Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана, страница 21

Ãðàíèöà çîí I1 è IB ñîäåðæèòñÿ â I1 , ãðàíèöàçîí I2 è IB ñîäåðæèòñÿ â I2 , ãðàíèöà çîí I1 è I3 ñîäåðæèòñÿ â I3 , ãðàíèöà çîí I2 è I3ñîäåðæèòñÿ â I3 , îáùàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ÷åòûðåõ çîí ïðèíàäëåæèò I3 .EES2I1A1I3A1S1BS1A2A2KI2KÐèñ. 4.5: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è Σ â Ðèñ. 4.6: Ðàñøèðåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿñëó÷àå Ω1 , V2 .äèàãðàììà â ñëó÷àå Ω1 , V2 .Êàê è â ñëó÷àå ñ ïðåäëîæåíèåì 4.1 êðèòåðèé (4.2.2) ïîçâîëÿåòîáîñíîâàòü âèä ìíîæåñòâà Σ2 (ðèñ. 4.5), à óñëîâèÿ (4.2.1) âèä Σ1 .Îáîñíîâàíèå ðèñóíêà 4.6 óïèðàåòñÿ â ïîèñê óñëîâèé íà K, E , ïðè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóþùèå îðáèòû áóäóò îãðàíè÷åíû ñ îáåèõ ñòîðîí (IB ), îãðàíè÷åíû òîëüêî ñî ñòîðîíû{0} × S 1 (I2 ), îãðàíè÷åíû òîëüêî ñî ñòîðîíû {θ2 } × S 1 (I1 ), íåîãðàíè÷åíû ñ îáåèõ ñòîðîí(I3 ). Äàííûå óñëîâèÿ óäîáíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ îðáèòû (2.2.20):Äîêàçàòåëüñòâî. t−< 0, µ2EK 2 − 2c > 0,r2cEc−2+− 2 +t−µ2 K 22Aµ2 K 2Eµ2 K 2902Aµ2 K 2< θ22(4.2.6)Ïîñëåäíåå èç íåðàâåíñòâ (4.2.6) ýêâèâàëåíòíî îãðàíè÷åííîñòè òðàåêòîðèè ñî ñòîðîíûêðàÿ {θ2 } × S 1 , ïåðâàÿ ñòðî÷êà äà¼ò óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè îðáèòû ñî ñòîðîíû êðàÿ{0} × S 1 .Ïîëíîòà èëè íåïîëíîòà ïîòîêîâ ñ ó÷åòîì ñëó÷àåâ ïðîäîëæàåìîñòè âðåìåíè äî +∞ è−∞ ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 19 è ïðåäëîæåíèÿ 2.2.Ðàññìîòðèì ìàêñèìàëüíóþ ïîâåðõíîñòü Áåðòðàíà S 0 ñ êîîðäèíàòàìè (θ, ϕ) è ìåòðèêîé (2.1.8), ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðîâ (c, t, µ) èçîáëàñòè Ω2 (ðèñ.

2.1); áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè êîîðäèíàòà θ ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ√ïåðâîé êîìïîíåíòû, ò.å. â ïðåäåëàõ èíòåðâàëà (θ1 , 4 −t). Íà S 0 äåéñòâóåò ïîòåíöèàëV = Aθ−2 (A < 0). Äëÿ òàêîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà èïîëíûé îáðàç îòîáðàæåíèÿìîìåíòà (íà ïëîñêîñòè (K, E)) èìåþò âèä (ðèñ. 4.7). Òî÷êà√2AA1 èìååò êîîðäèíàòû ( √ 4 , θA2 ) è íå ïðèíàäëåæèò Σ. Ìíîæåñòâî Σ1 ïðåäñòàâëÿåòµ θ1 +t 1q√2 2èç ñåáÿ êðèâóþ E1 (K) = {(K, E) : E = cµ 2K + µ2 K 2 µ22A− t, √2A< K < ∞}.4K2Ïðåäëîæåíèå 4.4.µθ1 +tÎáëàñòü Σ2 äåëèòñÿ êðèâûìè E2 (K), E3 (K) íà ÷åòûðå çîíû (ðèñ.

