Бивариантные когомологии с симметриями, страница 4

. . dan · a = a0 da1 . . . dan−1 d(an · a) − a0 da1 . . . dan−1 · an da == a0 da1 . . . dan−1 d(an · a) − a0 da1 . . . d(an−1 · an ) da + . . .. . . + (−1)i a0 a1 . . . dan−i−1 d(an−i · an−i+1 ) dan−i+2 . . . dan da ++(−1)n a0 · a1 da2 . . . dan da.Алгебра дифференциальных форм Ω∗ (A) снабжена обычным дифференциаломd: a0 da1 da2 . . . dan → da0 da1 da2 . . . dan ,который переходит при изоморфизме τ в операторs: A ⊗ A⊗n→A⊗A⊗n+1возникавший при других обстоятельствах в предыдущем пункте.Предположим, что A — дополненная алгебра, то есть задан гомоморфизмλ:A → k,тогда отображениеb̃0 :a0 da1 da2 .

. . dan → da0 da1 da2 . . . dan−1 (dan − λan )задает уще один дифференциал алгебры Ω∗ (A), соответствующий при отождествлении τ операторуb0 :A⊗A⊗n→A⊗A⊗n−1(см. п.1.1.2). Как мы уже видели b0 s+sb0 = 1. Отметим, что b̃0 и d (или, что тоже самое, b0 и s) двойственны друг к другу в том смысле, что d превращаетa0 , стоящий на первом месте, в da0 , а b̃0 наоборот превращает dan , стоящийна последнем в an . Более естественным по сравнению с b0 в контексте некоммутативных дифференциальных форм оказывается оператор коммутации:a0 da1 da2 . . .

dan → a0 da1 da2 . . . dan−1 · an − an · a0 da1 da2 . . . dan−1 .Смысл его, по-прежнему, — вынесение последнего элемента (в данном случаеan ) из-под дифференциала, однако ставится он и на первое и на последнееместо. Такая равноправность соответствует циклической записи формы:a0 da1da5@@da2@@da4 da3 .1 Несложно видеть, что изоморфизм τ переводит оператор коммутации в граничный оператор комплекса Хохшильда b, и, таким образом, мы приходим к определению гомологий Хохшильда в терминах дифференциальных форм.171.1.4 (Геометрическая интерпретация граничного оператора b.) Каждомуэлементу(a0 , .

. . , an ) ∈ A⊗n+1поставим в соответствие n-мерный геометрический симплекс с вершинами{0, 1, 2, . . . , n} и ребрами (ребра считаются направленными) индексированными элементами алгебры A по следующему правилу: ребру [0, 1] соответствует элемент a0 , ребру [1, 2] соответствует a1 , и так далее, ребру [n, 0] соответствует an . Если из трех ребер симплекса, образующих треугольник, дваребра уже проиндексированы элементами a1 и a2 соответственно, а третьеявляется суммой (в векторном смысле) первого и второго, то третье ребропроиндексируем элементом a1 · a2 .a1 @ a2@a1 a2 @R- .2 При таком подходе взятию обычной геометрической границы будет соответствовать оператор b на индексах.1.1.5Опишем более формально симплициальную структуру комплексаХохшильда CH∗ (A).Обозначим через ∆ категорию, объектами которой являются наборы вида {1, 2, . .

. , k} = [k], а морфизмами — невозрастающие отображения наборов [n] → [m]. Симплициальным модулем (или более общо симплициальнымобъектом в категории CAT ) называется контравариантный функтор из категории ∆ в категорию модулей (соответсвенно в категорию CAT ). Учитывая,что морфизмы в ∆ порождаются операторами граней δi : [n − 1] → [n] (пропускающих i-й номер) и вырождений σi : [n + 1] → [n] (отображающих дваномера в i), уточним приведенное определение следующим образом. Симплициальным модулем называется набор модулей {Mi }∞i=1 вместе с морфизмамимодулей di : Mi → Mi−1 и si : Mi → Mi+1 связанными соотношениямиdi dj = dj−1 di i < j,si sj = sj+1 si i ≤ j, sj−1 di , при i < j,при i = j или i = j + 1, .di sj = id,sj di−1 , при i > j + 1Примером симплициального модуля является набор A⊗Aop -модулей {A⊗n }∞n=1 ,для которых операторы граней и вырождений задаются следующими формулами:di (a0 , .

