Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 22

Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè (K, E) ∈ Σ1 îêðóæíîñòüâèäà {θ0 } × S 1 × {0} × {K} ⊂ M 4 . Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç IB òîð. Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I1 è èç I2 öèëèíäð. Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I3 ïàðà öèëèíäðîâ. êàæäîì èç ÷åòûðåõ ñëó÷àåâ äèàãðàìì 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, êðîìå âòîðîãî (ïðåäëîæåíèå 4.2), ìíîæåñòâî Σ äåëèòñÿ êðèâûìè E2 (K), E3 (K) íà 4 êàìåðû CB , C1 , C2 , C3 , îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì òèïàì äâèæåíèé, ïðè ýòîì ñàìè ãðàíè÷íûå êðèâûå E2 (K), E3 (K)(âìåñòå ñ êðèâîé E1 (K) = Σ1 ) êàìåðàì íå ïðèíàäëåæàò, ò.å. âûïîëíåíî CB := IB \Σ1 ,C1 := I1 \{E2 (K) ∪ E3 (K)}, C2 := I2 \{E2 (K) ∪ E3 (K)}, C3 := I3 \{E2 (K) ∪ E3 (K)} (òàêèì îáðàçîì êàìåðû áóäóò îòêðûòûìè ñâÿçíûìè ìíîæåñòâàìè).

Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íàäêàæäîé êàìåðîé ëîêàëüíî òðèâèàëüíî. Ñîåäèíèì äâå òî÷êè x ∈ CB , y ∈ C1 êðèâîé γ , ïåðåñåêàþùåé E2 (K) ∪ E3 (K) â îäíîé òî÷êå z . Êîãäà òî÷êà (K, E) äâèãàåòñÿ ïî êðèâîé γ âïðåäåëàõ êàìåðû CB åå ïðîîáðàç îñòàåòñÿ òîðîì, êîãäà (K, E) ïåðåñåêàåò ãðàíèöó êàìåðCB , C1 â òî÷êå c, âîçíèêàåò ïåðåñòðîéêà òîðà â öèëèíäð. Äëÿ ñèñòåì Áåðòðàíà âîçíèêàþò3 òèïà ïåðåñòðîåê ñëîåâ Ëèóâèëëÿ: òîðà è îêðóæíîñòè (CB è Σ1 ), òîðà è öèëèíäðà (CBè C1 èëè CB è C2 ), öèëèíäðà è ïàðû öèëèíäðîâ (C1 è C3 èëè C2 è C3 ).Âñå ïåðåñòðîéêè (áèôóðêàöèè) ñëîåâ Ëèóâèëëÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà 3 òèïà, åñëèñìîòðåòü íà ïåðåñòðàèâàåìûå ìíîæåñòâà ñ òî÷êè çðåíèÿ êîìïàêòíîñòè: êîìïàêòíàÿ áèôóðêàöèÿ, ïðè êîòîðîé êîìïàêòíàÿ ïîâåðõíîñòü ïåðåñòðàèâàåòñÿ â êîìïàêòíóþ (ïîëíàÿ94êëàññèôèêàöèÿ ñì.