4.8) IB , I1 , I2 , I3 ,√2 2< K < ∞}, E3 (K) = {(K, E) : E = cµ 2K +ãäå E2 (K) = {(K, E) : E = θA2 , √2A4µθ+t11√−tµ2 K 2 + √A−t , 0 < K < ∞}. Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç Σ1 îêðóæíîñòü, ïðîîáðàçëþáîé òî÷êè èç IB òîð (ðèñ. 4.8). Ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I1 öèëèíäð, ñîîòâåòñòâóþùèå ôàçîâûå ïîòîêè ïîëíû, ïðîîáðàç êàæäîé òî÷êè èç I2 öèëèíäð ñ íåïîëíûìèôàçîâûìè ïîòîêàìè, âðåìÿ íà òðàåêòîðèÿõ, ëåæàùèõ íà öèëèíäðå íå ïðîäîëæàåòñÿâïðàâî äî +∞, íå ïðîäîëæàåòñÿ âëåâî äî −∞. Ïðîîáðàç ëþáîé òî÷êè èç I3 ïàðà öèëèíäðîâ ñ íåïîëíûìè ïîòîêàìè; âðåìÿ íà òðàåêòîðèÿõ öèëèíäðà, ëåæàùåãî â {pθ < 0},ïðîäîëæàåòñÿ äî +∞, íî íå ïðîäîëæàåòñÿ äî −∞, äëÿ öèëèíäðà {pθ > 0} íàîáîðîò.Ãðàíèöà çîí I1 è IB ñîäåðæèòñÿ â I1 , ãðàíèöà çîí I2 è IB ñîäåðæèòñÿ â I2 , ãðàíèöà çîíI1 è I3 ñîäåðæèòñÿ â I3 , ãðàíèöà çîí I2 è I3 ñîäåðæèòñÿ â I3 , îáùàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà÷åòûðåõ çîí ïðèíàäëåæèò I3 .Äîêàçàòåëüñòâî ïîâòîðÿåò îñíîâíûå ýòàïû äîêàçàòåëüñòâ ïðåäëîæåíèé 4.1 - 4.3.

Êðèòåðèé (4.1.12) è ôîðìóëû (4.2.1) îáîñíîâûâàþò âèä ìíîæåñòâ Σ1è Σ2 . Ðàçáèåíèå Σ2 íà çîíû IB , I1 , I2 , I3 îïðåäåëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîñòüþ ñîîòâåòñòâóþùèõîðáèò θ(ϕ). ßâíûé âèä îðáèòû (2.2.20) ïîçâîëÿåò çàïèñàòü óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè ñêàæäîé ñòîðîíû:r2√Ec µ2EK 2 − 2c +−+ t − µ22A< −t22µ K2K2r(4.2.7)2EcEc2A2 µ2 K 2 − 2 −− 2 + t − µ2 K 2 > θ1µ2 K 2Äîêàçàòåëüñòâî.Óðàâíåíèÿ (4.2.7) îïðåäåëÿþò îãðàíè÷åííîñòü îðáèòû θ(ϕ).

Åñëè âûïîëíÿþòñÿ îáå îöåíêè, òî îðáèòà îãðàíè÷åíà ñ äâóõ ñòîðîí (IB ), åñëè òîëüêî îäíà, òî îðáèòà îãðàíè÷åíà ñîäíîé ñòîðîíû (I1 , I2 ), åñëè íè îäíà, òî îðáèòà íåîãðàíè÷åíà ñ îáåèõ ñòîðîí (I3 ).91EEI1A1I3A1IBS2S1I2KKÐèñ. 4.7: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è Σ â Ðèñ.

4.8: Ðàñøèðåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿñëó÷àå Ω2 , V2 .äèàãðàììà â ñëó÷àå Ω2 , V2 .Ïîñëåäíèå íåðàâåíñòâà âëåêóò óñëîâèÿ, èëëþñòðèðóþùèå äåëåíèå Σ2 :E<A,θ12E<cµ2 K 22√+ µ2 K 2 −t +√A−tÏîëíîòà, íåïîëíîòà ïîòîêîâ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì óòâåðæäåíèÿ 19 è ïðåäëîæåíèÿ 2.2.

Äèàãðàììû (ðèñ. 4.1 - 4.8), ïîñòðîåíû äëÿ ìàêñèìàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé Áåðòðàíà S ñ ïñåâäîðèìàíîâîé ìåòðèêîé.  ñëó÷àå íåìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè S00 ,êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäïîâåðõíîñòüþ ìàêñèìàëüíîé S 0 , äèàãðàììû ñîõðàíÿò îáùèé âèä,íî áóäóò ìåíüøå, ò.å. êàæäîå èç ìíîæåñòâ Σ1 , IB , Σ2 óìåíüøèòñÿ. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå√S 0 ≈ (ε, −c − ε) × S 1 äëÿ íåêîòîðîãî èíôèíèòåçèìàëüíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ε è çàìûêàþùåãî ïîòåíöèàëà V1 (θ) = Aθ (A < 0) îáðàç îñîáûõ òî÷åêêðèâîéqq ðàíãà 1 ñòàíåò ÷àñòüþ2cµ2 K 2E1 (K) (ñì. ðèñ.

