Бивариантные когомологии с симметриями, страница 14

Если же B1 ∼ A1 ∼( (2k+1), (2k+1)) и B2 ∼ A2 ∼ (k, k) или наоборот, то2222(B1 A2 − B2 A1 ) = (C1 A2 − C2 A1 )2Ci ∈ Γ. ПосколькуReCi ≡ ImCi(mod 2)то 2 делит |C|2 и |C|2 . Следовательно,(1 + i)|Ci et D(1 + i)2 |discr(Y1 , Y2 )Что и требовалось доказать., (2k+1)), при i = 1 или 2, то, как иВ-четвертых, если Bi ∼ Ai ∼ ( (2k+1)22ранее,√√1discr(A1 +B1 · D, A2 +B2 · D) = D(2B1 A2 −2B2 A1 )2 = D(C1 C2 −C3 C4 )2 (52)4где Ci ∈ Γ и ImCi , ReCi нечетны.

Несложно проверить, что(i − 1)(2k − 1, 2k)(2k − 1, 2k − 1) ∼(i − 1)(2k, 2k − 1)в зависимости от остатка деления на4 4. И каждое Ci фигурирующее в (52)можно заменить на (i − 1)Ci0 .Далее,(2k − 1, 2k)(2k − 2, 2k) ∼ (2k, 2k − 2)(2k, 2k − 1) ∼ (2k − 1, 2k)(2k − 1, 2k)(2k, 2k − 1) ∼ (2k, 2k − 1)4Действительно,(2k − 1, 2k − 1)1= − ((2n − 1) − (2k − 1), (2n − 1) + (2k − 1))i−1285Таким образом,discr(Y1 , Y2 ) =(1 − i)2[...]2где (2n, 2n − 1) − (2n, 2n − 1)[...] ∼ (2n − 1, 2n) − (2n, 2n − 1)(2n − 1, 2n) − (2n − 1, 2n)2В любом случае, ясно, что |[...]| > 1, тогда учитывая | (i−1)| = 1 получаем2искомое утверждение.Теорема 5.12 (ср.

[3]) Пусть D = d1 + id2 ∈ Γ свободно от квадратов.Тогда числа 1 и ω составляют базис Γ-модуля AD , причем ω может бытьвыбрана следующим образом:d1d2k2k + 14k + 14k4k − 14k2k + 1 4k + 21111√ωD√1/2 +√ D/2i/2 + D/2√i+1i+1+D22ω2Dω2 + D−14iω2 + D+14(1 + i)ω2 + i D−12865.5√ √Циклические гомологии кольца Z(Q[ D, −1])5.5.1 Вычисление гомологий ведется по той же схеме что и в действительном случае, и мы ограничимся краткими комментариями.Как и в п.5.1, воспользуемся нормализованным бикомплексом BC(AD )n(см.

теорему 1.1). Элементы AD ⊗ AD записываются единственным образомnz }| {в виде (a0 , ω, ..., ω).(n−1nz }| {z }| {2b(aω + b, ω, ..., ω) = (2aω + 2bω − ξ(aω + b), ω, ..., ω) , если n = 2k0, если n = 2l + 1где ξ обозначает коэффициент с которым ω входит в ω 2 .(n+1nz }| {z }| {B(aω + b, ω, ..., ω) = (a(n + 1), ω, ..., ω) , если n = 2l0, если n = 2l + 1В нечетной размерности дифференциал тотального комплекса равен нулю.5.5.2 Случай (d1 , √d2 ) ∼ (k, 2k + 1) Как и ранее d1 + id2 = D и в качествебазиса выбираем {1, D}. В четной размерности:b(aω + b, ω, ..., ω) = (2bω + 2aD, ω, ..., ω)Матрица дифференциалаT ot2n BC ∗ −−−→ T ot2n−1 BC ∗записывается следующим образом:0 20 2D 0 2n − 10202D02n−302 0... ......

...2D0302D2 00 1 0Как и в п. 5.1, вычеркнем строки и столбцы, содержащие лишь 2. В гомологиях каждое такое вычеркивание добавляет прямое слагаемое Γ/2Γ. Далее,можно заменить 2D на D поскольку предложение, аналогичное предложению 5.2 может быть доказано и для комплексного случая (доказательство87повторяет рассуждение приведенное в п. 5.1 с небольшими изменениями длякомплексного случая, см. далее), а 2k−1 очевидно не делится на 2.