[33]), íåêîìïàêòíàÿ áèôóðêàöèÿ, ïðè êîòîðîé íåêîìïàêòíàÿ ïîâåðõíîñòü ïåðåñòðàèâàåòñÿ â íåêîìïàêòíóþ, è ñìåøàííàÿ, êîãäà â ïåðåñòðîéêå ó÷àñòâóþò êàêêîìïàêòíûå òàê è íåêîìïàêòíûå ñëîè. Òàêæå ïåðåñòðîéêè ìîæíî ðàçäåëèòü íà 2 òèïàâ çàâèñèìîñòè îò íàëè÷èÿ îñîáîãî óðîâíÿ: åñëè â ïåðåñòðîéêå çàäåéñòâîâàí îñîáûé ñëîé(ò.å. ñëîé ñîäåðæèò òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ grad H è grad pϕ çàâèñèìû),òî ýòî ïåðåñòðîéêà ÷åðåç îñîáûé ñëîé (îñîáàÿ ïåðåñòðîéêà), åñëè íåò, òî íåîñîáàÿ ïåðåñòðîéêà. Ñèñòåìà Áåðòðàíà áîãàòà ïðèìåðàìè ïåðåñòðîåê, îíà ñîäåðæèò êîìïàêòíûå,ñìåøàííûå è íåêîìïàêòíûå ïåðåñòðîéêè, à òàêæå ïåðåñòðîéêè îñîáûå è íåîñîáûå: ïåðåõîä ìåæäó êàìåðàìè CB è C1 (à òàêæå CB è C2 ) ñîîòâåòñòâóåò ñìåøàííîé íåîñîáîéáèôóðêàöèè, ïåðåõîä ìåæäó êàìåðàìè C3 è C1 (à òàêæå C3 è C2 ) ñîîòâåòñòâóåò íåêîìïàêòíîé íåîñîáîé áèôóðêàöèè.Áóäåì íàçûâàòü äâà ìíîãîîáðàçèÿ U1 è U2 ñî ñòðóêòóðîé ñëîåíèÿËèóâèëëÿ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì h: U1 → U2 ,ïåðåâîäÿùèé ñëîè U1 â ñëîè U2 .Îïðåäåëåíèå 4.3.1. äàëüíåéøåì áóäåì îïèñûâàòü ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ è ïåðåñòðîéêè åãî√ñëîåâ òîëüêî äëÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà (S 0 , V ), ãäå S 0 ≈ (0, −c) × S 1 ñ ïñåâäîðèìàíîâîéìåòðèêîé (2.1.7), V (θ) = Aθ (A < 0) çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà S 0 .

Îáðàç îòîáðàæåíèÿìîìåíòà FKE ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû è åãî ðàçáèåíèå íà êàìåðû ïðåäñòàâëåíîíà äèàãðàììàõ 4.1, 4.2.Çàìå÷àíèå 4.3.1.Ðàññìîòðèì èçîýêèíåòè÷åñêóþ ïîâåðõíîñòü Q3K0 := {pϕ = K0 } ⊂ M 4 . Îíà ñîñòîèòèç ñîâìåñòíûõ ñëîåâ Ëèóâèëëÿ èíòåãðàëîâ H, pϕ , ïðèòîì òîëüêî òàêèõ, äëÿ êîòîðûõpϕ = K0 . Äëÿ òî÷êè x = (E0 , K0 ), ïðèíàäëåæàùåé ãðàíèöå êàìåð ðàññìîòðèì å¼ èçîêèíåòè÷åñêóþ îêðåñòíîñòü, ò.å. îêðåñòíîñòü âèäà J := {(K, E) : K = K0 , E0 − ε < E < E0 + ε}äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0. Òîãäà îêðåñòíîñòü ïðîîáðàçà òî÷êè x íà èçîêèíåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ò.å.

F −1 [J] íàçîâåì àòîìîì, òî÷íåå äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Íàçîâåì àòîìîì O0−1 êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èçîêèíåòè÷åñêîé îêðåñòíîñòè F −1 [J] ïðîîáðàçà òî÷êè x, ëåæàùåé íà îáùåé ãðàíèöå êàìåð CBè C1 èëè íà îáùåé ãðàíèöå êàìåð CB è C2 . Àòîìîì O1−11 êëàññ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èçîêèíåòè÷åñêîé îêðåñòíîñòè F −1 [J] ïðîîáðàçà òî÷êè x, ëåæàùåé íà îáùåéãðàíèöå êàìåð C3 è C1 èëè íà îáùåé ãðàíèöå êàìåð C3 è C2 . Íàçîâåì àòîìîì O0−11 êëàññëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè èçîêèíåòè÷åñêîé îêðåñòíîñòè F −1 [J] ïðîîáðàçà òî÷êè x,îáðàçóþùåé îáùóþ ãðàíèöó êàìåð CB è C3 .Îïðåäåëåíèå 4.3.2.Âûáîð íå èçîýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à èçîêèíåòè÷åñêîé ìîòèâèðîâàí òåì, ÷òîâåêòîðíîå ïîëå sgrad pϕ íå èìååò îñîáûõ òî÷åê è òåì ñàìûì dpϕ |Q3K 6= 0 è Q3K0 ïðè ëþáîì0K0 áóäåò ãëàäêèì ïîäìíîãîîáðàçèåì M 4 .  êîìïàêòíîì ñëó÷àå èçâåñòíàÿ êëàññèôèêàöèÿ95àòîìîâ ñîäåðæèò ëèøü àòîìû ìèíèìàëüíîé ñëîæíîñòè 1 [33]. Îäíàêî îïðåäåëåííûå âûøå íåêîìïàêòíûå àòîìû èìåþò íóëåâóþ ñëîæíîñòü.

