Бивариантные когомологии с симметриями, страница 11

Это означает, что существует (Q, h0 ) ∈ε HRep(k, B) и изометрияu : (P, h) ⊥ (Q, h0 ) ∼= (H(B n ), hB )для некоторого натурального числа n (см. (36)). Тогда отображение0φ→φ⊕0Ad uµ : (EndB P, ∆h )−−−→(EndB P ⊕ EndB Q, ∆h⊥h )−−−→(M2n (B), ∆hB ),где M2n (B) обозначает алгебру квадратных 2n × 2n матриц над B, а отображение Ad u действует на эндоморфизмах сопряжением с помощью u,будет гомоморфизмом алгебр с инволюциями.Доказательство. Согласованность с инволюциями отображения φ → φ ⊕ 0следует из определения ортогональной суммы, а для отображения Ad u изравенств0hB (uφh⊥h u−1 (x), y) =00= hB (uφh⊥h u−1 (x), uu−1 (y)) = h ⊥ h0 (φh⊥h u−1 (x), u−1 (y)) == h ⊥ h0 (u−1 (x), φu−1 (y)) = hB (x, uφu−1 (y)).Для любого (P, h) из ε HRep(A, B) левое модульное действие алгебры Aопределяет морфизмλP : A → EndB P.Поскольку h является A-линейной,λP : (A, ) → (EndB P, ∆h )— гомоморфизм инволютивных алгебр.62Определение 4.3 Обобщенным следом называется отображениеT rnr : Mr (A)⊗n → A⊗nзадаваемое формулойT rnr (m0 a0 ⊗ m1 a1 ⊗ · · · ⊗ mn an ) = T r(m0 · m1 .

. . mn )a0 ⊗ a1 · · · ⊗ an ,где mi ∈ Mr (k), ai ∈ A.Из соотношенияT rn2r (∆hB (φ))=T rn2r (0ε1r1r0 0φ1rε1r) = T rn2r (φ)0для φ ∈ M2r (k) видно, что отображение T r будет перестановочно с инволюциями.Определение 4.4 Пусть (P, h) ∈ε HRep(A, B). Диэдральным бивариантным характером Чженя Dch(P, h) назовем класс в диэдральных бивариантных когомологиях соответствующий следующему коциклу нулевой размерности:T r\ ◦ µ\ ◦ λ\P .Встречающиеся в формуле отображения были определены выше, а знак \означает, что рассматриваются отображения комплексовBD∗,∗,∗ (A) → BD∗,∗,∗ (B)индуцированное исходным отображением на уровне алгебр (µ\ и λ\P ) или науровне CH-столбцов (T r\ ).Теорема 4.2 Класс Dch(P, h) в диэдральных бивариантных когомологияхне зависит от выбора отображения u и числа n, участвующих в определении отображения µ.Доказательство проведем в несколько этапов.Предложение 4.3 Пусть ιp : A → Mr (A) оторбражение ставящее в соответствие элементу a ∈ A матрицу с единственным ненилевым элементомa на (p, p)-ом месте, тогда[T r\ ] ∪ [ι\p ] = [id\ ][ι\p ] ∪ [T r\ ] = [id\ ](операция ∪ определялась в п.

(2.5).63Доказательство. Очевидно, что T r\ ◦ ι\p = id\ и, значит, первое равенстводоказано.В работе Р. Маккарти [37] построено отображение Φ : Mr (A)n+1 → Mr (A)n+2 ;в явном виде, для случая p = 1, т.е. ιp = ι1 ,Φ=nX(−1)w+1 Φw ,w=0гдеm01j1( ...0 ··· 0....  , V (m1 ), V (m2 ), ...Φw (m0 , m1 , ..., mn ) =j1 j2j2 j3..00 ··· 0m rj10 ··· 1 ··· 0..

 w+1 ......, V (mw. , m , ..., mn ).jw jw+1 ),0 ··· 0 ··· 0XЧерез V (a) мы обозначаем матрицу с единственной ненулевой компонентойна (1, 1)-ом месте, mk ∈ Mr (A), а mkts — ts-ая компонента матрицы mk .Несложно проверить, чтоbΦ + Φb = ι\p T r\ − id.Следуя общему правилу, описанному в п. (A.1), перейдем от Φ к специальнойдеформационной ретракции Φ0 :\Tr−−−−CH∗ (A)←CH∗ (Mr (A)); Φ0 .−−ι\ →pПусть (BD0∗,∗,∗ (A), b, 0, 0) комплекс полученный из (BD0∗,∗,∗ (A), b, B, ω ± ) обнулением двух дифференциалов. Пусть отображения Φ0 , ι0p и T r0 действуют накаждом CH-столбце как Φ0 , ι\p и T r\ соответственно. Рассматривая B + ω ±как возмущение специальной деформационной ретракции0Tr−−−−BD0∗,∗,∗ (A)←BD0∗,∗,∗ (Mr (A)); Φ0−−ι0 →pи воспользовавшись теоремой (A.2), получим специальную деформационнуюретракциюTˆ−r−ˆ←ˆ Φ̂).−(BD∗,∗,∗ (A), d)(37)−−→(BD∗,∗,∗ (Mr (A)), d;ι̂−pЗаметим, что B + ω ± коммутирует с ι0p и T r0 (последние отображения действуют на уровне алгебр, тогда как первое лишь переставляет сомножителив тензорном произведении).

