Бивариантные когомологии с симметриями, страница 12

Если среди выбранных строк содержится n0 -ая, но не содержится(n0 − 1)-ая, то возможны два варианта.1. Выбраны (n0 + 1)-ый и n0 -ой столбцы, и тогда минор Mink равен нулю.2. Выбраны либо (n0 + 1)-ый, либо n0 -ой столбец, и тогда к получающейсяпо индукции блочной матрице Mk−1 добавляется один диагональныйэлемент.Если среди выбранных строк содержится и n0 -ая и (n0 − 1)-ая, то возможныследующие варианты.1. Выбраны (n0 + 1)-ый и n0 -ой столбцы.

Тогда элемент получающийся напересечении n0 -го столбца и (n0 −1)-ой строки лежит на диагонали Mk−1и, по индукции, входит в нижнетреугольный блок (в верхнетреугольный блок он входить не может). Добавление n0 -ой строки и n0 + 1-гостолбца добавляет еще один диагональный элемент и один элемент поддиагональю матрицы Mk .2. Выбраны (n0 − 1)-ый и n0 -ой столбцы.

Тогда элемент получающийся напересечении (n0 −1)-го столбца и (n0 −1)-ой строки лежит на диагоналиMk−1 и, по индукции, входит в верхнетреугольный блок. Добавление n0 ой строки и n0 -го столбца добавляет еще один диагональный элементи один элемент над диагональю матрицы Mk .713. Выбраны n0 -oй столбец и не выбран ни (n0 −1)-ый, ни (n0 +1)-ый, тогдаминор Mink равен нулю.4. Выбраны (n0 + 1)-ый столбец и не выбран n0 -ой, тогда к получающейсяпо индукции блочной матрице добавляется один диагональный элемент.Пустьd=pYdii=1разложение числа d на простые множители. Все di входят в разложение однократно, поскольку d свободно от квадратов.Для каждого простого dj делящего d рассмотрим матрицу вида (41) вкоторой d0 = dj , а ai = 2i − 1.Предложение 5.2 Пусть dj простой делитель d. Коядро Zn+1 /Im Φn имеdет те же dj -компоненты кручения что и Zn+1 /Im Φnj .

Свободные компоненты (Z-слагаемые), Z/2Z-компоненты и компоненты кручения соответствующие простым числам не делящим d отсутствуют в коядре Φn .Доказательство. Отсутствие Z-компонент коядра следует из линейной независимости строк матрицы Φn .По теореме Смита (см. [12]), с помощью элементарных преобразованийстрок и столбцов, матрицу Φn можно привести к диагональному виду, причемненулевые элементы диагональной матрицы равныI1 ,I2 /I1 ,I3 /I2 ,...,где Ik обозначает наибольший общий делитель k-миноров матрицы Φn . Поскольку множители d входят в выражение для миноров матрицы Φn мультипликативно (предложение 5.1), при подсчете dj компонент, множитель dможно заменить всюду в выражении для Φn на dj . При этом множители,dвзаимнопростые с dj не имеют значения и мы можем перейти от Φn к Φnj .QСреди ненулевых k-миноров Φn всегда имеются dk и ki=1 ai и значиткак в случае d делящегося на 2 (тогда ai нечетны), так и при d нечетном,множитель 2 отсутствует в наибольших общих делителях миноров, а значитотсутствуют и Z/2Z-компоненты коядра Φn и компоненты соответствующиемножителям, взаимнопростым с d.

Итак, для подсчета коядра Φn достаточно привести к диагональному видуdматрицы Φnj для каждого простого dj 6= 2, делящего d.Для упрощения записи предположим временно что d простое число.72Предложение 5.3 Элементарными преобразованиями строк и столбов матрицу Φdn можно привести к диагональному видуdiag{g1 , g2 , . . . , gn },гдеgi =Vi = (dk , dk−1 ak , ..., dk−iiYVi,Vi−1ak−j+1 , ...,j=1(43)kYaj ),ai = 2i − 1.(44)j=1Доказательство. Пересечение двух первых строк и двух столбцов матрицыΦdn имеет видd a1.(45)0 dПоложим s1 = d, g1 = (s1 , a1 ).