 ñèñòåìå (S 0 , V ) ïðèñóòñòâóåò åùåîäíà êîìïàêòíàÿ îñîáàÿ ïåðåñòðîéêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àòîìó À, íà äèàãðàììå (ñì. ðèñ.4.10) ýòà ïåðåñòðîéêà âîçíèêàåò ïðè ïîïàäàíèè òî÷êè (K, E) èç êàìåðû CB íà ãðàíèöóΣ1 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñòÿãèâàíèþ òîðà íà ñâîþ îñü. Àòîì O0−1 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêå òîðà â öèëèíäð, à àòîì O1−11 ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêå öèëèíäðà â ïàðó öèëèíäðîâ.Îñîáûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò àòîì O0−11 , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñòðîéêå òîðà ñðàçóâ ïàðó öèëèíäðîâ ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðûC3 ÷åðåç îáùóþ òî÷êó êðèâûõq CB â êàìåðó√−2AE2 (K) è E3 (K), èìåþùóþ êîîðäèíàòû ( µ2 √−c , A −c) (ñì.

ðèñ. 4.10).EO1-11I3I1O0-1AO0-11O1-11O0-1I2KIBÐèñ. 4.10: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà, Σ è àòîìû â ñëó÷àå ñèñòåìû Áåðòðàíà l1 , V1 .Òàê æå êàê è äëÿ êîìïàêòíûõ 3-àòîìîâ àòîìû O0−1 , O0−11 , O1−11 óäîáíî îïèñûâàòü ñïîìîùüþ äâóìåðíûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïîâåðõíîñòü Q3K0 èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ñäâèãîââäîëü èíòåãðàëüíûõ òðàåêòîðèé ïîëÿ sgrad pϕ , òàêèì îáðàçîì íà Q3K0 îïðåäåëåíî ïóàññîíîâî äåéñòâèå îêðóæíîñòè ñäâèãà âäîëü sgrad pϕ íà óãîë ϕ. Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ Q3K0è ñëîåíèå Q3K0 íà èíòåãðàëüíûå òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad pϕ , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè {θ0 } × S 1 × {∗} × {K0 }, ñîãëàñîâàíû â òîì ñìûñëå, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ îêðóæíîñòüëåæèò íà ñëîå Ëèóâèëëÿ. Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü Q2K0 , êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ êàê ôàêòîðìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Q3K0 ïî îïèñàííîìó âûøå äåéñòâèþ îêðóæíîñòè.

