Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов, страница 8

Одним из типичных активно используемых обучающих пшгетов является «Есопотегпс Ужлла» ~37). Этот пакет позволяет находить по заданной выборке из ст;щионарпого ряда различные выборочные характеристики (первые четыре момента, коэффициенты асимметрии и эксцесса, медиану распрсделения и т.п,), а также проверить гипотезу о том, что выборка взята из той или иной генеральной совокупности ~нормальной, лог-нормальной, пуассоповской и др,) Пакет позволяет строить регрессионные модели методом наименьших квадратов, взвешенным методом наименьших квадратов, моделями скользящего среднего и проинтегрированного скользящего среднего, тестировать различные гипотезы о характере связи между изучаемыми переменными.

В пакете предусмотрена возможность генерировать методом Монтс-Карло временные ряды с известным распределением (равномерным или нормальным). Из более мощных специализированных программ следует отметить пакет ЭВРИСГЛ (931 для исслсдования временных рядов, в котором реализовано около 100 различных алгоритмов статистического анализа. Ниже кратко описаны возможности этой программы.

Программа позволяет провести сравнение близости двух выборок с помощью критериев Унлкоксона, Клотца, Колмогорова-Смирнова, хи-квадрат, Стьюдентв, Фишера. Возможна нред-обработка данных, которая включает в себя: преобразование Бокса- Кокса„взятие сезонных и несезопных разностей„вычисление автокорреляционной функции, вычисление аддитивной и мультиплнкатнвпой сезонной компоненты, заполпсние пропусков методом скользящего среднего. Анализ тренда проводится методами простого или полиномиального скользящего среднего, а также по формулам Спенсера. Строятся доверительные интервалы для некоторых нелинейных моделей.

Возможно моделирование ряда с заданным законом распределения, а также тестирование выборок на соответствие заданному закону распределения по критериям хиквадрат Пирсона и Колмогорова-Смирнова. Прогнозирование временных рядов строится в программе па основе моделей Брауна, Хольта-Уиитерса, подбором тренда„авторсгрессисй-скользящего среднего, по сезонным и несезонным АНСИ моделям и др.

Спектральный анализ, проводимый системой ЭВРИСТА, включает в себя построение сг>аженных оценок автокоррсляционной функции и псриодограммы временных рядов по частотной илн временной !пкале, фильтрацию данных перекурсивным, рекурсивным»щгснспым или рекурсивным синусным фильтрами, Подводя итог, можно сделать вывод о том, что существующис программные пакеты отличаются один от другого, главным образом, количеством используемых в них классических критериев.

Нестандартные критерии, такие как предлагаемый в работе интегральный критерий близости двух выборочных функций распределения, пе применя>отся. Зависимость точности прогноза От объема выборки и !'Оризопта прогнозирования пе входит в перечень генерируемых результатов. В заключение этого параграфа следует подчеркнуг>ч что стационарные ряды возника>от, как правило, в задачах естесгвепно-физического содержания, когда результаты серии экснеримснтов распределены вокруг некоторого среднего значения, представ>!яющего объективно существующее свойство физического объекта. Иестациопарные же ряды сопутству1от обработке результатов случайных экспериментов в субъективной сфере человеческих отношений — в экономике, социологии, психологии, лингвистике.

Из-за необходимости проводить их анализ исследователь вынужден использовать те методы, которые есть, т.е. методы анализа стационарных рядов. Если ряд в некотором смысле «слабо нестационарен», то такой подход может быть успешен. В общем случае произвольного нестацнонарного ряда анализ, строго говоря, невозможен, поскольку нельзя выделить группу членов с некоторым сходным поведением. Однако можно придать понятиям «близость» н «сходное поведение» точный количественный смысл, позволяющий вьщелить из временного ряда те выборки, на которых ряд стационарен в смь1слс некоторого подходящего критерия. Постановке задачи обоснования и формулировки такого критерия посвящен следующий параграф диссертации.

1,4. Постановка задачи о согласовании объема выборки с горизонтом и точностью прогноза Из обзора существу|ощих методов статистического анализа временных рядов, представленного в параграфах 1.1 и 1.2, следует, что относительно слабо проработанной является проблема определения оптимального объема выборки для построения выборочной функции распределения (далее ВФР) в текущий момент времени с целью ее последу1ощего прогнозирования. Рассуждения большинства авторов относительно свойств нестационарных ВФР опираются на выборку некоторого объема, достаточного для целей данного конкретного анализа или прогнозирования. Однако каков именно этот объем, оставляется на усмотрение и практический опыт исследователя. Это связано с тем„что утверждение о нестационарном характере временного ряда является негативным, т.е.

