Бивариантные когомологии с симметриями, страница 6

Каждый блок матрицы (10) являетсякомпозицией блочных матриц начинающейся с Jn δn . Значит любой элементкаждого ненулевого блока (10) является композицией видаj ◦ q ◦ r,(11)где j — элемент матрицы Jn , а q — элемент матрицы δn . Таким образом, дляэлементарных композиций (11) возможны следующие варианты• Либо j является элементом четного столбца матрицы Jn (нумерацияначинается с 1), и тогда композиция (11) начинается с (1 − t)s̃, следовательно результат содержит как минимум две единицы и, значит,вырожден.• Либо j является элементом нечетного столбца матрицы Jn , и при этомрассматривается блок первой диагонали.

Тогда этот блок имее видJm δm Im . Следовательно композиция (11) в целом равна (1 ± y) и снова вырожденные наборы переходят в вырожденные, поскольку и 1 и yпереставляя сомножители тензорного произведения оставляют первыйиз них на месте.29• Либо j является элементом нечетного столбца матрицы Jn , и при этомрассматривается блок диагонали выше чем первая. Тогда оператор Smимеющий нулевые нечетные элементы следует в композиции (11) за δ.Значит композиция равна нулю.Применяя как и в п.

1.2.1 предложение A.5, получаем дефформационнуюретракцию следующего видаˆ ∞ (A), b + B̂, ∆;ˆ ĥ),ˆ ←−−−−(BC(BD+ (A), b + B̂, ∆)−−→∗,∗,∗∗,∗,∗где BD+∗,∗,∗ (A) получен изкомплексу.ˆ ∞ (A)BC∗,∗,∗факторизацией по “вырожденному” под-ˆ n заметим, что в блочной записи (10)1.4.4Возвращаясь к явному виду ∆все диагонали кроме нижней после нормализации становятся нулевыми.

Действительно, Jn δn Sn−1 =01 (t − 1)s̃s̃ 1(t−1)s̃) δn 0··· ··· s̃...0 −(1 − t)s̃(1 ± y)s̃ 0 = 0,0 −(1 − t)s̃(1 ∓ y)s̃=...так как при нормализации s̃ переходит в s, а ys = syt и s2 = 0.Комбинация Jn δn Sn−1 содержится во всех диагоналях начиная со второй.Первая состоит из блоков Jn δn In =1−s̃N1±y1∓yt − 1.Jn · −s̃N1∓y1...

······В результате получаем:(1 ± y) (1 − t)s̃(∓yt − 1)s̃N(1 ∓ y)Jn δn In = ...(1 − t)s̃(±yt − 1)s̃N =...(1 ± y)(1 ± y)(1 ∓ y)=30....Мы учли, что s̃ при нормализации переходит в s, и что композиция t, N , y,s, содержащая s два раза равна нулю.Таким образом, учитывая предложение A.1, мы построили специальнуюдеформационную ретракцию комплекса CD+∗,∗,∗ (A) к комплексу−++ω̃−ω̃−ω̃−(BC ∗,∗ , b, B)←−(BC ∗,∗ , −b, −B)←−(BC ∗,∗ , b, B)←−···Комплексы отличающиеся лишь знаком дифференциалов изоморфны (см.[4]); пользуясь этим, поменяем знаки дифференциалов в (BC, −b, −B)-слояхна противоположные.

При этом нужно будет изменить и знаки горизонтальных дифференциалов. Нами доказано следующее утверждение.Теорема 1.3 Комплекс CD+∗,∗,∗ (A) стягивается к комплексуBD+∗,∗,∗ :−++ω−ω−ω−(BC ∗,∗ , b, B)←−(BC ∗,∗ , b, B)←−(BC ∗,∗ , b, B)←−···,и аналогично комплекс CD−∗,∗,∗ (A) стягивается кBD−∗,∗,∗ :−+−ω−ω−ω−(BC ∗,∗ , b, B)←−(BC ∗,∗ , b, B)←−(BC ∗,∗ , b, B)←−···,где ωij+ , ωij− : BC ij (A) → BC ij (A), i ≥ 0, j ≥ 0, записываются как+−ωi,j= (−1)i+j (1 − (−1)i y) и ωi,j= (−1)i+j (1 + (−1)i y)соответственно.1.5Кватернионный комплекс BQ∗,∗ (A)1.5.1Прейдем теперь к кватернионному случаю. Рассмотрим следующийкомплекс Q∗,∗ (A) :σφθ(A⊗∗ , b)←−−(A⊗∗ , −b0 ) ⊕ (A⊗∗ , −b)←−−(A⊗∗ , b) ⊕ (A⊗∗ , b0 )←−−(A⊗∗ , −b0 ),составляющий “период” комплекса CQ∗,∗ (A) (см.