4.1): Σ1 = {(K, E) : E = 2 − 2µA2 K 2 , µ2 (√−A< K < µ−A2 ε }. Îáðàç−c−ε)îñîáûõ òî÷åê ðàíãàn2 ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå îáúåäèíåíèÿ òð¼õ ìíîæåñòâ:qΣ2 = Σ21 o∪√√2 2Σ22 ∪ Σ23 , ãäå Σ21 = (K, E) : E > A( −c − ε) − µ 2K (2 −cε − ε2 ), 0 < K < µ2 (√−A,−c−ε)noqq2 22Σ22 = (K, E) : E > cµ 2K − 2µA2 K 2 , µ2 (√−A< K < µ−A, è ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî Σ23 =2ε−c−ε)noq√√2 2(K, E) : E > A( −c − ε) − µ 2K (2 −cε − ε2 ), µ−A(ñì. ðèñ. 4.9).2ε < KÇàìå÷àíèå 4.2.2.0 êîìïàêòíîì ñëó÷àå äëÿ èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëèóâèëëþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñîãëàñíî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ [33] ìîæíî ïîñòðîèòü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïåðåìåííûå äåéñòâèå-óãîë.

Êîîðäèíàòà ϕ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîéäëÿ ñèñòåìû Áåðòðàíà, ïîýòîìó äåéñòâèåì äëÿ íåå áóäåò êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò, ïîëå êîñîãî ãðàäèåíòà êîòîðîãî íàïðàâëåíî âäîëü îêðóæíîñòåé {∗}×S 1 ×{∗}×{∗} ⊂ M 4 . Äðóãîåäåëî èíòåãðàë ïîëíîé ýíåðãèè E , äëÿ êîòîðîãî èíòåãðàëüíûå ëèíèè ïîëÿ sgrad E â òî÷íîñòè ôàçîâûå òðàåêòîðèè íàøåé ñèñòåìû. Ò.ê. ñèñòåìà áåðòðàíîâñêàÿ, òî âñå îãðàíè÷åííûå îðáèòû áóäóò çàìêíóòû, à çíà÷èò èì ñîîòâåòñòâóþò çàìêíóòûå ôàçîâûå òðàåêòîðèè.Çàìå÷àíèå 4.2.3.92ES21S22S23E1KÐèñ. 4.9: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è Σ â ñëó÷àå íåìàêñèìàëüíîé ïîâåðõíîñòè Áåðòðàíà l1 , V1 .Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü îðáèòó {θ = θ(ϕ)} ⊂ S 0 è ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ γ(t) ⊂ M 4 .

Ìû çíàåì ïåðèîä äâèæåíèÿ ïî îðáèòå {θ = θ(ϕ)}, à çíà÷èò è ïåðèîäôóíêöèè γ(t), êîòîðûé âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (2.3.2). Ïîñòðîèì ïåðåìåííóþ I(E, K)òàêóþ, ÷òî òðàåêòîðèè ïîëÿ sgrad I ñîâïàäàþò ñ òðàåêòîðèÿìè ïîëÿ sgrad E ñ òî÷íîñòüþäî ïåðåïàðàìåòðèçàöèè, ïðè ýòîì ïåðèîä íîâûõ òðàåêòîðèé áóäåò ðàâåí 2π . Äëÿ ýòîãîçàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî (2.3.2) ïåðèîä íå çàâèñèò îò èíòåãðàëà K , ïîýòîìó ïåðåìåííóþI áóäåì èñêàòü â âèäå I(E). Äàëåå sgrad I(E) = I 0 (E) sgrad E , ïîýòîìó ïåðèîäû TI è TT, îòêóäà ñ ó÷åòîì òðåòðàåêòîðèé ïîëåé sgrad I è sgrad E ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì TI = I 0 (E)Táîâàíèÿ TI = 2π ïîëó÷àåì I 0 (E) = 2π . Îñòàëîñü ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîñëåäíåå ðàâåíñòâîïî E , äëÿ ÷åãî âûïèøåì åãî, ïîëüçóÿñü (2.3.2):√√Tq∆+c∆−c,I 0 (E) == √ q √+q√2π4 ∆E( ∆ + c) + 2AE(c − ∆) + 2Aãäå ∆ = c2 + 4t.

