Бивариантные когомологии с симметриями, страница 10

ТогдаdBD (h) = (−1)|g| dBC (gn ω −1 ) + (−1)|g| ωgn ω −1 − (−1)|g| (−1)|g|+1 gn .Первое слагаемое равно нулю по предложению (3.7). Подставим во второеслагаемое выражение для ωgn из (28). Получим0gn + (−1)|g|+|g | g 0 ωω −1 + (−1)|g| dBC (f )ω −1 == gn + g 0 + (−1)|g|+1 (dBC f ω −1 − (−1)|h|+1 f ω −1 dBC ) == gn + g 0 + (−1)|g|+1 (dBC (f ω −1 ) − (−1)|f |+1 f ω −1 ω) =gn + g 0 + f + (−1)|g|+1 dBD (f ω −1 )и, таким образом, вычитая из исходного коцикла кограницуdBD (h + (−1)|g| f ω −1 ),составляющие фильтрации n исчезают.в)HYb}bH f ZbHHZZg0gn bbHHZH...Как и в предыдущем случае, dBC (gn ) = 0 являет.8ся необходимым условием для вхождения gn в коцикл.

Необходимо такженаличие отображения f и (если n = 1) отображения g 0 , таких что−(−1)|g| gn ω + ωg 0 + dBC (f ) = 0(29)Положим h = ω −1 gn ω. ТогдаdBD (h) = gn + dBC (ω −1 gn ) − (−1)|g|+1 ω −1 gn ω.Замечая, что второе слагаемое равно нулю по предложению (3.7) и подставляя выражение для gn ω из (29) получимdBD (h) = gn + ω −1 ωg 0 + ω −1 dBC (f ) = gn + g 0 + h − dBD (ω −1 f ).Значит, при вычитании из исходного коцикла кограницы dBD (h + ω −1 f ) слагаемые фильтрации n исчезнут.г)562XyyXXXhXXXXXXh1XhXyyXXXXhXXX XXhXXhXhXXXXhXhXhXXXXXXXh2XXXXXXX...h1Как и выше, dBC (gn ) = 0.

Другим необ.9ходимым условием вхождения gn в коцикл является наличие таких отображений h1 и h2 , чтоdBC (h1 ) − (−1)|g| gn ω = 0 и dBC (h2 ) + ωgn = 0.Положим f = (−1)|g| h1 ω −1 . ТогдаdBD (f ) = dBC (f ) + ωf − (−1)|f | f ω = gn + (−1)|g| ωh1 ω −1 + h1 .Вычитая кограницу dBD (f ) из исходного коцикла получим, что gn исчезнет,а изменения произойдут лишь в старших фильтрациях. Теорема доказана.Следствие 3.8 Пусть элемент 2 обратим в k, тогда имеет место следующий изоморфизмHD∗ (A, B) ∼= HC ∗ (A, B) ⊕ HC ∗ (A, B).Ввиду доказанного утверждения, в дальнейшем, мы сосредоточим наше вни−мание на комплексах BC +∗,∗ (A) и BC ∗,∗ (A) и бивариантных когомологиях имсоответствующих HC+∗ (A, B) и HC−∗ (A, B) соответственно.3.2Матричная форма записи гомоморфизмовИсследуем явный вид гомомофизмов введенных нами выше комплексов.3.2.1Каждый элемент f ∈ HomS (BC(A), BC(B)) представляет собой гомоморфизм градуированных k-модулейf:T ot BC ∗,∗ (A) → T ot BC ∗,∗ (B)Разложению в прямую сумму модулей[n/2][n/2]T otn BC(A) =MA⊗A⊗n−2iиT otn BC(A) =MB⊗B⊗n−2ii=0i=0соответствует представление f в виде компонентA⊗A⊗i⊗j→B⊗B .Из условия перестановочности гомоморфизмов с периодичностью S следует,⊗i⊗jчто все составляющие f отображающие A ⊗ A в B ⊗ B при фиксированных i и j равны.