. . , an ) = (a0 , . . . , ai · ai+1 , . . . , an ),si (a0 , . . . , an ) = (a0 , . . . , ai , 1, ai+1 , . . . , an ).181.2Циклические гомологии1.2.1Определение 1.2 Циклическими гомологиями алгебры A (обозначение HC ∗ (A))называются гомологии бикомплекса CC ∗,∗ (A):...byCC ∗,∗ (A) :...−b0y...by...−b0y⊗3 1−t⊗3⊗3 1−t⊗3NNA ←−−− A ←−−− A ←−−− A ←−−− · · ·b−b0b−b0yyyy⊗2 1−t⊗2⊗2 1−t⊗2NNA ←−−− A ←−−− A ←−−− A ←−−− · · ·b−b0b−b0yyyyA←1−t−−−AN←−−−A←1−t−−−AN←−−− · · · ,где b и b0 определяются также как и выше (см. пп.1.1.1, 1.1.2),t(a0 , a1 , · · · , an ) = (−1)n (an , a0 , a1 , · · · , an−1 ),N = 1 + t + t2 + ... + tn .Замечание. Здесь и далее под гомологиями би(три)комплексов понимаютсягомологии ассоциированных с ними тотальных комплексов.

Например,MHC ∗ (A) = H∗ (T ot∗ CC(A)),где T otn CC(A) =CC ij (A).i+j=nБолее того, встречающиеся в дальнейшем би(три)комплексы рассматриваются как специальная форма записи соответсвующих тотальных комплексови, в большинстве случаев, они будут обозначаться одинаковыми символами.Заметим, что четные столбцы бикомплекса CC ∗,∗ (A) совпадают (с точностью до знака дифференциалов) с бар-резольвентой Bar+∗ (A) (см.

п.1.1.2).Как отмечалось выше Bar+(A)стягиваемасостягивающейгомотопией s.∗Опишем способ (см. также [31]) позволяющий избавиться от ацикличныхкомпонент бикомплекса CC и перейти к меньшему бикомплексу, эквивалентному исходному.Пусть CC 00∗,∗ (соответствненно CC 0∗,∗ ) бикомплекс состоящий из четных (соответствненно нечетных) столбцов бикомплекса CC ∗,∗ (A) с нулевыми горизонтальными дифференциалами (нумерация строк и столбцов начинается сединицы).

Воспользуемся предложением A.4 для комплексаb (1 − t)000(CC ∗,∗ ⊕ CC ∗,∗ ,).N−b019Получаем следующую специальную деформационную ретракциюJˆ−−−−(CC(A); S),(BC(A),b, B̂)←−−I→(7)ˆ ij (A) = A⊗j−i+1 , i, j ≥ 0,где s̃ = −sb0 s, модули BC0 0B̂ = (1 − t)s̃N,S=,J = (1, −(1 − t)s̃),0 s̃I=1−s̃N.ˆ ∗,∗ (A) содержит стягиваемый подкомплекс DC ∗,∗ (A), поЗаметим, что BCрожденный наборами (a0 , a1 , . . . , an ) содержащими единицу на i-ом месте,i 6= 1 (вырожденные наборы). Действительно, прямые вычисления показывают, что операторы b и B̂ переводят вырожденные наборы в вырожденные и,ˆ ∗,∗ (A). Обозначив BC(A)/DC(A)ˆзначит, DC ∗,∗ (A) является подкомплексом BCчерез BC(A), воспользуемся предложением A.5 применительно к комплексуˆBC(A)= DC(A) ⊕ BC(A)и фильтрации по столбцамˆˆ ij (A)}i≤n .Fn BC(A)= {BCПри этом роль d1 и d2 будут играть дифференциалы индуцированные ограничениями b на BC и DC соответственно, а α и δ — отображения, индуцированные ограничениями на BC и DC дифференциала B.

Стягивающая гомотопияh∞ для комплекса (DC, d2 ) совпадает на каждом столбце с гомотопией h,используемой для нормализации комплекса Хохшильда (см. п. 1.1.1).В результате получаем специальную деформационную ретракциюfˆ ∗,∗ (A), b, B̂; ĥ∞ ),−−−−(BC(BC ∗,∗ (A), b, B)←−−∇→(8)где f , ∇ и ĥ∞ получаются по формулам предложения A.5, а B индуцированноограничением B̂ на BC. Заметим, чтоB = (1 − t)s̃N |BC = (1 − t)(−s + s2 b0 )N BC == − sN + tsN + (1 − t)s2 b0 N = −sN.BCПолученный бикомплекс (гомотопный исходному CC ∗,∗ (A)) выглядит следу-20ющим образом:...by...by⊗4⊗3⊗3⊗2...by...by⊗2BBBA ←−− A ←−− A ←−− AbbbyyyBC ∗,∗ (A) :BBA ←−− A ←−− Abbyy,⊗2BA ←−− AbyA⊗nгде A = A ⊗ A⊗n−1.

