Бивариантные когомологии с симметриями

СодержаниеВведение21 Основные конструкции1.1 Гомологии Хохшильда . . . . . . . . . .1.2 Циклические гомологии . . . . . . . . .1.3 Скрещенные симплициальные группы1.4 Диэдральный комплекс BD∗,∗,∗ (A) . . .1.5 Кватернионный комплекс BQ∗,∗ (A) .

......151519232631.....3535394346473 Случай 1/2 ∈ k3.1 Редукция комплексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Матричная форма записи гомоморфизмов . . . . . . . . . . . .3.3 Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .484857594 Эрмитов бивариантный характер Чженя4.1 Биваринтная эрмитова K-теория . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Характер Чженя . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6161625 Вычисления5.1 Циклические гомологии Ad . . . . . . . . . . . .5.2 Периодические гомологии Ad . . . . . . . . . . .5.3 Бивариантныекогомологии Ad .√ периодические√. . . .5.4 Кольцо Z(Q[ D, −1]) . . . . .

. . .√. . √5.5 Циклические гомологии кольца Z(Q[ D, −1]).....676775778087A Приложение: Лемма о возмущенииA.1 Деформационные ретракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.2 Возмущение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .919192B Приложение: Гауссовы числа97Список литературы99.....2 Бивариантные когомологии2.1 Периодичности . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Свойства комплексов с периодичностями2.3 Бивариантные когомологии . . . . . . . .2.4 Основные определения . . . . . . . . . .2.5 Произведение . . .

. . . . . . . . . . . . .1................................................................................................................................................................ВведениеНастоящая диссертация посвящена развитию теории бивариантных когомологий с симметриями пары унитальных алгебр над коммутативным кольцом. Наибольшее внимание уделено построению теории бивариантных диэдральных когомологий и конкретным вычислениям над кольцом целых чисел.Актуальность.

Гомологическая теория алгебр, возникшая первоначально как набор вычислительных средств в алгебраической топологии, теориигрупп и алгебр Ли, выделилась к концу 50-х годов в самостоятельный и быстрорастущий раздел математики. Ее становление связано с именами С. Маклейна, С. Эйленберга, Г. Хохшильда, А. Картана и многих других.С помощью методов гомологической алгебры были получены многие важные результаты в алгебраической топологии, теории групп (применению гомологий в теории групп посвящена монография К.

С. Брауна [15]), функциональном анализе (см., например, книгу А. Я. Хелемского [13], посвященнуюэтому вопросу), алгебраической геометрии.В начале 80-х годов в структуре гомологической теории алгебр произошли существенные изменения. Во многом это было связано с понятием циклических (ко)гомологий, которые стали центральным объектом в новом разделе, возникшем на стыке гомологической алгебры, K-теории и некоммутативной геометрии. Циклические (ко)гомологии были введены А. Конномв связи с обобщением теоремы об индексе эллиптического оператора [17] и,независимо, Б.

Л. Цыганом для вычисления гомологий алгебр Ли [14]. Далеепоследовало бурное развитие “циклической” теории; было установлено, чтоциклические (ко)гомологии естественно возникают в связи с алгебраическойK-теорией Вальдхаузена, S 1 -эквивариантными гомологиями топологическихпространств, псевдоизотопиями топологических пространств, инвариантамиплоских кривых в теории особенностей и т.д.Наиболее ясно значение циклических гомологий и связанных с ними конструкций проявляется в рамках общей “философии” некоммутативной геометрии, представленной А.

Конном в работах [18], [17]. Ее основную идеюможно сформулировать следующим образом.Известно, что различные свойства пространств (топологических пространств,многообразий и т.д.) можно сформулировать эквивалентным образом на языке функций (непрерывных, гладких и т.д.) на этом пространстве. В этомсмысле объект (пространство) задается коммутативной алгеброй функцийна нем. В некоммутативной геометрии роль объекта играет алгебра (не обязательно коммутативная), уже не связанная напрямую с пространством иявляющаяся аналогом алгебры функций. При этом циклические гомологииоказываются одним из важных элементов теории.

