Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов, страница 6

В работе г54) предложен такой способ формирования бутстрепа: к исходным данным добавляю гся малые независимые одинаково распредсленныс погрешности, после чего вновь организуется случайная выборка. Тем самым организуется больпюй набор различных выборок, что может облегчить поиск распределения соответствующей генеральной совокупносги. Из проведенного рассмотрения следует, что ни одно из перечисленных основных направлений статиспиеского анализа временных рядов нс является универсальным; конкретный случайный процесс лучше всего моделируется методом одного из направлений.

Нет утверждения о том, гго некоторый метод при своем практическом применении дает наименьшую ошибку прогнозирования для любых временных рядов. Напротив, каждый из методов имеет определенные ограничения, препятствуюв1ис их эффективному применению к задачам прогнозирования. Проблемы, возникающие при анализе встречающихся на практике временных рядов, очерчены в следующем параграфе. Здесь нс были упомянуты методы, развитые в теории случайных процессов определенных классов: марковских процессов, эргодичсских процессов, процессов с независимыми приращениями, ветвящихся процессов и некоторых других.

Эти методы предполагают определенную функциональную принадлежность временного ряда, для чего на практике обычно нс бывает достагочных оснований, поскольку физическая природа изучаемых рядов, как правило, не известив. В данной работе таких априорных предположений о типе случайного процесса не делается. 1.2. Проблемы анализа нестационарных временных рядов Методы, описанные в параграфе 1.1, корректно применимы в основном к стационарным рядам.

Если ряд нсстационарный, то теоремы об эффективности, состоятельности и асимптотической нормальности выборочных оценок и их диспсрсий в общем случае не выполняются, Тем не менее, псречисленныс методы применяются ко всем рядам, статисгичсский анализ которых необходимо проводить для оптимизации той илн иной практической деятельности. Новыми проблемами, возникающими при таком не вполне обоснованном применении, являются: задача минимизации ошибки прогнозирования для выбранного метода статистического анализа и задача выбора наиболее адекватной модели временного ряда.

Последняя задача существует н при исследовании стпциопарных рядов, ио в этом случае выбор модели может быль проведен по известным алгоритмам спецификации моделей 1371„позволяющим отобрать оптимальное число параметров в рамках дисперсионного и корреляционного анализов, При определении ошибки прогноза иеспщионарного временного ряда надо учесть два фактора: конечность выборки и различие распределений для разных выборок вследствие нестационарности процесса.

1'азные методы имеют неодинаковую чувствительность точности аппроксимации данных к действию указанных факторов. Кроме того, горизонт прогноза нестационариого ряда ограничен, если при этом требуется сохранить заданную точность модели. В этой связи естественным является вопрос об оптимальном объеме выборки, на основе которой можно сделать прогноз с заданной точностью в интервале времени до указанного горизонта.

Можно поставить и обратную задачу об определении допустимого горизонта прогноза, основанного на выборке фиксированного объема, а также задачу об определении точности прогноза иа заданный промежуток времени по выборке заданного объема. Таким образом, модели и методы прогнозирования стационарных рядов, такие, как регрессионные и корреляционные, нуждаются в адаптации прн использовании их в нестацнонарном случае, поскольку тогда ошибка прогноза, получаемая этими методами, может не убывать с увеличением статистической базы.

Рассмотрим в этой связи ограничения, присущие методам анализа и моделирования временных рядов, перечисленным и параграфе 1 1. В моделях регрессионного анализа вида (1.5) средние неличины (математическое ожидание, дисперсия„ковариация) постоянны. Уточнение этой модели в случае зависимости указанных величин от времени, т.е. от текущего значения г, может быть сделано посредством аналитического моделирования такой зависимости, либо переходом к первым, вторым и т.д. разностям в нестационарных временных рядах, выражающих занисимость средних величин от времени, либо тем же регрессионным анализом — но уже изучаемых величин на время.

Окно усреднения становится при этом скользящим, как в формуле (1.9). Однако остается невыясненным, какой ширины должно быть это окно. Тс жс проблемы возникают и цри использовании АМ (1.7) или их обобщений. 1!ри этом возникают дополпительныс трудности с анализом корреллограмм; например, необходимо отличать эффекты назначенной периодичности, связанной с суточным, недельным или иным циклом, и внутренне обусловленной зависимости между членами ряда, Увеличение промежутка усреднения н этом случае нс приводит к успеху„поскольку зависимость, наблюдав|панса н одной выборке, может нсчезнугь н другой того же объема, но отнесенной к иному моменту времени. Усреднение корреллограммы по некоторому промежутку времени н переход к средней корреллограмме за период наблюдений увеличивает неточность прогноза па короткий промежуток времени, а на большом интервале такую задачу ставить вообще нс очень осмысленно, Как и в случае с регрессионными моделями, наилучший период усреднения не известен.