Итак, мы доказали следующееПредложение 1.1 Циклический бикомплекс CC ∗,∗ (A) стягиваем к комплексу BC ∗,∗ (A). Таким образом циклические гомологии алгебры A определяютсяэквивалентно как гомологии бикомплекса BC(A).Заметим, что столбцы циклического бикомплекса CC ∗,∗ (A) повторяются спериодом 2, что позволяет определить оператор периодичностиS:CC n (A) → CC n−2 (A),состоящий в вычеркивании двух первых столбцов (более подробно см. п.2.1.2). Рассмотрим следующую проективную системуSSSS. .

. ←−−CC n−2 (A)←−−CC n (A)←−−CC n+2 (A)←−−...Гомологии Z/2Z-градуированного комплекса−−−− lim CC 2n−1+2∗ (A),lim CC 2n+2∗ (A)←−−→←←дифференциал в котором индуцирован дифференциалом комплекса CC, называются периодическими (циклическими) гомологиями алгебры A, и обозначаются HP (A) и HP (A).Рассмотрим некоторые другие подходы к определения циклических гомологий.1.2.2Как мы видели в (п.1.1.2) комплекс CH∗ (A) получается из аугмен+тированной бар-резольвенты Bar∗ (A) заменой дифференциала b0 на b, отличающихся на одно слагаемое bn . В данной ситуации применима лемма о21возмущении (теорема A.2): специальная деформационная ретракция имеетвид−−−−(Bar(A), b0 ; s),0←−−→где s — стягивающая гомотопия, определенная в п.

1.1.2, а возмущениемдифференциала b0 будет bn (“граничные условия” выполнены автоматически: s2 = 0). В результате получаем, что по модулю I n , то есть в данномслучае по модулю tn+1 (более точно, см. формулировку леммы о возмущениив приложении A) комплекс CH∗ (A) стягиваем, со стягивающей гомотопиейŝ = s − (−1)n+1 sbn+1 s + sbn+1 sbn+1 s − ... = s + stn + st2n + .

. . + stnn = B.1.2.3 Для некоммутативных дифференциальных форм (см. п.1.1.3) оператор B обобщает оператор s в том же смысле, что и b обобщает b0 . Действие sможно описать следующим алгоритмом: используя A-линейность тензорногопроизведения и правило Лейбница (см. п.1.1.3) переносим все коэффициентыпри дифференциалах на первое место и, затем, заносим под дифференциал, оставляя на первом месте единицу. Однако такая операция не являетсяединственной возможной.

Можно переносить коэффициенты на любое лругое место, не обязательно на первое. Рассматривая сумму всех возможныхвариантов получим циклический дифференциал B.1.2.4Заметим, что в строках комплекса CC(A)∗,∗ стоят резольвенты циклических групп; n-ой строке соответствует резольвента Zn = Z/nZ с коэффициентами в Z[Zn ]-модуле A⊗n , действие образующей на котором задаетсяоператором tn (очевидно tn+1= id).nПредположим, что основное кольцо k содержит рациональные числа. Тогда n-ая строка комплекса CC стягивается к тривиальному комплексу с модулем A⊗n+1 /(1 − t) в нулевой размерности.

Стягивающая гомотопия имеетвид (см. [34])1h0 : BC 2k−1,n → BC 2k,n ,h0 =id,n+1n1 X ih00 : BC 2k,n → BC 2k+1,n ,h00 = −it .n + 1 i=1Таким образом CC(A) оказывается стянутым к комплексу Конна C∗λ (A)bbbCH0 / Im(1 − t)←−−CH1 / Im(1 − t)←−−CH2 / Im(1 − t)←−−···.В своих работах А. Конн определял циклические гомологии исходя именноиз комплекса C∗λ (A).221.3Скрещенные симплициальные группы1.3.1Структура циклического бикомплекса CC ∗,∗ допускает следующееобобщение.Определение 1.3 Скрещенной симплициальной группой называется наборгрупп {Gn }∞n=1 рассматриваемый вместе с малой категорией ∆G, объектами которой являются наборы [n] (см. п.1.1.5); ∆G содержит ∆ как подкатегорию, и выполняются следующие условия:1. Aut∆G [n] = Gn ,2.