Откуда, и из того, что Φ0 ι0p = T r0 Φ0 = 0 следует,чтоι̂p = ι0p − Φ0 (B + ω ± )ι0p + ... = ι0p ,Tˆr = T r0 − T r0 (B + ω ± )Φ0 + ... = T r0 ,dˆ = b + T r0 ((B + ω ± ) − (B + ω ± )Φ0 (B + ω ± ) + ...)ι0p = b + B + ω ± .64И, таким образом, ι\p ◦T r\ гомотопно тождественному отображению комплекса BD∗,∗,∗ (Mr (A)).Операторы, использующиеся в специальной деформационной ретракции(37), будут перестановочны с периодичностями BD-комплексов. Это не является очевидным лишь для оператораΦ̂ = Φ0 − Φ0 (B + ω ± )Φ0 + ...Однако по самому построению, Φ̂ состоит из всевозможных ненулевых композиций Φ0 с дифференциалами, действующими в том же направлении, чтои периодичности ("к краю"комплекса BD∗,∗,∗ ).

Таким образом, Φ̂ также коммутирует с периодичностями. Следствие 4.4 Для любых p и q, [ι\p ] = [ι\q ] в бивариантных диэдральныхкогомологиях.Предложение 4.5 Пусть u элемент A, такой что u = u−1 . Тогда [Ad\u ] =[id\ ] в бивариантных диэдральных когомологиях.Доказательство. Пусть алгебра M2 (A) снабжена инволюцией, действующейкак инволюция на компонентах и транспонирующей матрицу в целом. Поскольку u = u−1 , то Adu (a) = Adu (a) в A, и, еслиu 0U=,0 1то AdU (m) = AdU (m) в M2 (A). Таким образом,ι1ι2A −−−→ M2(A) ←−−− AAduAdUidyyyι21A −−ι−→ M2 (A) ←−−− Aявляется коммутативной диаграммой гомоморфизмов алгебр с инволюциями. Откуда,[Ad\u ] ∪ [ι\1 ] = [ι\1 ] ∪ [Ad\U ] = [ι\2 ] ∪ [Ad\U ][id\ ] ∪ [ι\2 ].(38)Во втором равенстве мы воспользовались следствием (4.4).

Умножая равенство (38) справа на [T r\ ] получаем требуемое соотношение. Для завершения доказательства теоремы нам надлежит установить независимость определения диэдрального характера Чженя от выбора дополнительного модуля Q. Пусть существуют такие различные (Q1 , h0 ) и (Q2 , h00 ) ∈εHRep(k, B), что(P, h) ⊥ (Q1 , h0 ) ∼= (Hm , hB )(P, h) ⊥ (Q2 , h00 ) ∼= (Hn , hB ).65Пустьα : P ⊥ Q1 ⊥ Hn → P ⊥ Q2 ⊥ Hmизометрия, причем α|P = id. Посколькуφ ⊕ 0Q1 ⊕ 0Hn = α−1 (φ ⊕ 0Q2 ⊕ 0Hm )α,и при добавлении (при определении отображения µ слагаемых вида 0Hm когомологический класс очевидно не меняется применение утверждения (4.5)заканчивает доказательство теоремы.

6655.15.1.1ВычисленияЦиклические гомологии AdПусть Ad алгебра корней уравнений видаx2 + px + q = 0,p, q ∈ Z√имеющих форму a· d+b, где a, b ∈ Q, а d целое число свободное от квадратов.1иЕсли α ∈ Ad рационально: α = mn1F (x) = x2 + P x + QF (α) = 0тогда α0, второй корень F (x), также рационален: α0 =(m1 , n1 ) = (m2 , n2 ) = 1. Получаем: m1 m2 n1 n2 = Q m1 +n1m2n2m2.n2Предположим1= −Pзначит, m22 = P m2 n2 − n22 Q и, следовательно, n2 = 1. Откуда получаем чтоn1 = 1 и α ∈ Z.√Пусть теперь α = a· d+b и a 6= 0. По определению, число α принадлежитAd если коэффициенты многочленаx2 − 2bx + b2 − a2 dцелые. Действительно, существование другого многочлена той же формы,с корнем α означало бы α ∈ Q, поскольку разность также имеет α своимкорнем.

