Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 19

ãðàíèöà θ = 0äîñòèãàåòñÿ ïðè E ≥ 0 è íå äîñòèãàåòñÿ ïðè E < 0. Ïðè E ≥ 0 âðåìÿ äâèæåíèÿ ìåæäóïàðàëëåëÿìè θ11 è θ22 âû÷èñëÿåòñÿ (ñîãëàñíî (4.1.13))Zθ22T =dθp.θ2 2(E − Aθ) − K 2 µ2 θ2θ11Ïðè θ11 = 0 èíòåãðàë â 0 ðàñõîäèòñÿ, ò.å. ãðàíèöà θ = 0 äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ.Ðàññìîòðèì òåïåðü íà òîé æå ïîâåðõíîñòè ïîòåíöèàë V2 = θA2 (A > 0). Òîãäà ôóíêöèÿ2 2Ṽ (θ) = E − θA2 − K 2µ θ2 . Ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ E, K 6= 0 Ṽ (θ) → −∞ ïðè θ → 0 è ïðèθ → ∞, ïîýòîìó îáå ãðàíèöû θ = 0 è θ = ∞ íå äîñòèãàþòñÿ.Ðàññìîòðèì ðèìàíîâó ìàêñèìàëüíóþ áåðòðàíîâñêóþ ïîâåðõíîñòü S ≈ (0, ∞) × S 1 ,ñîîòâåòñòâóþùóþ c > 0 è ïîòåíöèàë V1 (θ) = Aθ (A < 0). Ôóíêöèÿ Ṽ (θ) = E − Aθ −82K 2 µ2(θ222 2+ c). Ïðè θ → 0 ôóíêöèÿ Ṽ (θ) ñòðåìèòñÿ ê âåëè÷èíå E − K 2µ c , êîòîðàÿ ìîæåòáûòü ïîëîæèòåëüíîé ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ E, K , ïðè êîòîðûõ 2E > cµ2 K 2 ; ïðè 2E = cµ2 K 2 ,ò.å. Ṽ (0) = 0, âûïîëíåíî Ṽ 0 (0) > 0.

Çíà÷èò ãðàíèöà θ = 0 äîñòèãàåòñÿ. Íî ïðè θ → ∞ôóíêöèÿ Ṽ (θ) → −∞ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ K 6= 0, E è ãðàíèöà θ = ∞ íå äîñòèãàåòñÿ.Âðåìÿ äâèæåíèÿ ìåæäó ïàðàëëåëÿìè θ11 è θ22 â ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåZθ22T =(θ2dθp.+ c) 2(E − Aθ) − K 2 µ2 (θ2 + c)θ11Ïðè θ22 → θ11 = 0 ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå ïðåâîñõîäèò êîíñòàíòû √c1,2E−K 2 µ2 cò.å.èíòåãðàë êîíå÷åí è ãðàíèöà θ = 0 äîñòèãàåòñÿ çà êîíå÷íîå âðåìÿ.Âûïîëíåíî òàêæå Ṽ 0 (0) = −A > 0, õîòÿ ýòî óñëîâèå ïðîâåðÿòü óæå íå îáÿçàòåëüíî,ò.ê. âðåìÿ äâèæåíèÿ ìåæäó êàêîé-íèáóäü ïàðàëëåëüþ è ãðàíèöåé êîíå÷íî.

 ñëó÷àåãóêîâñêîãî ïîòåíöèàëà V2 = θA2 (A > 0) ôóíêöèÿ Ṽ (θ) ñòðåìèòñÿ ê −∞ â îêðåñòíîñòèîáåèõ ãðàíèö, ïîýòîìó îáå ãðàíèöû íå äîñòèãàþòñÿ.√Äëÿ ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà (ðèìàíîâîé) S ≈ ( −c, ∞) × S 1 , îòâå÷àþùåé çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ t = 0, c < 0 (çîíà l2 íà ðèñ. 2.2), è ïîòåíöèàëà V1 = Aθ(A < 0)2 2ôóíêöèÿ Ṽ (θ) = E − Aθ − K 2µ (θ2 + c). Ïðè θ → ∞ Ṽ (θ) → −∞ ïðè ëþáûõ çíà÷åíè√ÿõ E, K 6= 0, ïîýòîìó ãðàíèöà θ = ∞ íå äîñòèãàåòñÿ. Ãðàíèöà θ = −c äîñòèãàåòñÿ ïðè√√√√√Ṽ ( −c) = E −A −c > 0; ïðè E = A −c íåðàâåíñòâî Ṽ 0 ( −c) = −A−K 2 µ2 −c > 0 âû√√ïîëíÿåòñÿ ïðè −A > µ2 K 2 −c. Ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ â −c, ïîýòîìó√ãðàíèöà θ = −c äîñòèãàåòñÿ çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ.Îñòàëüíûå ñëó÷àè ðàçáèðàþòñÿ àíàëîãè÷íî.