Действительно, поскольку S вычеркивает первый столбец57бикомплекса BC, все такие составляющие равны одной фиксированной составляющей⊗i⊗jFij : A ⊗ A → B ⊗ B⊗if для которой A⊗A находится в первом столбце бикомплекса BC(A). Отсюдавидно также, что Fij = 0 при i + n > j, где n — степень f .Следовательно, каждый S-перестановочный гомоморфизм f может бытьпредставлен в виде бесконечной треугольной матрицы (Fij )∞i=0, j=0 с ненулевыми элементами в шахматном порядке. Например, гомоморфизму степени−2 соответствует матрицаF00F20F11F =F02F31F22F13F04...F42F33F24....F53F44...(30)F64...Композиции двух гомоморфизмов соответствует произведение матрицXF ◦ Gij =Fik Gkj .kДифференциал записывается в матричной форме следующим образомdFij = bFi,j+1 + Bi,j−1 − (−1)|f | Fi+1,j B − (−1)|f | Fi−1,j b.Вматричной форме отображение S состоит во включении множества матриц таких что Fij = 0, при i − j > n в матрицы для которых Fij = 0, приi − j > n + 1.

Гомологии прямого предела индуктивной системыSSS. . . −−→Hom∗S (BC ∗ (A), BC ∗ (B))−−→Hom∗+2−→...S (BC ∗ (A), BC ∗ (B))−называются бивариантными периодическими (циклическими) когомологиями (см. [29]), обозначение HP ∗ (A, B).3.2.2 Тчно также как HomSΩ (BD(A), BD(B)) и HomΩ (CR(A), CR(B)) (см.п.2.4) комплексHomS (BC + (A) ⊕ BC − (A), BC + (B) ⊕ BC − (B)) = HomS (BC(A), BC(B))раскладывается в прямую сумму своих положительных и отрицательных частей.

Каждый положительный S-перестановочный гомоморфизм f может58быть представлен в виде пары матриц вида (30): F ++ , F −− и каждый отрицательный гомоморфизм в виде F +− , F −+ . Например, матрицы F ++ и F −−+−F00++F02+−F04···−+F11−−F13···−−F20−+F22−−F24···++F31+−F33···−+F00++F42+−F44···−−F53···−−F02−−F64−+F04···,···+−F11++F13···++F20+−F22++F24···−−F31−+F33···−−F42−+F44···++F53···++F64···,(31)где−Fij+− : CH+i → CHj ,+Fij++ : CH+i → CHj ,−Fij−− : CH−i → CHj ,+Fij−+ : CH−i → CHjсоответствуют положительному гомоморфизму степени −2.Дифференциалы и композиции гомоморфизмов записываются также каки в циклическом случае.Заметим, что периодичность S отображает BC + на BC − и наоборот.

Значит отрицательная часть S-перестановочного гомоморфизма f f −− : BC − →BC − однозначно восстанавливается по его положительной части f ++ : BC + →BC + .3.2.3Рассмотрим гомоморфизмы “кватернионного” случая+f ∈ HomT (BQ∗,∗ (A), BQ∗,∗ (B)) ∼= HomT (BC +∗,∗ (A), BC ∗,∗ (B)).В отличие от п. 3.2.2 ненулевые гомоморфизмы, перестановочные с периодичностями, могут отображать элементы 2k + 1-го столбца в 2k + 2-ой(эти столбцы находятся в одном периоде оператора T ). Значит каждый T перестановочный представляется матрицами (31) с “дополнительной диаго+−налью” (Fi−n+2,i)∞i=0 , где n степень гомоморфизма.3.3Точные последовательностиТеорема 3.9 Пусть элемент 2 обратим в k, тогда следующие последовательности являются точнымиS0 → HomS [−2](BC(A), BC(B))−−→(32)S−−→HomS (BC(A), BC(B))−−→Hom(CH(A), CH(B)) → 0(см. [30]),+−+−S0 → Hom+−→S [−2](BC (A) ⊕ BC (A), BC (B) ⊕ BC (B))−+−+−−S−−→HomS (BC (A) ⊕ BC (A), BC (B) ⊕ BC (B))−−→−−→Hom(CH+ (A), CH+ (B)) ⊕ Hom(CH+ (A), CH− (B)) → 0,59(33)+−+−W0 → Hom+−→(34)S (BC (A) ⊕ BC (A), BC (B) ⊕ BC (B))−++++W−−→HomT (BC (A), BC (B))−−→Hom[−2](CH (A), CH (B)) → 0.Доказательство.

Как уже отмечалось в п. 3.2.1 отображение S состоит вовключении треугольных матриц, таких что Fij = 0, при i − j > n − 1, втреугольные матрицы, такие что Fij = 0 при i − j > n. Компоненты Fij длякоторых i − j = n и определяют гомоморфизм комплекса Хохшильда.Отображение W состоит в естественном включении пар матриц в парыматриц с “дополнительной диагональю”. В образе W элементы “дополнительной диагонали” равны нулю. Таким образом, элементы этой диагонали иопределяют гомоморфизм комплекса Хохшильда.Из матричного представления гомоморфизмов следует, что S и W являются морфизмами комплексов, и что последовательности (32), (33) и (34)точны.

