíîñòü äâóìåðíîãî òîðà â R3 , çàäàííàÿ â åâêëèäîâûõ êîîðäèíàòàõ ïàðàìåòðè÷åñêè x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y = (R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ , ïðè÷åìïàðàìåòðû ψ, ϕ, r ìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ ψ ∈ [π, π), ϕ ∈ [0, 2π), r ∈ (R/4, R/2) (R ôèê3ñèðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà).

Òîãäà M1−11ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷àñòü ïîñòðî33333åííîé îêðåñòíîñòè T : M1−11 = T ∩ {(x, y, z) : − 8 R < z < R/4}. Ïî ïîñòðîåíèþ M1−11ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ îñüþ OXZ . Àíàëîãîì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ âûñòóïàåò ðàññëîåíèå3íà ïîâåðõíîñòè Q2r , ÿâëÿþùèåñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè òîðîâ x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y =M1−11(R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ (ïàðàìåòð r îïðåäåëÿåò òîð) è ìíîæåñòâà − 83 R < z < R4 .23Ñîîòâåòñòâåííî çà M1−11âîçüìåì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ñå÷åíèÿ M1−11ïëîñêîñòüþ y = 0,22ò.å. ìíîæåñòâî {(x, z) : R16 < (x − R)2 + z 2 < R4 , − 3R< z < R4 } ⊂ OXZ , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ8êîëüöîì (ñ ðàäèóñàìè R2 , R4 ) ñ îòðåçàííûìè êóñî÷êàìè (z ≥ R4 , z ≤ − 38 R). Îáðàçàìè àíàëîãîâ Q2r ñëîåâ Ëèóâèëëÿ ïðè ôàêòîðèçàöèè (ïî äåéñòâèþ ãðóïïû âðàùåíèÿ) ÿâëÿþòñÿêðèâûå Q1r = Q2r ∩ {y = 0, x > 0} = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = r2 , − 3R< z < R4 }, ñðåäè82êîòîðûõ âûäåëèì êðèâóþ Q13R/8 = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = 9R, − 38 R < z < R4 } (ñì. ðèñ.644.19).Ïîâåäåíèå ñëîåâ Q1r îòðàæàåò ïîâåäåíèå ñëîåâ Ëèóâèëëÿ íà èçîêèíåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè ïåðåõîäå òî÷êîé (E, K) èç êàìåðû C1 â C3 (èëè èç C2 ).

Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà r ñ R/4 äî 3R/8, êðèâûå Q1r ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëàìè, êîòîðûå óâåëè÷èâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòè Q2r ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öèëèíäðû, êîòîðûå ðàçðàñòàþòñÿ.Òàêèì æå îáðàçîì âåäóò ñåáÿ è öèëèíäðû Ëèóâèëëÿ îíè îñòàþòñÿ öèëèíäðàìè. Êîãäàr äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ 3R/8, òî èíòåðâàë Q13R/8 òåðÿåò ñâîþ íèæíþþ òî÷êó è ðàçðûâàåòñÿâ ïàðó èíòåðâàëîâ ñîîòâåòñòâóþùèé öèëèíäð Q23R/8 ðàçðûâàåòñÿ â ïàðó öèëèíäðîâ, òîæå ïðîèñõîäèò è ñ öèëèíäðîì Ëèóâèëëÿ, êîãäà òî÷êà (K, E) äîñòèãàåò ãðàíèöû êàìåðC3 è C1 . Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè r, ïàðà èíòåðâàëîâ Q1r îñòàåòñÿ ïàðîé èíòåðâàëîâ,ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà öèëèíäðîâ Q2r ãëàäêî äåôîðìèðóåòñÿ, îñòàâàÿñü ïàðîé öèëèíäðîâ.323Ìîäåëü (M0−11, M0−11, g ) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ òðîéêó, ãäå M0−11 òðåõìåðíîå ìíî-99A2A2A3B1B2A1A4A3B1A2A3B1B2A1A4B2Ðèñ.

4.16: Ôàçîâûå òðàåêòîðèè íà òîðå.A1A4Ðèñ. 4.17: Ôàçîâûå òðàåêòîðèè íà òîðå, ïðèáëèæàþùåìóñÿ ê öèëèíäðó.Ðèñ. 4.18: Ôàçîâûå òðàåêòîðèè íà öèëèíäðå.332æåñòâî âðàùåíèÿ â R3 , g äåéñòâèå ãðóïïû S 1 íà M0−11òàêîå, ÷òî M0−11≈ M0−11× S 1.Òî÷íåå ïóñòü T 3 îêðåñòíîñòü äâóìåðíîãî òîðà â R3 , çàäàííàÿ â åâêëèäîâûõ êîîðäèíàòàõ ïàðàìåòðè÷åñêè x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y = (R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ , ïðè÷åìïàðàìåòðû ψ, ϕ, r ìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ ψ ∈ [π, π), ϕ ∈ [0, 2π), r ∈ (R/8, R/2) (R ôèêñè3ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷àñòü ïîñòðîåíðîâàííàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà).