Выражаясь неформально,можно сказать, что в некоммутативной геометрии циклические гомологиииграют ту же роль, что и гомологии де Рама в коммутативной.Бивариантные циклические когомологии были введены Дж. Джонсом и2Кр. Касселем для исследования отображений, задающих изоморфизм в циклических гомологиях (HC-эквивалентности) и для классификаций операцийв циклических гомологиях.

Их построение было отчасти мотивированно паралеллизмом с KK-теорией Каспарова.Циклические бивариантные когомологии обобщают обычные циклические (ко)гомологии на случай пары алгебр A и B и являются важным техническим средством, используемом для построения изоморфизмов в циклических гомологиях и для построения отображений из K-теории (см. [30], [20],[41], [38]).В работе Ж.-Л. Лодэ и Д. Квиллена [36] и, независимо, Б.

Цыганом [14]был построен изоморфизм циклических гомологий и примитивной части гомологий алгебры Ли gl(A)P rimH∗ (gl(A)) ∼= HC ∗−1 (A).Таким образом, имея в виду известный изоморфизмMP rimH∗ (GL(A)) ∼Kn (A) ⊗ Q,=n≥1циклические гомологии можно рассматривать как аддитивный аналог алгебраической K-теории (в работах Б. Фейгина и Б. Цыгана они так и называются “аддитивная K-теория”). Другой, сходный результат был полученT.

Гудвилли в работе [23]. Им был построен изоморфизмKn (A, I) ⊗ Q ∼= HC n−1 (A, I) ⊗ Q,где I — нильпотентный идеал алгебры A.Вычисление групп Kn алгебраической K-теории является одной из наиболее сложных задач, имеющих многочисленные приложения в алгебраическойтопологии, теории чисел и других разделах. Поэтому вычисления циклических гомологий кольца целых элементов квадратических расширений рациональных чисел√√ √AD = Z(Q[ D, −1]),Ad = Z(Q[ d]),где d ∈ Z, а D ∈ Z[i], представляет особый интерес, как простейший случайколец с нетривиальными группами K-теории.Постановка задачи.

В простейшем случае, когда основное кольцо k содержит рациональные числа, циклические гомологии k-алгебры A можноопределить как гомологии части комплекса Хохшильда (см. п. 1.1.1), инвариантной относительно циклических перестановок множителей в тензорныхстепенях A⊗n . Так вводятся циклические гомологии в работах Конна [16],[17]. При более общем подходе циклические гомологии определяются как гомологии бикомплекса CC(A) (см. ф-лу (1)) n-ая строка которого совпадает3с резольвентой циклической группы Z/nZ с коэффициентами в Z/nZ-модулеA⊗n .

Таким образом, циклические гомологии алгебры принципиально связаны с действием циклической группы, причем на каждой тензорной степениA⊗n действует своя группа Z/nZ. Такая структура допускает обобщения вследующих направлениях.Рассматривая симплициальные объекты с действием Z/nZ в n-ой размерности, мы приходим к понятию циклического объекта в произвольной категории (см. п. 1.3.1), с которым связывают его циклические гомологии. Сдругой стороны, вместо циклических, можно рассматривать некоторые другие семейства групп (см. п. 1.3).

В частности, так определяются диэдральныеобъекты, то есть симплициальные объекты с действием диэдральных группDn в n-ой размерности, кватернионные объекты, соответствующие семейству кватернионных групп Qn и рефлексивные, соответствующие семейству{Z/2Z}, действующему во всех размерностях операторами порядка 2. Аналогично циклическим, для диэдральных, кватернионных и рефлексивныхобъектов строятся соотвветственно диэдральные, кватернионные и рефлексивные гомологии.Заметим, что если алгебра A снабжена инволюцией, на тензорных степенях A⊗n можно ввести действие групп Dn , Qn и Z/2Z введя оператор “отражения”1yn (a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = (−1) 2 n(n+1) a0 ⊗ an ⊗ an−1 ⊗ · · · ⊗ a2 ⊗ a1 .Для вычисления диэдральных, кватернионных и рефлексивных гомологийалгебры A используются комплексы, аналогичные циклическому CC(A) (см.ф-лу (1)), обозначаемые CD(A), CQ(A) и CR(A).