Элементарными преобразованиями столбцов(45) преобразуется вg10,P (s1 , a1 )d (ss11,ad1 )где P (s1 , a1 ) равно, с точностью до знака, знаменателю предпоследней подходящей дроби для s1 /a1 . Положимs2 =s1 d,(s1 , a1 )g2 = (s2 , a2 ).Если s1 взаимнопросто с a1 , то в первой строке стоит единица и, вычитая извторой строки первую умноженную на P (s1 , a1 )d получаем, что лишь диагональные элементы не равны нулю и мы можем добавить еще одну строку истолбец.Продолжаем действовать таким образом до тех пор, пока не встретитсяэлемент ai1 не взаимнопростой с d, а значит и сsi1 =si1 −1 d.(si1 −1 , ai1 −1 )Положим gi1 = dw1 = (si1 , ai1 ).

Получаемgi1P (si1 , ai1 )d00si1 d(si1 ,ai1 )00ai1 +1 .dОткуда элементарными преобразованиями столбцов получаемgi100P (si1 , ai1 )dgi1 +10 .0P (si1 +1 , ai1 +1 )d si1 +273Поскольку ai являются последовательными нечетными числами, ai1 +1 взаимнопрсто с d и таким образом gi1 +1 = 1, и вычитая из третьей строки вторуюполучимgi1000gi1 +10 .(46)P (si1 , ai1 )P (si1 +1 , ai1 +1 )d20si1 +2Если (ai1 +2 , d) = 1, то поступим как и с ai1 +1 , при этом gi1 +2 и si1 +3 вычисляются по тем же формулам, а второй ненулевой элемент первого столбцаопускается еще на одну строчку вниз и становится равнымP (si1 , ai1 )P (si1 +1 , ai1 +1 )P (si1 +2 , ai1 +2 )d3 .Пусть ai2 — первое после ai1 нечетное число делящееся на d.

Если i2 −i1 ≥ w1 ,то второй ненулевой элемент первого столбца (46) будет содержать множитель dw1 , и элементарными преобразованиями строк его можно будет уничтожить. Если же i2 − i1 < w1 , то с ai2 проделаем ту же процедуру что и сai1 . Положим w2 равно степени d в (si2 , ai2 ). Если w2 < i3 − i2 , то при вычитании строк (уничтожающем ненулевой внедиагональный элемент под gi2 )ненулевой внедиагональный элемент под gi1 опустится на w2 компонент внизи теперь этот элемент будет содержать множитель di2 −i1 .

Если следующие ajбудут взаимнопросты с d, будем действовать как и ранее. Внедиагональныйэлемент под gi1 будет опускаться и степень множителя в нем увеличиватьсяпока не достигнет w1 и тогда, вычитанием строк, этот элемент можно будетуничтожить.Пусть кратность вхождения множителя d в aj1 равна k и пусть aj2 следующее после aj1 нечетное число делящееся на dk . Для того чтобы описанныйвыше процесс приводил к диагонализации матрицы, достаточно чтобы число j2 − j1 было не меньше чем сумма степеней, с которыми множитель dвходит в ai , где aj1 ≤ ai < aj2 (обозначим такую сумму через σ). В этойситуации, внедиагональный элемент возникающий из-за наличия общего делителя dw = (sj1 , aj1 ), где w < k, исчезнет до j2 -ой строки.

Если же aj1является первым нечетным числом делящимся на dk , то внедиагональныйэлемент исчезнет уже потому, что an = 1.Легко видеть, чтоσ=k−1Xk−ii(dk−i−1−d)+k−1=i=1k−1Xi=1dk − d< d k = j2 − j1 .d =d−1iФормулы (43), (44) для вычисления gi следуют из рекуррентных соотношенийsi−1 dsi =,gi = (si , ai ).(si−1 , ai−1 )74Следствие 5.4 Коядро отображения Φ задаваемого матрицами Φn изоморфно следующей группе:G = Zg1 ⊕ · · · ⊕ Zgn ,где gi вычисляется по формулам теоремы 5.3.Таким образом доказанаТеорема 5.5 Пусть d целое число, свободное от квадратов и n ∈ N. Циклические гомологии кольца Ad вычисляются по формуламHC 2n (Ad |Z) ∼= Z ⊕ Z,HC 2n+1 (Ad |Z) = Z/g1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/gn Z,при d = 4k + 1,HC 2n+1 (Ad |Z) = Z/g1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/gn Z ⊕ (Z/2Z)n ,при d = 4k + 3 или d = 4k + 2, гдеgi =kk−1Vi = (d , dak , ..., dk−iiYVi,Vi−1ak−j+1 , ...,j=1kYaj ),ai = 2i − 1.j=1Круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.5.2Периодические гомологии Adn+1Предложение 5.6 Пусть {ei }ni=1 базис в Zn , а {fi }n+1, такиеi=1 базис в Zn+1d0 n0что матрица Φn имеет вид (41), и пусть {ei }i=1 и {fi }i=1 базисы, полученные в предложении 5.3) в которых Φdn имеет диагональный вид.