Òîãäà M0−1133= T 3 ∩ {(x, y, z) : −R/4 < z < R/4}. Ïî ïîñòðîåíèþ M0−11íîé îêðåñòíîñòè T 3 : M0−11ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ îñüþ OXZ . Àíàëîãîì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ âûñòóïàåò ðàññëîåíèå3M0−11íà ïîâåðõíîñòè Q2r , ÿâëÿþùèåñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè òîðîâ x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y =(R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ (ïàðàìåòð r îïðåäåëÿåò òîð) è ìíîæåñòâà − R4 < z < R4 .32ïëîñêîñòüþ y = 0,Ñîîòâåòñòâåííî çà M0−11âîçüìåì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ñå÷åíèÿ M0−1122RRRR22ò.å. ìíîæåñòâî {(x, z) : 64 < (x − R) + z < 4 , − 4 < z < 4 } ⊂ OXZ , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿêîëüöîì (ñ ðàäèóñàìè R2 , R8 ) ñ îòðåçàííûìè êóñî÷êàìè (z ≥ R4 , z ≤ − R4 ).

Îáðàçàìè àíàëîãîâ Q2r ñëîåâ Ëèóâèëëÿ ïðè ôàêòîðèçàöèè (ïî äåéñòâèþ ãðóïïû âðàùåíèÿ) ÿâëÿþòñÿêðèâûå Q1r = Q2r ∩ {y = 0, x > 0} = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = r2 , − R4 < z < R4 }, ñðåäè2êîòîðûõ âûäåëèì êðèâóþ Q1R/4 = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = R16 , − R4 < z < R4 } (ñì. ðèñ. 4.20).Ïîâåäåíèå ñëîåâ Q1r îòðàæàåò ïîâåäåíèå ñëîåâ Ëèóâèëëÿ íà èçîêèíåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè ïåðåõîäå òî÷êîé (K, E) èç êàìåðû CB â C3 . Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà r ñR/8 äî R/4, êðèâûå Q1r ÿâëÿþòñÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè, êîòîðûå óâåëè÷èâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòè Q2r ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíöåíòðè÷åñêèå òîðû,100zzxxÐèñ. 4.19: Áèôóðêàöèè ñëîåâ ìîäåëè2.M1−11Ðèñ.

4.20: Áèôóðêàöèè ñëîåâ ìîäåëè2.M0−11êîòîðûå ðàçðàñòàþòñÿ. Òàêèì æå îáðàçîì âåäóò ñåáÿ è òîðû Ëèóâèëëÿ îíè îñòàþòñÿ òîðàìè. Êîãäà r äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ R/4, òî îêðóæíîñòü Q1R/4 òåðÿåò ñâîè âåðõíþþ èíèæíþþ òî÷êè è ðàçðûâàåòñÿ â ïàðó èíòåðâàëîâ ñîîòâåòñòâóþùèé òîð Q2R/4 òåðÿåò äâàöèêëà è ðàçðûâàåòñÿ â ïàðó öèëèíäðîâ, òî æå ïðîèñõîäèò è ñ òîðîì Ëèóâèëëÿ, êîãäà òî÷êà (K, E) äîñòèãàåò ãðàíèöû êàìåð CB è C3 . Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè r, èíòåðâàëQ1r îñòàåòñÿ èíòåðâàëîì, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïàðà öèëèíäðîâ Q2r ãëàäêî äåôîðìèðóåòñÿ,îñòàâàÿñü ïàðîé öèëèíäðîâ.101Ëèòåðàòóðà Enciso A., Herranz F.

J., Ragnisco O., Hamiltonian systems admitting a[1] Ballesteros A.,RungeLenz vector and an optimal extension of Bertrand's theorem to curved manifolds//Commun. Math. Phys. 290 (2009), 10331049.[2] Ballesteros A.,Enciso A., Herranz F. J.,Kepler/oscillator potentials // 2008Ragnisco O., Bertrand spacetimes as Enciso A., Herranz F. J., Ragnisco O., Riglioni D. New superintegrable[3] Ballesteros A.,models with position-dependent mass from Bertrand's Theorem on curved spaces[4] Bertrand J., Theoreme relatif au mouvement d'un point attire vers un centre xe, C.R.Acad. Sci.