Îñâåòèì åùå òîëüêî ñëó÷àé ìàêñèìàëü√íîé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà S ≈ (0, 4 −t) × S 1 , îòâå÷àþùåé çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ (c, t) èç îáëàñòè Ω3 (ñì. ðèñ. 2.2). Íà S äåéñòâóåò çàìûêàþùèé ïîòåíöèàëV2 (θ) = Aθ−2 (A < 0).√√2 22 2Èìååì ôóíêöèþ Ṽ (θ) = E − θA2 − µ 2K (θ2 +c−tθ−2 ).

Òîãäà Ṽ ( 4 −t) = E − √A−t − µ 2K (2 −t+√c), è ïðè ëþáîì çíà÷åíèè K 6= 0 ìîæíî ïîäîáðàòü E òàêîå, ÷òî Ṽ ( 4 −t) > 0, ñëåäîâàòåëü√√2 2íî, ãðàíèöà θ = 4 −t äîñòèãàåòñÿ ïðè E − √A−t − µ 2K (2 −t + c) > 0; â ñëó÷àå ðàâåíñòâà√ãðàíèöà òàêæå äîñòèãàåòñÿ, ò.ê. sgnṼ( 4 −t) = sgn2A. Äàëåå äëÿ K 2 < µ2A2 t âûïîëíÿåòñÿ2A2Ṽ (θ) → +∞ ïðè θ → 0. Çíà÷èò, ãðàíèöà θ = 0 äîñòèãàåòñÿ ïðè K < µ2 t ; ïðè K 2 = µ2A2t2 2 22 2âûïîëíåíî Ṽ (θ) = 2E −µ K (θ +c), çíà÷èò ãðàíèöà θ = 0 â ýòîì ñëó÷àå ïðè 2E = cµ K .Âðåìÿ äâèæåíèÿ ìåæäó ïàðàëëåëÿìè θ11 , θ22 â ýòîì ñëó÷àå ðàâíî:Zθ22T =θ11dθq(θ2 + c − tθ−2 ) 2(E −A)θ2.− K 2 µ2 (θ2 + c − tθ−2 )√√√Ïðè θ22 = 4 −t èíòåãðàë ñõîäèòñÿ â 4 −t, ò.ê.

ïðè θ → 4 −t ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ1qñòðåìèòñÿ ê êîíñòàíòå √; ïðè ýòîì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå√A2 2(2 −t+c)2(E− √−t )−K µ (2 −t+c)83√√áîëüøå íóëÿ, ò.ê. îíî ðàâíî Ṽ ( 4 −t) > 0 (ìû ïîäîáðàëè ïîäõîäÿùåå E ), à 2 −t + c > 0 âñèëó (c, t) ∈ Ω3 . Ïðè θ11 = 0 èíòåãðàë ñõîäèòñÿ, ò.ê. ïðè θ → 0 ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ3ýêâèâàëåíòíà √ θ 2 2 .−t−2A+µ K t ñëó÷àå ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé äîêàçàòåëüñòâî ïðîõîäèò ïî òîé æå ñõåìå, ïðè ýòîì çíà÷åíèå ïåðåìåííîé ε̂ áåðåòñÿ ðàâíûììèíóñ åäèíèöå.Åâêëèäîâà ïëîñêîñòü R2 ñ çàêîíîì âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ è çàêîíîì ïðèòÿæåíèÿ Ãóêàñëóæèò îòëè÷íûì ïðèìåðîì ê óòâåðæäåíèþ 18.