Получаем:D 2n − 1D2n − 3......(53)... ...D 3D 1 0И, значит, гомологии в четных размерностях изоморфны Γ ⊕ Γ.√5.5.3 Случай (d1 , d2 ) ∼ (4k + 1, 4k).Тогда базисом является {1, 1+2 D }. Вчетных размерностях:b(aω + b, ω, ..., ω) = ((a + 2b)ω + aИ дифференциал задается матрицей :12 D−1 −1 2n − 1 2012D−1−1 2n − 32012.........0D−1− b, ω, ..., ω)2...1D−122−1031D−12которая преобразуется к виду:10 0 −D 0 −2(2n − 1)100−D0 −2(2n − 3)10......... ...100 −D882−1 1 00 −6100 −D1 0Вычеркивая столбцы и строки содержащие лишь единицу (гомологии приэтом не изменяются) заменим 2(2k −1) на (2k −1) (в рассматриваемом случае|D|2 не делится на 2 и, следовательно, (D, 2(2k + 1)) = (D, 2k + 1)).

И мыопять получаем матрицу (53).√5.5.4 Случай (d1 , d2 ) ∼ (4k − 1, 4k).Тогда базисом будет {1, i+2 D }. В четных размерностяхD+1− bi, ω, ..., ω)2и аналогичные вычисления приводят к тому же результату, что и в предыдущем случае.√i+1+5.5.5 Случай (d1 , d2 ) ∼ (2n + 1, 4n + 2).Базисом является {1, i+1D}.22В четных размерностях :b(aω + b, ω, ..., ω) = ((ai + 2b)ω + ab(aω + b, ω, ..., ω) = (a(i + 1)ω + 2bω + ai(D − 1) − b(i + 1), ω, ..., ω)Матрица дифференциала:i+12 i(D − 1) −1 − i 2n − 10i+12i(D−1)−1− i 2n − 30i+1.........02...i+12i(D − 1) −1 − i 1 0Произведя обычное преобразование и вычеркивая строки содержащие лишьi + 1 с соответствующими столбцами (что добавляет в гомологии прямоеслагаемое Γ/i + 1Γ), получаем матрицу :−(i + 1)D (i − 1)(2n − 1)−(i + 1)D(i − 1)(2n − 3)−(i + 1)D(i − 1)(2n − 5)......Теперь можно поделить строки на i + 1, добавляя в гомологии еще одно прямое5 слагаемое Γ/i + 1Γ. Действительно, единственным эффектом множителя (i + 1) является то, что каждая компонента элементов образа делится наi + 1.

Итак, мы снова получаем матрицу (53).5Γ/i + 1Γ входит в гомологии как прямое слагаемое, поскольку (2k − 1) не делится наi+1895.5.6 Утверждения, аналогичные предложению 5.3 и предложению 5.6 имеют место и для гауссовых чмсел. Элементарные свойства Γ (см. приложениеB) позволяют нам практически дословно перенести доказательства предложений 5.3 и 5.6 на случай гауссовых чисел. Соответствующие оценки сохраняются поскольку нечетное число m делится на простое γ ∈ Γ в смыслегауссовых чисел тогда и только тогда, когда m делится на простое целоечисло |γ| в смысле целых чисел.Предложение 5.13 Пусть функция Φ задается матрицей (53).

Тогда коядро Φ изоморфноΓ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γгдеgi =Vi,V i−1V i = (Dk , Dk−1 ak , ..., Dk−iiYak−j+1 , ...,j=1kYaj ).j=1Как следствие, получаем:Теорема 5.14 Пусть D = d1 + id2 гауссово число, свободное от квадратов;n ∈ N. Циклические гомологии кольца AD задаются формуламиHC2n (AD |Γ) = Γ ⊕ Γ,HC2n−1 (AD |Γ) = Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ ⊕ (Γ/2Γ)n ,при d2 = 2k + 1,HC2n−1 (AD |Γ) = Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ,при {d1 , d2 } = {4k + 1, 4l},HC2n−1 (AD |Γ) = Γ/g 1 Γ ⊕ · · · ⊕ Γ/g n Γ ⊕ (Γ/(i + 1)Γ ⊕ Γ/(i + 1)Γ)n ,при {d1 , d2 } = {2k + 1, 4l + 2}, гдеgi =kV i = (D , Dk−1ak , ..., Dk−iiYVi,V i−1ak−j+1 , ...,j=1kYaj ),ai = 2i − 1.j=1Как и ранее, круглые скобки обозначают наибольший общий делитель.Замечание: ХотяΓ2 ∼= Γi+1 ⊕ Γi+1 ∼= Z2 ⊕ Z2как Z-модули, как Γ-модули они не изоморфны.90AПриложение: Лемма о возмущенииЛемма о возмущении впервые была рассмотрена в работе Р.