Paris 77 (1873), 849853. Engl. transl.: F. C. Santos, V. Soares, A. C. Tort, AnEnglish translation of Bertrand's theorem (2007), arXiv:0704.2396v1.[5] Besse A., Manifolds all of whose geodesics are closed. Berlin, Heidelberg, New York:Springer-Verlag, 1978.

Ðóññê. ïåðåâîä: À. Áåññå, Ìíîãîîáðàçèÿ ñ çàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè. Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Â. Ì. Àëåêñååâà. Ìîñêâà: Ìèð, 1981.[6] Bolyai W. and Bolyai J., Geometrische Untersuchungen. Leipzig: B. G. Teubner, 1913.[7] Darboux G, Sur un probleme de mecanique. In book: Cours de mecanique, T. Despeyrous,Vol. 2, Note XIV, Paris: A. Herman, 1886, 461466.[8] Darboux G., Etuded'une question relative au mouvement d'un point sur une surface derevolution// Bull. S.

M. F. 1877. 5. 100113.[9] Despeyrous T., Cours de mecanique. Vol. 2., Note XIV, Paris: A. Herman, 1886.[10] Fomenko A.T. "The theory of invariants of multidimensional integrable Hamiltoniansystems (with arbitrary many degrees of freedom).

Molecular Table of all integrablesystems with two degrees of freedom". - In: Topological Classication of IntegrableSystems. - Advances in Soviet Mathematics. v.6, 1991. Amer.Math.Soc. pp.1-36.[11]Gordon W. B.. On the relation between period and energy in periodic dynamical systems// J. Math. Mech. 19 (1969), 111-114.102[12] Grandati Y., Berard A., Menas F. Inverse problem and Bertrand's theorem // 2008.[13] Higgs P. W., Dynamical symmetries in a spherical geometry, I. J. Phys. A. Math.

Gen. 12(1979), 309323. Ðóññê. ïåðåâîä: Ï. Õèããñ, Äèíàìè÷åñêèå ñèììåòðèè â ñôåðè÷åñêîéãåîìåòðèè, I.  êíèãå: Êëàññè÷åñêàÿ äèíàìèêà â íååâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ðåä.À. Â. Áîðèñîâ è È. Ñ. Ìàìàåâ. Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2004, 125146.[14] Ikeda M. and Katayama N., On generalization of Bertrand's theorem to spaces ofconstant curvature, Tenzor, N. S.

38 (1982), 3740.[15] Killing W., Die Mechanik in den nicht-Euklidischen Raumformen, J. reine angew. Math.Bd. 98 (1885), 148. Ðóññê. ïåðåâîä: Â. Êèëëèíã, Ìåõàíèêà â íååâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.  êíèãå: Êëàññè÷åñêàÿ äèíàìèêà â íååâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ðåä. À. Â. Áîðèñîâ è È.

Ñ. Ìàìàåâ. Ìîñêâà-Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2004,2372.[16] Koenigs G., Sur les lois de force central fonction de la distance pour laquelle toutes lestrajectoires sont algebraiques, Bull. de la Societe de France 17 (1889), 153-155.[17] Liebmann H., Die Kegelschnitte und die Planetenbewegung im nichteuklidischen Raum,Berichte der Konigl. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys.

Klasse,Bd. 54 (1902), 393423.[18] Liebmann H., Uberdie Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie, Berichte derKonigl. Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys. Klasse, Bd. 55 (1903),146153. Ðóññê. ïåðåâîä: Ã. Ëèáìàí, Î äâèæåíèè ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëûâ íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, Êëàññè÷åñêàÿ äèíàìèêà â íååâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ,ðåä. À. Â. Áîðèñîâ è È. Ñ. Ìàìàåâ, Ìîñêâà-Èæåâñê, Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2004, 7382.[19] Lipshitz R., Extension of the planet-problem to a space of n dimensions and constantintegral curvature, Quart. J. Pure Appl. Math.

12 (1873), 349370.[20] Matveev V. S., On projectively equivalent metrics near points of bifurcation. In book:Topologival methods in the theory of integrable systems. Eds. Bolsinov A. V., FomenkoA. T. and Oshemkov A. A. Cambridge: Cambridge scientic publishers, 2006, 215240.[21] Neumann C., Ausdehnung der Kepler'schen Gesetze auf der Fall, dass die Bewegung aufeiner Kugelache stattndet, Gessellschaft der Wissenschaften, Math.