не несущим конструктивной информации о ВФР, а„напротив, свидетельствующим об отсутствии у нее некоторых «удобных» для анализа свойств. Поэтому в настоящее врсмя общая теория анализа пестационарных временных рядов отсутствует. Существует больнюе количество методов, применяемых к конкретным классам рядов. Эти ряды обладают, как правило, гипотетически, навязываемыми им априорными свойствами 1361 1эргодичностн, дифферепцируемости — для непрерывных процессов, стохастической непрерывности и тлъ) или принадлежат тому или иному функциональному классу (пуассоновский процесс, винеровский процесс, марковский процесс, процесс чистого роста, ветвящийся и др.) В настояьцей работе предлагается метод оптимизации объема выборки нсстациопарного временного ряда, основанный на одном равномерном по времени интегральном критерии.

В силу указанной равномерности этот метод может быть 33 эффективно применен к достаточно широкому классу «слабо меняющихся» иестационарных рядов. Понятие слабого изменения или, в авторской терминологии, квазистационарности ряда па некотором промежутке времени, будет введено и обосновано в следующих главах диссертации. В данном параграфе формулируется основная цель проводимого исследования. Горизонт прогноза нсстациоиарного ряда ограничен в силу самой пестационарности, поскольку статистические свойства ряда, полученные нз анализа конкретной конечной выборки, пе сохрашвотся при переходе к другой выборке даже (и особенно) в асимнтотическом смысле.

Желая иметь прогноз, точность которого фиксирована практическими нуждами, исследователь вынужден определить необходимый для этого объем выборки, учитывая, что, в отличие от стационарного случая, увеличение обьема не обязательно приведет к повьшгению точности в оценках характеристик ряда. Таким образом, задача определения оптимального объема выборки, на основе которой можно сделать прогноз с заданной точностью в интервале времеви до указанного горизонта, является актуальной, Аналогично можно поставить задачу об определении допустимого горизонта прогноза, основанного на выборке фиксированного объема, а такжс задачу об определении точности прогноза на заданный промежуток времени по выборкс заданного объема.

Для разработки метода„позволяющего решать эти задачи, требуется критерий, связывающий между собой точность прогноза, горизонт прогноза и объем выборки. Чтобы конкретизировать идею о формулировке такого критерия, рассмотрим операцию усреднения по некоторому промезкутку времени. Пусть х(г) есть значение случайной величины х в момент времени 1.

Тогда текущие оценки статистических харакгеристик процесса х(~) (непрерывного или дискретного) используют усреднение определенных операторов ч'~х(г)~ по некоторому промежутку л = (го, го + т1: В случае временного ряда вод интегралом подразумевается конечная сумма. Из анализа, проведенного в параграфе 1.1, следует, что в качестве оператора Ч' могут выступать степенные функции (зто требуется для нахождения выборочных моментов данного ряда на указанном промежутке), операгоры разностного дифференцирования, ядра интегральных преобразований типа разложения в ряд Фурье и др. Эти же характеристики могут быть получены посредством операций с плотностью выборочной функции распределения Ях,г): можно определить моменты этого распределения„характеристическую функцию и т,д.

Применение преобразований вида (4.1) для вычисления текущих оценок статистических характеристик нестационарного процесса х(г) приводит к появлению принципиально неустранимых погрешностеи: погрепп|ости, возникающей за счет конечности времени усреднения, т.с. вследствие недостаточной репрезентативности объема выборки, а также погрешности, возникающей за счет изменения статистики на интервале усреднения. Будем называть погрешность оценки статистики (4,1) за счет конечности промежутка Л погрешностью первого типа и обозначать Х|, а погрешность за счет нестационарности статистики — погрешностью второго типа и обозначать Х2. Задача состоит в минимизации функционала полной ошибки Х в оценке статистики (4,1), Таким функционалом может быль, например, Х = Х~ + Х2, или Х = Х~ + Хз и т,п, Выбор наиболес адекватного функционала полной ошибки -г определяется условиями конкретной задачи и в дисссртации не исследуется, Предполагается только, что процессы„приводящие к ошибкам первого и второго типов, независимы, а в качестве функционала полной ошибки используется (4,2) Задача оптимизации объема Т выборки в (4,1) и терминах функционала ошибки (4.2) состоит в определении такого объема Т,, при котором Х(Т,) = ш1п, и построении соответствующего численного алгоритма нахождения Т„, для заданного пестационарпого временного ряда.

Оптимизационная зцлача возникает в силу того, что ошибки Х1(Т) и Х2(Т) как функции объема выборки имеют различное поведение, Имешю, чтобы уменьшить ошибку вследствие неполной статистической репрезсеГГативности, следует увеличивать ооъем Т, а для уменьшения Влияния нестационарности на статистические характеристики временного ряда следует уменьшать объем выборки, Отметим, что похожая задача оптимизации применительно к нестационарным временным рядам изучалась в работс 1451, где ставился вопрос о мелкости и способе дискретизации нспрерывного случайного процесса для получения оценок его статистических характеристик на основе измерсний, проводимых в некоторые моменты времени, Результаты, полученные в (451, относились к случаю, когда известна функциональная зависимость плотности распределения, параметры которого могут зависеть от времени, В предположении дважды непрерывной дифференцируемости плотности распределения (пуассоновский процесс, гауссовский процесс) были получены оцснки на оптимальную мелкость равномерного разбиения промежутка изменения случайной величины.