Ñïðàâåäëèâîïðåäñòàâëåíèå Q3K0 ≈ Q2K0 × S 1 . Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî M 4 , èçîêèíåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòüQ3K0 è ñëîè Ëèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ ïîâåðõíîñòÿìè âðàùåíèÿ. Íà âñåì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû (θ, ϕ, pθ , pϕ ), íà Q3K0 îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû (θ, ϕ, pθ ) (ò.ê.èìïóëüñ pϕ ôèêñèðîâàí íà Q3K0 è ðàâåí K0 ), íà Q2K0 îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû (θ, pθ ). Ñîîòâåòñòâåííî, Q2K0 ñëîèòñÿ íà îáðàçû ñëîåâ Ëèóâèëëÿ ïðè îïèñàííîé ôàêòîðèçàöèè, ñðåäèêîòîðûõ âûäåëÿåòñÿ ñëîé Q1K0 (ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì îñîáîãî ñëîÿ äëÿ êîìïàêòíûõ àòîìîâ),êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôàêòîð ïðîîáðàçà òî÷êè (K0 , E0 ), ïðèíàäëåæàùåé ãðàíèöàì96êàìåð. Äëÿ íàãëÿäíîé èëëþñòðàöèè Q2K0 è Q3K0 è èõ ñëîåíèé ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùèåèì ìîäåëè â ïðîñòðàíñòâå R3 .323Ìîäåëü (M0−1, M0−1, g ) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ òðîéêó, ãäå M0−1 òðåõìåðíîå ìíîæå31332ñòâî âðàùåíèÿ â R , g äåéñòâèå ãðóïïû S íà M0−1 òàêîå, ÷òî M0−1 ≈ M0−1× S 1 . Òî÷íååïóñòü T 3 îêðåñòíîñòü äâóìåðíîãî òîðà â R3 , çàäàííàÿ â åâêëèäîâûõ êîîðäèíàòàõ ïàðàìåòðè÷åñêè x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y = (R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ , ïðè÷åì ïàðàìåòðûψ, ϕ, r ìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ ψ ∈ [π, π), ϕ ∈ [0, 2π), r ∈ (R/8, R/2) (R ôèêñèðîâàííàÿ3ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ÷àñòü ïîñòðîåííîé îêðåñòïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà).

Òîãäà M0−133 ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ= T 3 ∩{(x, y, z) : z < R/4}. Ïî ïîñòðîåíèþ M0−1íîñòè T 3 : M0−13íà ïîâåðõíîñòè Q2r ,îñüþ OXZ . Àíàëîãîì ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ âûñòóïàåò ðàññëîåíèå M0−1ÿâëÿþùèåñÿ ïåðåñå÷åíèÿìè òîðîâ x = (R + r cos ψ) cos ϕ, y = (R + r cos ψ) sin ϕ, z = r sin ψ(ïàðàìåòð r îïðåäåëÿåò òîð) è ïîëóïðîñòðàíñòâà z < R4 .23Ñîîòâåòñòâåííî çà M0−1âîçüìåì ñâÿçíóþ êîìïîíåíòó ñå÷åíèÿ M0−1ïëîñêîñòüþ y = 0,22RRR22ò.å. ìíîæåñòâî {(x, z) : 64 < (x − R) + z < 4 , z < 4 } ⊂ OXZ , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿêîëüöîì (ñ ðàäèóñàìè R2 , R8 ) ñ îòðåçàííûì êóñî÷êîì (z ≥ R4 ). Îáðàçàìè àíàëîãîâ Q2rñëîåâ Ëèóâèëëÿ ïðè ôàêòîðèçàöèè (ïî äåéñòâèþ ãðóïïû âðàùåíèÿ) ÿâëÿþòñÿ êðèâûåQ1r = Q2r ∩ {y = 0, x > 0} = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = r2 , z < R4 }, ñðåäè êîòîðûõ âûäåëèì2êðèâóþ Q1R/4 = {(x, z) : (x − R)2 + z 2 = R16 , z < R4 } (ñì. ðèñ.

4.11).zR4x3.Ðèñ. 4.12: Áèôóðêàöèè ñëîåâ ìîäåëè M0−12Ðèñ. 4.11: Áèôóðêàöèè ñëîåâ ìîäåëè M0−1.2Ìíîæåñòâî M0−1, ðàññëîåííîå íà êðèâûå Q1r , ñ âûäåëåííîé êðèâîé Q1R/4 ÿâëÿåòñÿ âíåêîòîðîì ñìûñëå àíàëîãîì 2-àòîìà. Ïîâåäåíèå ñëîåâ Q1r îòðàæàåò ïîâåäåíèå ñëîåâ Ëèóâèëëÿ íà èçîêèíåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè ïåðåõîäå òî÷êîé (K, E) èç êàìåðû CB â C1(èëè C2 ). Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà r ñ R/8 äî R/4, êðèâûå Q1r ÿâëÿþòñÿ êîíöåíòðè-97÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè, êîòîðûå óâåëè÷èâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïîâåðõíîñòè Q2rïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíöåíòðè÷åñêèå òîðû, êîòîðûå ðàçðàñòàþòñÿ.