−Замечание. Если в последовательности (33) заменить Hom+S на HomS и наоборот, то получаемая последовательность также точна.ОбозначимHH n++ (A, B) = H−n (Hom(CH+ (A), CH+ (B))),HH n+− (A, B) = H−n (Hom(CH+ (A), CH− (B))).Следствие 3.10 Коротким точным последовательностям теоремы 3.9 соответствуют следующие длинные точные последовательности.· · · → HC n−2 (A, B) → HC n (A, B) → HH n (A, B) → HC n−1 → HC n+1 → · · ·n· · · → HC n−2+ (A, B) → HC − (A, B) →n−1→ HH n++ (A, B) ⊕ HH n+− (A, B) → HC +→ HC n+1→ ···−· · · → HC n+ (A, B) → HQn (A, B) → HH n++ (A, B) →n+1→ HC n+1(A, B) → · · · .+ (A, B) → HQЗамечание. Не требуя обратимости 2, теми же методами что и выше можнодоказать точность последовательностиnn· · · → HDn−2− (A, B) → HD + (A, B) → HR+ (A, B) →n−1→ HD−(A, B) → HDn+1+ (A, B) → · · · ,обобщающей последовательность (33).6044.1Эрмитов бивариантный характер ЧженяБиваринтная эрмитова K-теорияПусть A, B — алгебры с инволюциями над коммутативным кольцом k; M— A − B бимодуль (то есть левый A-модуль и правый B-модуль, причемправое и левое действия согласованны).

Через op обозначим M со следующеймодульной структурой: b · m · a = amb.Пусть h : M op ⊗ M → B гомоморфизм B-бимодулей такой, что h(y, x) =εh(x, y), где ε-единица кольца k с условием εε = 1. Предположим, ччто ĥ :M → M ∗,ĥ(x)(y) = h(x, y)изоморфизм A − B-бимодулей (здесь M ∗ = (HomB (M, B))op ).Определение 4.1 Пусть M — правый проективный B-модуль конечноготипа. Пара (M, h) удовлетваряющая сфрмулированным выше условиям называется ε-эрмитовым A − B-модулем. Изометрией таких модулей называется изоморфизм A − B-бимодулей f : (M, h) → M 0 , h0 , такой чтоh0 (f (m1 ), f (m2 )) = h(m1 , m2 ).(35)Для любых двух ε-эрмитовых A − B-модулей (M1 , h1 ), (M2 , h2 ) определенаих отрогональная сумма(M1 , h1 ) ⊥ (M2 , h2 ) = (M1 ⊕ M2 , h1 ⊥ h2 ),также являющаяся ε-эрмитовым A − B-модулем.

Здесь h1 ⊥ h2 (m1 ⊕ m2 ) =h1 (m1 ) + h2 (m2 ).Обозначим через ε HRep(A, B) категорию, объектами которой являютсярассматриваемые с точностью до изометрии ε-эрмитовы A − B-модули (P, h)для которых существуют ε-эрмитов k − B-модуль (Q, h0 ), такой что (P, h) ⊥(Q, h0 ) и0 1nn2n(H(B ), hB ) = (B ,),(36)ε1n 0где 1n обозначает единичную квадратную матрицу размера n×n, изометричны как k − B-модули для некоторого n. Морфизмами категории ε HRep(A, B)являются гомоморфизмы A − B-модулей, согласованные с соответствующими билинейными формами в смысле (35); ортогональная сумма снабжаем ееструктурой категории с произведением.Замечание.

Если 2 обратимо в кольце k, то для любого ε-эрмитова A − Bмодуль (P, h) существует дополнительный ему модуль (Q, h0 ).Определение 4.2 Группой бивариантной эрмитовой K-теории алгебр Aи B назовем группу Гротендика K0 (ε HRep, ⊥). Будем обозначать ее черезε K(A, B).61Замечание. При A = k, группа ε K(A, B) отождествляется с обычной группой эрмитовой K-теории ε K(B) (см., например, [11]).4.2Характер ЧженяОбозначим через ∆h инволюцию в алгебре EndB P , где (P, h) — ε-эрмитовA − B-модуль,∆h : φ → φh ,φ, φh ∈ EndB P,заданную условиемh(φh (x), y) = h(x, φ(y))для любых x, y. Существование φh следует из условия невырожденности h.Предложение 4.1 Пусть (P, h) ∈ε HRep(A, B).