Обозначимчерез K число(d − 1)K=[logd (2n + 1)] − 1(d − 2)(квадратные скобки обозначают целую часть), через e00i проекцию e0i на подпространство порожденное векторами< en−r , . . . , en >и через fi00 проекцию fi0 на подпространство порожденное векторами< fn−r , . . . , fn+1 > .Если r > K, то e00i выражаются через {ei }ni=1 и fi00 через {fi }n+1i=1 по формулам, не зависящим от n.75Доказательство.

Базисы {e0i }ni=1 и {fi0 }n+1i=1 для различных n получаются врезультате одинаковых процедур последовательной диагонализации. Несовпадение векторов e00i и fi00 для различных n может быть вызвано лишь следующим “краевым эффектом”. С увеличением номера i кратность множителяd в si (см.

выше) увеличивается, но если номер i небольшой, то кратностьd в si может оказаться меньше кратности d в ai . Оценим, начиная с какогономера r такой эффект будет невозможен. Это так, когда degd (a1 , . . . , ar ),сумма кратностей d в a1 , . . . , ar будет меньше r.Будем предполагать, что d 6= 2, ибо иначе ai не делятся на d и рассуждения тривиальны.

Исходная матрица Φdn имеет n строк и, значит, максимальная кратность множителя d в ai не превосходит L = [logd (2n + 1)], где квадратные скобки обозначают целую часть. Обозначим через l число [logd (r)].Таким образомdegd (a1 , . . . , ar ) ≤ L +lXk([k=1r−1r−1] − [ k+1 ]) =kddlXlXr−1r−1(dl − 1)=L+[ k ]≤L+= L + (r − 1)=ddk(d − 1)dlk=1k=1=L+(r − 1)(r − 1)(r − 1)(r − 1)(r − 1)−≤L+−≤L+.l(d − 1) (d − 1)d(d − 1) (d − 1)r(d − 1)Для выполнения условияdegd (a1 , . . . , ar ) ≤ rдостаточно чтобыL+(r − 1)≤ r,(d − 1)что равносильноd−1L − 1. d−2Пусть как и ранее ai = 2i−1 последовательные нечетные числа. Положимr≥gi∞ = lim (dk , ai ).k→∞(47)Теорема 5.7 Периодические гомологии алгебры Ad вычисляются по формуламHP (Ad |Z) ∼= Z ⊕ Z.Если d = 4k + 1, тоHP (Ad |Z) ∼=∞Yi=176Z/gi∞ Z.Если d = 4k + 3 или d = 4k + 2, тоHP (Ad |Z) ∼=∞YZ/gi∞ Z ⊕i=1∞YZ/2Z.j=1Доказательство.

Предложение 5.6 показывает, что проективная системаΦn+1 n+1Φn−1 n−−−Z )←−− . . .−−−Z )←−−(Zn ←. . . ←−−(Zn−1 ←задаваемая проекцией на дополнение к первому вектору базиса удовлетворяет условию Миттаг-Леффлера. Следовательно (см. предложение 5.1.9 [34])HP n (Ad ) = lim HC n+2∗ ,←откуда вытекает утверждение теоремы.5.3Бивариантные периодические когомологии AdБудем придерживаться обозначений, введенных в предыдущем пункте.Пусть A = Ad1 , B = Ad2 алгебры целых квадратических чисел, введенныев п.5.1.1, причем d1 и d2 целые числа, свободные от квадратов. Подсчитаемпериодические бивариантные (циклические) когомологии HP (Ad1 , Ad2 ) (см.п. 3.2.1).Периодические когомологии получаются как гомологии прямой пределакомплексов S-перестановочных гомоморфизмов.

МодулиMBC ∗ =BC iji+j=n, а значит и гомоморфизмы Hom(BC ∗ (A), BC ∗ (B)) раскладываются в прямую сумму, совместимую с переходом к прямому пределу. Таким образом,при подсчете периодических бивариантных когомологий нам достаточно рассматривать отображенияBC n (A) → BC m (B)сохраняющиеся при переходе к прямому пределу.Как мы видели в п. 5.1.2, дифференциал в нечетных размерностях комплекса BC ∗ равен нулю. Следовательно, бивариантные когомологии будутсоставлены из трех следующих компонент.1.