Òàêèì æå îáðàçîìâåäóò ñåáÿ è òîðû Ëèóâèëëÿ îíè îñòàþòñÿ òîðàìè. Êîãäà r äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ R/4, òîîêðóæíîñòü Q1R/4 òåðÿåò ñâîþ âåðõíþþ òî÷êó è ðàçðûâàåòñÿ â èíòåðâàë ñîîòâåòñòâóþùèé òîð Q2R/4 òåðÿåò îäèí öèêë è ðàçðûâàåòñÿ â öèëèíäð, òî æå ïðîèñõîäèò è ñ òîðîìËèóâèëëÿ, êîãäà òî÷êà (K, E) äîñòèãàåò ãðàíèöû êàìåð CB è C1 . Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè r, èíòåðâàë Q1r îñòàåòñÿ èíòåðâàëîì, ñëåãêà ðàñïðÿìëÿÿñü, ñîîòâåòñòâóþùèéöèëèíäð Q2r ãëàäêî äåôîðìèðóåòñÿ, îñòàâàÿñü öèëèíäðîì (ñì. ðèñ. 4.11, 4.12).×òîáû ëó÷øå ïðåäñòàâèòü ñâÿçü ìåæäó ãåîìåòðèåé îðáèò è ãåîìåòðèåé ñîîòâåòñâóþùèõ èì ôàçîâûõ òðàåêòîðèé çàìåòèì, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ E, K îãðàíè÷åííàÿ îðáèòà {θ = θ0 (ϕ)} îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ïîâîðîòà âäîëü ïàðàëëåëåéïîâåðõíîñòè S 0 è ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ êðèâóþ, êîëåáëþùóþñÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëÿìè θ = θ1 è θ = θ2 .

Âñå îñòàëüíûå îðáèòû {θ = θα (ϕ)} ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè E, Kïîëó÷àþòñÿ èç äàííîé ïîâîðîòîì íà íåêîòîðûé óãîë ϕα , ò.å. çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèåìθα (ϕ) = θ0 (ϕ + ϕα ). Ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ îðáèòû {θ = θ0 (ϕ)} ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé è ëåæèò2íà ðåçîíàíñíîì òîðå Ëèóâèëëÿ TK,E= F −1 [(K, E)], à ôàçîâûå òðàåêòîðèè âñåõ òàêèõ2îðáèò {θ = θα (ϕ)} çàìåòàþò âåñü òîð TK,E.Ïîâåðõíîñòü pθ = 0 ïåðåñåêàåò äàííûé òîð ïî äâóì îêðóæíîñòÿì S11 = {(θ, ϕ, pθ , pϕ ) :θ = θ1 , pθ = 0, pϕ = K}, S21 = {(θ, ϕ, pθ , pϕ ) : θ = θ2 , pθ = 0, pϕ = K}, êàæäàÿ èç êîòîðûõÿâëÿåòñÿ îäíèì è òåì æå áàçîâûì öèêëîì γ1 ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû òîðà.

 ïðîöåññåïåðåñòðîéêè îäíà èç ýòèõ îêðóæíîñòåé S21 èñ÷åçàåò, ðàçðóøàÿ òåì ñàìûì âòîðîé áàçèñ22\S21 ñòàíîâèòñÿ öèëèíäðîì.), è îñòàâøååñÿ ìíîæåñòâî TK,Eíûé öèêë γ2 ãðóïïû π1 (TK,E2, ñîîòâåòñòâóþùåãî îãðàíè÷åííîé îðáèòåÐàññìîòðèì ðàçâ¼ðòêó òîðà Ëèóâèëëÿ TK,E{θ = θ0 (ϕ)} ñ ýíåðãèåé E , êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K , è ýêñòðåìàëüíûìè çíà÷åíèÿìèθ1 , θ2 , êàê ïðÿìîóãîëüíèê A1 A2 A3 A4 . Íà òîðå ñóùåñòâóþò êîîðäèíàòû óãîë ϕ1 , ϕ2 , â êîòîðûõ ïîòîê sgrad H ñïðÿìëÿåòñÿ, ò.å. âûïîëíåíî ϕ̇1 = c1 , ϕ̇2 = c2 . Ïåðåìåííàÿ ϕ2 ñîâïàäàåò ñ ϕ.