Åâêëèäîâà ïëîñêîñòü, åñëè â íåé ïðîêîëîòü ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð, ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ Áåðòðàíà (0, ∞) × S 1 ,îòâå÷àþùåé ñëåäóþùèì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ t = c = 0, µ = 1.  ñëó÷àå ïîòåíöèàëàÃóêà, êîòîðûé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ðàâåí Ar2 (A > 0), âñå íåîñîáûå îðáèòû áóäóòýëëèïñàìè, ïîýòîìó íè îäíà èç ãðàíèö r = 0, r = ∞ íå äîñòèãàåòñÿ (íè îäíà òðàåêòîðèÿíå óïèðàåòñÿ â ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð è íè îäíà íå óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü).  ñëó÷àåæå ïîòåíöèàëà Íüþòîíà âñå íåîñîáûå îðáèòû áóäóò ëèáî ýëëèïñàìè, ëèáî ïàðàáîëàìè,ëèáî ãèïåðáîëàìè, ÷òî îçíà÷àåò íåäîñòèæèìîñòü ãðàíèöû r = 0, íî äîñòèæèìîñòü çàáåñêîíå÷íîå âðåìÿ ãðàíèöû r = ∞ (íàïðèìåð, ãèïåðáîëîé).4.2Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû.Äëÿ áåðòðàíîâñêîé ñèñòåìû (S 0 , V ), ãäå S 0 ìàêñèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé (1.1.2), à V çàìûêàþùèé ïîòåíöèàë íà íåé, ðàññìîòðèì äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà ýíåðãèè H è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà pϕ .

Äëÿ óêàçàííûõ èíòåãðàëîâ ðàññìîòðèì ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàâíñòâà M 4 ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû Áåðòðàíà íà ñîâìåñòíûå ñëîè óðîâíåé èíòåãðàëîâ H è pϕ . Òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà ñëîåíèÿËèóâèëëÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñâÿçàíû ñ îñîáåííîñòÿìè îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà.Îòîáðàæåíèå FKE : M 4 → R2 , çàäàâàåìîå ïðàâèëîì FKE (θ, ϕ, pθ , pϕ )p2− 2a2 ϕ(θ) + V (θ)) íàçîâåì îòîáðàæåíèåì ìîìåíòà.= (pϕ , H) = (pϕ ,22Òî÷êó m ∈ M 4 íàçîâåì îñîáîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà, åñëè rk dFKE (x) < 2.

Ñîîòâåòñòâåííî rk dFKE (x) íàçîâåì ðàíãîì îñîáîé òî÷êè x. Îáðàç ìíîæåñòâà âñåõ îñîáûõòî÷åê ïðè îòîáðàæåíèè ìîìåíòà íàçîâåì áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé.Îïðåäåëåíèå 4.2.1.p2θ22a11 (θ)Ïîñòðîèì áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà äëÿ ñèñòåì Áåðòðàíà, àòàêæå íà ïëîñêîñòè OKE èçîáðàçèì ðàçëè÷íûå çîíû òî÷åê (K, E), âûäåëÿþùèå ðàçëè÷íûå òèïû äâèæåíèé (êðóãîâîå, íåêðóãîâîå îãðàíè÷åííîå, íåîãðàíè÷åííîå ñ îäíîé ñòîðîíû, íåîãðàíè÷åííîå ñ äâóõ ñòîðîí) íàçîâåì âñþ ýòó êîíñòðóêöèþ ðàñøèðåííîé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé. Òàêèì îáðàçîì êàæäîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè (K, E ) ñîîòâåòñòâóåò84ñëîé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ.

Ìû íå ðàññìàòðèâàåì âûðîæäåííîå äâèæåíèå, ò.å. äâèæåíèå ïîìåðèäèàíàì ϕ = const, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîìó çíà÷åíèþ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.Ñîîòâåòñòâåííî, íà ïëîñêîñòè OKE , ãäå ìû èçîáðàçèì ðàñøèðåííóþ áèôóðêàöèîííóþäèàãðàììó, áóäåò âûêîëîòî ìíîæåñòâî K = 0. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àè K > 0 è K < 0 ñèììåòðè÷íû, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî OE , ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ïîñòðîåíèåì ïðè K > 0. Äëÿ óäîáñòâà ðàçîáüåì ìíîæåñòâî Σ = FKE [M 4 ] íàíåñêîëüêî ïîäìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå 4.2.2.Σ2 îáðàç ìíîæåñòâà òî÷åê ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõrk dFKE = 2.Σ1 îáðàç ìíîæåñòâà îñîáûõ òî÷åê ðàíãà 1.Σ0 îáðàç ìíîæåñòâà îñîáûõ òî÷åê ðàíãà 0.IB îáðàç ìíîæåñòâà òî÷åê ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ëåæàò íà ôàçîâûõ òðàåêòîðèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ îãðàíè÷åííûì îðáèòàì.Äëÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà âûïîëíÿåòñÿ Σ = Σ0 t Σ1 t Σ2 .