п. 1.3.5). По-другому егоможно записать следующим образомCH∗ (A) ⊕ −CH∗ (A)[1] ⊕ −Bar∗ (A)[1] ⊕ Bar∗ (A)[2] ⊕ CH∗ (A)[2] ⊕ −Bar∗ (A)[3],где C[n]∗ обозначает n-кратную надстройку комплекса C∗ , то есть C[n]k =Ck−n , а знак “−” перед комплексом означает смену знака дифференциалакомплекса. Тогда дифференциал в Q∗,∗ (A) имеет видb 1−y 1−t000 0 −b0t − 1 −1 − y0 000−b1 + ytN0 dQ : 0000b0yt−10000b1−t 00000b031(обозначения те же, что и в п.1.3).Обозначим диагональную часть dQ черезd = diag{b, −b, −b0 , b0 , b, b0 },а оставшуюся через δ = dQ − d.

Применим лемму о возмущении к следующейспециальной деформационной ретракцииf−−−−(Q∗,∗ (A), d; S),(Q0∗,∗ (A), b)←−−∇→гдеQ0 = CH∗ (A) ⊕ −CH∗ (A)[1] ⊕ CH∗ (A)[2],а операторы S, f , ∇ задаются матрицами0 0100000−s̃, 0 1 0 0 0 0,−s̃0 0 0 0 1 00−s̃100000010000000010соответственно. Как и ранее s̃ = sb0 sQ0 = CH∗ (A) ⊕ −CH∗ (A)[1] ⊕ CH∗ (A)[2].В качестве возмущения рассмотрим δ; локальная нильпотентность следуетиз того, что матрица Sδ будет верхнетреугольной. В результате получаетсяспециальная деформационная ретракцияˆf−−−−(Q0∗,∗ (A), b + δ̂)←(Q∗,∗ (A), dQ ; Ŝ),−−ˆ→∇где Ŝ и000000(12)ˆ записываются как матрицы∇0 000 000 −s̃ s̃(1 + yt)s̃0 0−s̃0 000 00001 0 00 1 0 00 0 0 s̃N 0 −s̃(1 + yt)s̃(yt − 1)s̃  и 0 0 0 0s(yt − 1)s̃0 0 1 000−s̃0 0 0соответственно.

Операторы fˆ и δ̂ записываются в виде матриц1 (1 − t)s̃ (t − 1)s̃(1 + yt)s̃ 0 0 (t − 1)s̃(1 + yt)s̃(yt − 1)s̃0,1(t + 1)s̃0 0(t − 1)s̃(yt − 1)s̃0000 1(t − 1)s̃0 1−yB00−(1 + y) 000соответственно.321.5.2Рассматривая теперь бикомплексCQ∗,∗ (A):NQNQ(Q∗,∗ (A), dQ )←−−(Q∗,∗ (A), dQ )←−− · · · ,вновь применим лемму о возмущении к специальной деформационной ретракцииfˆ∞∞←−−−(Q∞(Q0∞→∗,∗ (A), dQ ; Ŝ ),∗,∗ (A), b + δ̂)−−∞ˆ−∇состоящей из бесконечного числа экземпляров (12), так что добавляя к дифференциалу dQ комплекса (Q∞∗,∗ (A), dQ ) возмущение NQ получим комплексCQ∗,∗ (A) (этим же приемом мы пользовались и в п.1.4.2 при построении комплекса CD+∗,∗,∗ (A)).