Итак,α ∈ Ad ⇐⇒n2b ∈ Z⇐⇒b 2 − a2 d ∈ Z a, b ∈ Z, d = 4k + 2, 4k + 3a = a0 /2, b = b0 /2, a0 , b0 ∈ Z,b0 ≡ a0 (mod2), d = 4k + 1Откуда получаем, что Ad свободный Z-модуль с образующими 1 и ω:√d, если d = 4k + 2 или d = 4k + 3ω = √d+1, если d = 4k + 121(a, b) обозначает наибольший общий делитель чисел a и b.675.1.2 Для подсчета циклических гомологий Ad воспользуемся нормализованным бикомплексом BC(Ad ) (см. теорему 1.1).nz }| {nКаждый элемент Ad ⊗ Ad однозначно записывается в виде (a0 , ω, ..., ω), инесложно показать, чтоn−1z }| {(2a0 ω − a0 , ω, ..., ω) , если d = 4k + 1 и n = 2l;nn−1z }| {{b(a0 , ω, ..., ω) = (2a ω, zω, }|..., ω), если d = 4k + 2 или0d = 4k + 3 и n = 2l;0, если n = 2l + 1.Считая a0 = aω + b, запишемa − b), ω, ..., ω) , если d = 4k + 1 и(ω(2b + a) + ( d−12n = 2l;b(a0 , ω, ..., ω) = (2bω + 2ad, ω, ..., ω), если d = 4n + 2 или4k + 3 и n = 2l;0, если n = 2l + 1;(n+1nz }| {z }| {(a(n+1),ω,..., ω) , если n = 2l;B(a0 , ω, ..., ω) =0, если n = 2l + 1.Откуда видим, что дифференциал в нечетных размерностях тотального комплекса равен нулю:B+b=0T ot2n+1 BC ∗ −−−−→ T ot2n BC ∗ .В четных же размерностях дифференциалB+bT ot2n BC ∗ −−−→ T ot2n−1 BC ∗задается матрицей, точный вид которой мы укажем в зависимости от d.5.1.3Случай d 6= 4k + 1.Тогда матрица дифференциала запишется как0 20 2d 0 2n − 10202d02n−302 0.........

...2d030 2 02d 0 1 068Очевидно, что в нечетных строках могут быть получены любые наборы четных чисел. Поскольку ядро следующего дифференциала совпадает со всеммодулем, каждая нечетная строка добавляет в гомологии алгебры прямоеслагаемое Z/2Z в размерности 2n − 1, и эту строку, вместе с соответствующим столбцом можно исключить. Получаем матрицу:2d 2n − 12d2n − 3......(39)... ...2d 32d 1 0Теперь ясно, что ядром рассматриваемого дифференциала является Z ⊕ Z.

ИчтоHC2n (Ad ) ∼=Z⊕Zпоскольку образ предыдущего дифференциала есть ноль.5.1.4Случай d = 4n + 1.Матрица дифференциала запишется в виде:12 d−1 −1 2n − 1 2012d−1−12n−32012............012d−1−1 32012d−1−1 1 02Элементарные преобразования матрицы вида col1 := col1 +α·col2 или row1 :=row1 + β · row2 , где α, β ∈ Z отвечают преобразованиям базиса в T ot2n+1 илив T ot2n соответственно. Применяя их получим:10 d−1 −d 2n − 1 −2(2n − 1) 210d−1−d2n−3−2(2n−3)2......10d−1−d3−6210d−1−d 1 0269Далее,1 0 0 −d 0 −2(2n − 1)100−d0−2(2n−3)10.........

...100−d0−61 00 −d 1 0где, как и в случае d 6= 4n + 1 можно исключить строки и столбцы, содержащие лишь единицы. (Гомологии при этом остаются теми же.)d 2(2n − 1)d2(2n − 3)......(40)......d 6d 2 0Как и в конце пункта 5.1.3:HC2n (Ad ) ∼=Z⊕Z5.1.5Таким образом оба случая привели к матрице одного вида 0d a1d0 a20d a3Φn : ... ...... ...d0 an(41)(в случае d 6= 4n + 1, d0 = 2d и ai = 2i − 1; если же d = 4n + 1 то, d0 = d иai = 2(2i − 1)) и нам остается подсчитать коядро отображенияΦ:Zn+1 → Znзадаваемого матрицей (41).70Предложение 5.1 Любой ненулевой k-минор Mink матрицы (41) имеетвидk−m.(42)Mink = ai1 · .

. . · aim · d0Доказательство. Каждый k-минор Mink определяется выбором k различныхстолбцов и k строк матрицы (41), пересечение которых дает квадратнуюk × k-матрицу Mk определителем которой и является Mink . Для обоснованияформулы (42) достаточно показать, что любая такая матрица Mk , имеющаяненулевой определитель, состоит из блоков Bli стоящих на диагоналиBl1Bl2,Mk = Bl3...причем каждый такой блок является верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицей с ненулевыми элементами (равными с необходимостью d илиai ) на диагонали .Будем рассуждать по индукции по количеству строк исходной матрицы(41). Если количество строк n = 2, то утверждение очевидно. Пусть в матрице (41) n0 строк. Если среди выбранных строк соответствующих минору Minkнет последней (n0 -ой) строки, то утверждение следует из предположения индукции.