 ñàìîì äåëå Σ = Σ0 ∪ Σ1 ∪ Σ2â âèäó òîãî, ÷òî 0 ≤ rk dF ≤ 2. Äàëåå grad pϕ 6= 0 ââèäó (4.1.10), ïîýòîìó âåðíî Σ0 = ∅.Äëÿ ìíîæåñòâà Σ1 âåðíî rk dFKE = 1 ⇔ rk (grad pϕ , grad H) = 1 ⇔ âåêòîðà grad H, grad pϕëèíåéíî çàâèñèìû. Ñ ó÷åòîì (4.1.10) ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü îçíà÷àåò, ÷òî(a0 (θ) 2pθ22 (θ)−2 µ2 22a5pθa211 (θ)+a022 (θ) 2pa322 (θ) ϕ+ V 0 (θ) = 0=0(⇐⇒a022 (θ) 2pa322 (θ) ϕpθ = 0+ V 0 (θ) = 0(4.2.1)Çäåñü ïðèìåíèëñÿ òîò ôàêò, ÷òî â èñïîëüçóåìûõ íàìè áåðòðàíîâñêèõ êîîðäèíàòàõ a211 (θ) =a422 (θ) · µ4 . Óñëîâèÿ (4.2.1) â òî÷íîñòè îçíà÷àþò, ÷òî äàííûå K, E äîñòèãàþòñÿ íà êðóãîâîé îðáèòå {θ} × S 1 è òîëüêî íà íåé (ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ èìïóëüñà pθ è ïðåäëîæåíèþ−12.1), ïîýòîìó ïðîîáðàç FKE(Σ1 ) ñîñòîèò èç òî÷åê ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèõêðóãîâûì îðáèòàì.

Âåðíî è îáðàòíîå, íà êðóãîâûõ îðáèòàõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (4.2.1).Òàêèì îáðàçîì Σ1 ñîñòîèò òîëüêî èç îáðàçà òî÷åê ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèõêðóãîâûì îðáèòàì, ïîýòîìó Σ1 ∩ Σ2 = ∅.Íàïðèìåð, â ñëó÷àå çàêîíà Íüþòîíà ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ â R2 âñå íåâûðîæäåííûå îðáèòû ìîæíî ðàçäåëèòü íà îãðàíè÷åííûå è íåîãðàíè÷åííûå. Îãðàíè÷åííûå áóäóò âñåãäà çàìêíóòû, ò.ê.

îíè ýëëèïñû. Ýëëèïñàì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿ (K, E) ∈ IB , îêðóæíîñòÿì, êàê ÷àñòíîìó ñëó÷àþ ýëëèïñà, áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòüçíà÷åíèÿ (K, E) ∈ Σ1 ⊂ IB . Ïàðàáîëàì è ãèïåðáîëàì áóäóò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿ(K, E) ∈ Σ2 \IB . îáùåì ñëó÷àå òàêæå ìíîæåñòâî IB ñîîòâåòñòâóåò òåì çíà÷åíèÿì èíòåãðàëîâ ýíåðãèè è ìîìåíòà, êîòîðûå äîñòèãàþòñÿ òîëüêî íà îãðàíè÷åííûõ îðáèòàõ. Ê îãðàíè÷åííûìîòíîñÿòñÿ êðóãîâûå, ïîýòîìó Σ1 ⊂ IB âñåãäà.85Äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ (t = 0, V1 = Aθ + B ; t = 0, V2 = θA2 + B ; t > 0, V2 ; t < 0, V2 ) ïðåäñòàâèì ïî äâà ðèñóíêà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà âìåñòå ñ îáðàçîì âñåãî ôàçîâîãîïðîñòðàíñòâà è ðàñøèðåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà.Ïîñêîëüêó êîíñòàíòà B íè íà ÷òî íå âëèÿåò, â äàëüíåéøåì ìû áóäåìñòðîèòü áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó áåç íå¼.