Как и в циклическом комплексе, на n-ом уровне у них стоят резольвенты соответствующих групп (Dn ,Qn или Z/2Z) с коэффициентами в A⊗n .Следующим важным этапом развития теории стало введение Дж. Джонсом и Кр. Касселем [29] бивариантных циклических когомологий пары алгебр (обозначение HC ∗ (A, B)).

Основные их свойства были исследованы вработах [29], [30] и [31].Как следует из названия, бивариантные циклические когомологии — ковариантный функтор по первому аргументу и контравариантный по второму.Они обобщают обычные циклические (ко)гомологии в том смысле, что имеютместо изоморфизмыHC n (A, k) ∼= HC n (A)HC n (A, k) ∼= HC −−n (A),где HC − — отрицательные циклические гомологии — гомологическая теория, двойственная циклическим гомологиям, но лучше приспособленная дляотображений из K-теории (см.

[23]).Исследование бивариантных циклических когомологий было продолженов работах Й. Кунца и Д. Квиллена (см. [24]) в контексте так называемых прогомологий.4Другое направление развития теории было представлено в работах П. Гурролы [28]. Им были построены бивариантные кватернионные когомологии иисследованы их основные свойства.Настоящая работа продолжает линию намеченную в [29], [30], [31], [28]. Вней предложена общая конструкция бивариантных когомологий (с симметриями) пары комплексов (с периодичностями) (см. п. 2.3).

При этом циклические бивариантные когомологии Джонса и Касселя, кватернионные когомологии Гурролы, рефлексивные и диэдральные когомологии пары алгебрполучаются в качестве частных случаев. В работе исследованы основныесвойства различных типов когомологий с симметриями, их взаимосвязь исвязь с алгебраической K-теорией.Другая задача, решению которой посвящена вторая часть настоящей диссертации — явные вычисления различных типов (ко)гомологий алгебры целых элементов квадратических расширений рациональных чисел, а именно√√ √AD = Z(Q[ D, −1]),Ad = Z(Q[ d]),где d ∈ Z, а D ∈ Z[i]. В работе явно вычислены циклические и периодические гомологии, периодические бивариантные когомологии алгебры Ad ициклические гомологии алгебры AD .

Вычисление циклических гомологий дедекиндовых областей проводилось также в работе Ларсена и Линденштрауса[33], однако, в виду общности решаемой задачи, авторы не получают ответав явном виде. Кроме того, результаты, полученные в [33], для расширенийстепени n, не дают формул для n-кручения модуля циклических гомологий. В нашем случае n = 2, и, как видно из теорем 5.5 и 5.14, строение2-составляющей нетривиально.Обзор основных конструкций.

Следуя Лодэ и Квиллену [36] определелим циклические гомологии алгебры A над произвольным коммутативнымкольцом k, как гомологии тотального комплекса T ot CC ∗,∗ (A) ассоциированного с бикомплексом...byCC ∗,∗ (A) :...−b0y...by...−b0y⊗3 1−t⊗3 N⊗3 1−t⊗3 NA ←−− A ←−− A ←−− A ←−− · · ·b−b0b−b0yyyy⊗2 1−t⊗2 N⊗2 1−t⊗2 NA ←−− A ←−− A ←−− A ←−− · · ·b−b0b−b0yyyy1−t1−tA ←−− A ←N−− A ←−− A ←N−− · · · ,5(1)где отображения b, b0 , t и N определены следующими формулами.b(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = b0 (a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) + (−1)n an a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 ,n−1Xb0 (a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) =(−1)i a0 ⊗ · · · ⊗ ai−1 ⊗ ai ai+1 ⊗ · · · ⊗ an ,i=0t(a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an ) = (−1)n an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ · · · ⊗ an−1 ,N = 1 + t + t2 + ... + tn .Если алгебра A унитальна (т.е.