Обоснование применимости леммы о возмущении в точности такое же как и в п. 1.4.2. В результате комплекс CQ∗,∗ (A) оказалсястянутым к комплексу(Q0∞∗,∗ (A), b + δ̂ + N̂Q ),где0 0 (1 − t)s̃(1 + y)s̃(yt − 1)s̃NQ.N̂Q =  0 0(t − 1)s̃(yt − 1)s̃NQ0 0(t − 1)s̃NQИз явного вида операторов b, δ̂ и N̂Q ясно, что вырожденные наборы онипереводят в вырожденные (обоснование этого факта для b и компонент δ̂ иN̂Q проводилось в п.1.4.3), и, следовательно, вырожденные наборы образуют подкомплекс в Q0∞∗,∗ (A), по которому (используя предложение A.5) можно профакторизовать. Дифференциал при этом не изменяется. Полученныйкомплекс будем обозначать через BQ∗,∗ (A).1−y −b −1−y? B ? +⊗6AA⊗5 1−y−b b −1−y? B ?+A⊗5 A⊗4 1−y−b b −1−y? B ?+⊗4AA⊗3 1−y−b b −1−y? B ?+A⊗3 A⊗2 1−y−b b −1−y? B ?+⊗2AAbBQ5 (A)BQ4 (A)BQ3 (A)BQ2 (A)BQ1 (A)b1−y −b−1−y? B ? +⊗2b2B(1+y)?A⊗4bAA1−yb2B(1+y)?A⊗3b?A2B(1+y)?A⊗2...b?A1−yb?BQ0 (A)A33На приведенной диаграмме n-ая строка представляет собой модульMBQn (A) =BQi,j (A).i+j=nСтолбцы повторяются с периодом 3.

Таким образом, доказана следующаятеорема.Теорема 1.4 Комплекс CQ∗,∗ (A) стягивается к комплексу BQ∗,∗ (A).342Бивариантные когомологииПри изучении гомологий с симметриями (циклические, диэдральные ит. д.) алгебры A, возникают комплексы с различными периодичностями :CC, BC, BQ и т. д. От морфизмов комплексов такого рода разумно потребовать сохранения их “геометрической структуры”(периодичности). Развиваяэту идею, Дж.

Джонс и Кр. Кассель в работе [29] определили бивариантные циклические когомологии как гомологии морфизмов S-комплексов, т.е.комплексов с периодичностями как у комплексов CC ∗,∗ (A) и BC ∗,∗ (A). В работе П. Гурролы [28] были введены бивариантные кватернионные гомологии.В настоящей работе мы определим бивариантные диэдральные гомологии ирассмотрим некоторые обобщения этих понятий для различных мультикомплексов.2.1Периодичности2.1.1Определение 2.1 Будем говорить, что комплекс (C∗ , d) обладает периодичностью степени m, если задано эпиморфное отображение P : C∗ → C∗+m ,изменяющее градуировку на m и коммутирующее с дифференциалом.Пусть (X 0 , d0 ) и (X 00 , d00 ) — цепные комплексы снабженные наборами коммутирующий периодичностейP 0 = {P10 , ..., Pk0 },определенных на комплексе X 0 , иP 00 = {P100 , ..., Pk00 },определенных на комплексе X 00 , причем степени Pi0 и Pi00 равны mi .Определение 2.2 Деформационная ретракция (см.

приложение A)f−−−−(X∗0 , d0 ; h)(X∗00 , d00 )←−−∇→называется P 0 -P 00 -совместимой, если операторы f , ∇ и h коммутируют спериодичностямиf Pi0 = Pi00 f,∇Pi00 = Pi0 ∇,hPi0 = Pi0 h для всех i, 1 ≤ i ≤ k.352.1.2 Рассмотрим следующие примеры периодичностей, определенных накомплексах, построенных в главе 1.На циклическом комплексе BC(A) определена периодичность степени −2(см. п.

1.2.1)SBC : BC n (A)−−→BC n−2 (A),проектирующаяBC n (A) =M[n/2]наBC n−2 (A) =i=0A⊗AM[n/2]i=1⊗n−2i⊗n−2iA ⊗ A.На интуитивном уровне, S состоит в вычеркивании первого столбца бикомплекса BC. Очевидно, что SBC коммутирует с дифференциалом. Аналогичноопределяется операторSCC : CC n (A)−−→CC n−2 (A),SCC :Mn+1i=1A⊗i →Mn−1i=1A⊗i ,состоящий в вычеркивании первых двух столбцов комплекса CC ∗,∗ (A).Предложение 2.1 Деформационная ретракция комплекса CC к BC, построенная в п.