Адаптинные модели типа (1.12), использующие весовые коэффициенты в обобщениях АМ, требуют весьма тонкой настройки сглажинающих функций в нсстациопарном случае, поскольку даже для стационарных процессов оптимальный выбор этих функций является отдельной достаточно сложной задачей. Например, в работе 16В1 изучаются адаптивные методы учета нестационарности спектрально-корреляционных свойств геолого-геофизических данных в скользящих окнах. Хотя основная задача, решаемая в этих работах, лежит в области геофизики и связана с усовершенствованием компыотсрпого кода для оценки параметров различных геофизических аномалий, ес решение существенно опирасгся на статистический анализ исходных данных.

В указанных работах от этих данных требуется их принадлежность классу непрерывных функций и возможность применить линейные фильтры для статистического анализа. Затем н 1681 предлагается алгоритм, позволяющий менять размер окна с целью фильтрации нсстацнонарпых компонент геополсй, оснонанпый иа локальном переборе. Тем самым точность анализа геофизических данных была существенно повышена по сравнению с обычными корреляционными методами.

Однако следует уточнить, что данный метод применялся для аппроксимации данных, а нс для их прогноза, поэтому метод перебора для выборок ограниченного объема, естественно, может быть достаточно эффективным, При этом в стороне остаются вопросы количественной оценки точности аппроксимации, которая меняется с течением времени, т.к, длина оптимальной выборки является локально переменной величиной с неизвестной статистикой.

Что касается гармонического анализа временных рядов, то он вообще имеет ценность только для стационарных в широком смысле процессов второго порядка, когда коррегпщионная функция зависит от разности моментов времен, Для пестациопарных рядов большое число учитываемых членов ряда приводит к достаточно высокой погрешности в оценкс статистических характеристик процесса в ближайшем будущем, Метод сингулярного спектрального анализа представляется в этом контексте наиболее устойчивым к временному тренду, поскольку сго задачей и является выделение соответствугощих главных компонент ряда Изменение с течением времени размерности пространства базисных векторов матрицы задержек„ описанной в параграфе 1,1, представляется маловероятным собьгтиеьг: размерность является своеобразным индикатором данного процесса, обусловленного определенными физическими явлениями, и ее изменение будет свидетельствовать о том, что процесс изменился по своему качеству, Тем пе менее, вопрос о размерности самой матрицы и количественной зависимости от этой размерности числа базисных векторов остается в этом методе открытым.

Например, в работах ~29, 30~ говорится, что «на первом этапе анализа, исходя из внутренних свойств системы, ггодбираегся длина выборки и составляется матрица развсргки», после чего применяется сингулярное разложение получающейся матрицы и производя гся дальнейшие операции. Затем замечается, что «качество выделяемых композиций разлохгеггия определяется вариативиым параметром — длиной вьгборкн», и предлагается использовать качественный «графический критерий близости вьщсляемых компонент идеальному гармоническому сигналу» для опредсления подходящей длины выборки. В указанных работах не дается количественной меры такой близости, а также не рассматривается вопрос о случайном совпадении результата применения графического критерия с желаемым результатом.

Тем самым выбор длины скоггьзящего окна исследователь должен делать, опираясь главным образом на свою интуицию. Бутстреп и искусственные нейронные сети пе имеют четкой схемы обобщения на нестационарные процессы. Размножать некоторую выборку имеет смысл, если только опа принадлсжит генеральной совокупности, в противном случае такой метод нс дает информации о будущей выборке.

Размножение выборок предполагает неизменность функции распределения„в противном случае рагмноженггые выборки, полученные с помощью выборочной функции распределения на каком-либо начальном отрезке, будут сильно отличаться от выборок, полученных на основе оригинальной функции распределения, меняющейся во времени, и зго различие будет тем болыпе, чем сильнее меняется функция распределения ряда. Нейронные сети имеют ограниченную область применимости, их обучение довольно трудоемко, а с учетом нестационарности ряда может быль сложным вдвойне, Таким образом, задача об определении оптимального объема выборки является весьма важной для прогнозирования, и, как показывает анализ имеющейся лнтерагуры, не нме1ощей в настоящее время даже четкой постановки.

Поскольку же прогноз нестацнонарных рядов требует использования численных методов, то необходимо выяснить, позволяют ли широко используемые пакеты программ по статистическому анализу данных провести требуемые вычисления по оптимизации объема выборки, или для это~~ необходимо разработать самостоятельный код. 1,3. Компьютерные программы для статистического анализа рядов Согласно материалам обзоров ~2, 12, 53, 94) по программному обеспечению для проведения статистического анализа данных на компьютере, существуег более тысячи программ — статистических пакетов, выполняющих такие расчеты, Эти программы различаются, помимо удобства интерфейса, формата данных, более нли менее подробного руководства и других непринципиальных для целей данной работы аспектов, полнотой доступных для пользователя методов анализа данных.