Брауна [15].Широкую известность получила после работ В. К. А. М. Гугенхейма, Л. Ламбе, и Дж. Сташеффа [25], [26], [27].A.1Деформационные ретракцииОпределение A.1 Деформационной ретракцией дифференциально-градуированногомодуля (комплекса) M = (M∗ , d) к модулю L = (L∗ , dL ) (говорят также,что M стягивается к L) называется набор морфизмов комплексов f , ∇ игомотопии h комплекса Mf−−−−M ; h,L←−−∇→причем выполнены следующие условияf ◦ ∇ = idL ,d(h) = dh + hd = ∇ ◦ f − idM .Деформационная ретракция называется специальной если выполнены дополнительные условия (так называемые “граничные условия”) h∇ = 0, f h = 0,hh = 0 . Любую деформационную ретракцию можно без потери общностисчитать специальной.

Действительно, для выполнения первого условия достаточно заменить h на hd(h), для выполнения второго h достаточно заменить на d(h)h и для выполнения третьего достаточно заменить h на hdh; приэтом остальные условия на операторы остаются выполнеными.Предложение A.1 Пустьff12−−−(A, d; h1 ) и (A00 , d00 )←−−−(A0 , d0 ; h2 )(A0 , d0 )←−−→−−→g−g−12— специальные деформационные ретракции. Тогда существует специальнаядеформационная ретракцияf−−−−(A00 , d00 )←−−g →(A, d; h).Другими словами, композиция специальных деформационных ретракций —специальная деформационная ретракция.Доказательство.

Положим f = f2 f1 и g = g1 g2 , тогда f g = f2 f1 g1 g2 =idA00 ;gf = g1 g2 f2 f1 = g1 (d0 h2 + h2 d0 + 1)f1 == g1 d0 h2 f1 + g1 h2 d0 f1 + g1 f1 = dg1 h2 f1 + g1 h2 f1 d + dh1 + hd + 1 == d(g1 h2 f1 + h1 ) + (g1 h2 f1 + h1 )d.91Положим h = g1 h2 f1 + h1 , тогда gf − 1 = hd + dh, и нам остается лишьпроверка выполнения “граничных условий”:hh = (g1 h2 f1 + h1 )(g1 h2 f1 + h1 ) == h1 h1 + h1 g1 h2 f1 + g1 h2 f1 h1 + g1 h2 f1 g1 h2 f1 = g1 h2 h2 f1 = 0.Наконец, f h = f2 f1 (g1 h2 f1 + h1 ) = 0 и hg = (g1 h2 f1 + h1 )g1 g2 . A.2ВозмущениеПусть M = (M∗ , d) — дифференциально-градуированный модуль и пустьδ: M → M отображение степени −1, причем dˆ = d + δ по-прежнему дифференциал комплекса M (“возмущенный дифференциал”) т.е dˆ2 = 0. Введем следующую естественную убывающую фильтрацию.

Пусть A — алгебранекоммутативных многочленов от h, δ и d с фильтрацией по степеням δA = A 0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ . . .Идеалы в End(M ), Hom(M, L), Hom(L, M ) порожденные образом An приотображенияхA 3 κ → κ ∈ End(M ),κ → f · κ ∈ Hom(M, L),κ → κ · ∇ ∈ Hom(M, L),допуская некоторую вольность будем обозначать одним символом I n так чтоEnd(M ) = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . .и аналогично для Hom(M, L) и Hom(L, M ).Введем следующие обозначенияδ̂n = δ − δhδ + δhδhδ − .