Èíòåãðèðîâàíèå ïðèâîäèò êqq√√qI(E) = √E( ∆ + c) + 2A − E(c − ∆) + 2A .2 ∆(4.2.8)Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (4.2.8) ñïðàâåäëèâà êàê äëÿ ðèìàíîâà ñëó÷àÿ òàê è äëÿ ïñåâäîðèìàíîâà äëÿ àíàëîãà ïîòåíöèàëà Ãóêà V2 .Åñëè ïîñòðîèòü âìåñòî îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà FKE : M 4 → R2 îòîáðàæåíèå FKI : M 4 → R2ïî ïðàâèëó (θ, ϕ, pθ , pϕ ) → (I, K), è ñîîòâåòñòâåííî âìåñòî äèàãðàìì, îïèñûâàåìûõ ïðåäëîæåíèÿìè 4.2-4.4 (ïñåâäîðèìàíîâ ñëó÷àé, ãóêîâñêèé ïîòåíöèàë), ïîñòðîèòü äèàãðàììûíà ïëîñêîñòè OKI , òî ãðàíè÷íûå êðèâûå, ðàçäåëÿþùèå çîíû IB , I1 , I2 , I3 ñïðÿìÿòñÿ. Íà√√2 22A< K < ∞} áóäåòïðèìåð, íà ðèñóíêå 4.4 êðèâàÿ {(K, E) : E = cµ 2K + 2AµK, −µc93√2A, −µc< K < ∞}.çàäàâàòüñÿ òàê : {(K, I) : I = qµK2Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ôîðìóëà (4.2.8) èìååò îãðàíè÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íåêîìïàêòíîñòüþñèñòåìû.

Ïåðèîä T ïîñ÷èòàí äëÿ îãðàíè÷åííûõ îðáèò, äëÿ íåîãðàíè÷åííûõ îðáèò âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå ïîä êîðíÿìè ñòàíîâÿòñÿ îòðèöàòåëüíûìè, ïîýòîìó ïåðåìåííàÿ I(E) äëÿ−1îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà FKE[Σ\IB ] ⊂ M 4 , îòâå÷àþùåé íåîãðàíè÷åííûì òðàåêòî−1ðèÿìè, íå îïðåäåëåíà, à îïðåäåëåíà òîëüêî äëÿ FKE[IB ]. Ïðè ýòîì êîãäà òî÷êà (K, E)äâèæåòñÿ ïî îáëàñòè IB è ïîäõîäèò ê ãðàíèöå E2 (K) (äèàãðàììà 4.4), çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé äðîáè ïðàâîé ÷àñòè (2.3.2) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ÷òî îçíà÷àåò ñòðåìëåíèå ê áåñêîíå÷íîñòè ïðîèçâîäíîé I 0 (E) è âåëè÷èíû ïîëÿ sgrad I .4.3Ñëîè Ëèóâèëëÿ è èõ ïåðåñòðîéêè.Ïîñòðîåííûå ðàñøèðåííûå áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû (ïðåäëîæåíèÿ 4.1 - 4.4) è îòîáðàæåíèå ìîìåíòà FKE ïîìîãàþò â èññëåäîâàíèè òîïîëîãèè ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ (ïåðâûõèíòåãðàëîâ ýíåðãèè H è ìîìåíòà pϕ ) ãàìèëüòîíîâîé ïñåâäîðèìàíîâîé ñèñòåìû Áåðòðàíà.

Êàæäûé ñëîé ñëîåíèÿ Ëèóâèëëÿ ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðîîáðàç òî÷êè (K, E) ïðèîòîáðàæåíèè ìîìåíòà FKE , è ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì âñåõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèÿì äâèæåíèÿ ñ ýíåðãèåé E è êèíåòè÷åñêèì ìîìåíòîì K .

Êàêñëåäóåò èç âûøåóïîìÿíóòûõ ïðåäëîæåíèé 4.1-4.4 êàæäûé ñëîé ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿîäíî èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ: îêðóæíîñòü, äâóìåðíûé òîð, öèëèíäð, ïàðà öèëèíäðîâ.Ïðè ýòîì áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà, ò.å. ìíîæåñòâî Σ1 , â íàøåì ñëó÷àå ñîñòîèò òîëüêî èç îáðàçà îñîáûõ òî÷åê ðàíãà 1.