Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет УДК 519.242.33 На правах рукописи М00.8 ~5ИУ- Осминин Константин Павлович АЛГОРИТМЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Специальность 05ЛЗЛ8 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Научный руководитель; доктор физико-математических наук доцент Ю.Н.

Орлов Предисловие Глава 1, Обзор методов статистического анализа временных рядов„„„...,., 1.! . Основные методы анализа и прогнозирования временных рядов.„.. 1.2. Проблемы анализа нестациоиарных временных рядов .. 1.3. Компьютерные программы для статистического анализа рядов ...,....,......,......,... !.4. Постановка задачи о согласовании объема выборки с горизонтом и точностью прогноза .. Глава П.

Статистический анализ некоторых нестационарных временных рядов...„...,...З9 2.1. Статистика цен на электроэнергию на ОРЭМ .. 2.2, Статистика цен на рынке ценных бумаг . 2.3. Статистика в моделях динамического хаоса. 2.4. Зависимость выборочной дисперсии от объема выборки ...,. 25. Примеры распределения оптимального объема выборки,.... Глава П1. Теоретические основы математического моделирования нестациопарных рядов с помощью квазисгациопарных ВФР, 3,1, Основные понятия и определения 3.2. Нахождение оптимального объема выборки ..

3.3. Функция распределения стационарного горизонтного ряда..„„„.....,....„„,.„..... 3.4. Квазнстационарность распределения оптимального объема выборки ....„„...... Глава 1Ч. Прогнозирование квазистационарных временных рядов ..„....,....„....,.........,....98 4,1, Алгоритм построения распределения оптимальной выборки ..........„...„.....,.....,....98 4.2. Алгоритм прогноза ВФР па основе уравнения Лиувилля,.......,......„......„...,....,....102 4.3. Алгоритм прогноза ВФР на основе уравнения Фоккера-Планка ..............„...„.....109 4.4.

Методика построения прогноза с заданными горизонтом и точностью.„....,...,...114 4.5. Примеры прогнозирования нестационарных временных рядов и сравнительный анализ точности различных методов,. ..119 Заключение Приложение.. Список литературы. ПРЕДИСЛОВИЕ Диссертация «Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядою> состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы нз 9б наименований, расположенных в алфавитном порядке.

Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа имеют двойнук> нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы, Рисунки имеют сквозну>о нумераци>о. Начало и окончание формулировок определений, предложений и теорем, доказанных в диссертации, отмечак>тся соответственно знаками Ч> и й.

Во введении дается краткий обзор основных направлений исследований в области статистического анализа нестационарных временных рядов и формулируются проблемы, возникающие при разработке моделей прогнозирования соответствующих функций распределения, рсщению которых и посвящена настоящая диссертация. В первой главе представлен обзор основных методов аналитического и численного анализа н прогнозирования временных рядов. Рассмотрены подходы, развитые в теории стационарных и нестационарных временных рядов, с которыми в дальнейшем будут сравииватъся результаты прогнозной' модели, построенной в днсссртации, Ставится задача о построении статистик, описывающих изменчивость ряда.

Такими статистиками, о которых речь будет идти ниже, являются; ряд оптимальных объемов выборки для целей пропюзирования выборочной функции распределения на заданном интервале времени с заданной точностью, а также ряд максимальных горизонтов прогнозирования, использующих данный объем выборки, Во второй главе приведены примеры часто встречаю>пихся нсстационарпых временных рядов, прогнозирование которых требуется для конкретных практических нужд. Это ценовые ряды па оптовом рынке электроэнергии 1чОКЕМ, ряды на рынке ценных бумаг, а также ряды, возника>о>цие в различных динамических моделях (динамический хаос).

В качестве примеров биржевых рядов рассмотрены ряды цен на акции компаний «Майкрософт», «Дженерал Моторз» и «Дясенерал Электрик». Поведение этих временных рядов сравнивается с рядами, генерируемыми некоторымн классическими динамическими системами: логистической, системой Эно и системой Лоренца. Проводится статистический анализ этих рядов н вьщеляются некоторые общие черты поведения выборочных статистик. На основе проведенного анализа формулируется модель прогнозирования квазистациопарных временных рядов, использующая статистику оптимального ~бьерна выборки, согласованного с горизонтом прогноз~ и точностью прогноза. Для конкретных временных рядов строятся примеры упрощенной стагистики— минимальных объемов выборки для прогнозирования выборочной функции распределения с точностью не ниже заданной. В третьей главе выводятся основные свойства статистики оптимального объема выборки: строится функционал соответствующего критерия, находятся явные формулы для стационарного случая и дается их обобщение на нестационарпые процессы.

Эти результаты представляют теоретическое обоснование прогнозной модели, построение которой является одним из центральных результатов диссертации. В четвертой главе на основе доказанных свойств статистики оптимального объема выборки формулируется методика прогнозирования выборочной функции распределения иестационарпого временного ряда и описывается се численная реализация, Результаты прогнозирования конкретных временных рядов методом кинетических уравнений Лиувилля и Фоккера-Планка для выборочной функции распределения с оптимальной прогнозной выборкой сравниваются с результатами, получаемыми адаптивным методом скользящих средних, Показано на ряде примеров. что использование оптимального объема выборки повышает точность прогноза пестационарных временных рядов.

В заключении подьпоживаются основныс результаты диссертации и обсуждаются возможныс области их применения, указываются ограничения построенной прогнозной модели и возможности ее совершенствования. В приложении представлены блок-схемы разработанных численных алгоритмов прогнозирования несгационарных выборочных функций распределения, написанных па языке Увы, Основные результаты диссертации состоят в следующем. 1. На основе равномерных оценок нормы в пространстве суммируемых функций построена «горнзоитная» статистика минимальных объемов выборки для прогнозирования ВФР, согласованная с горизонтом и точностью прогноза.

Показано, что для широкого класса нсстационарпых рядов существует интервал времени, называемый горизонтом прогноза, на котором ВФР являегся квазистационарной. Для стационарных временных рядов получена аналитическая формула для функции распределения кгоризонъзюго» ряда в практически важных случаях. 2, На основе кинетических уравнений Лиувилля и Фоккера-Планка построена математическая модель прогнозирования ВФР иестационарных временных рядов, таких, как почасовые цены на российском оптовом рынке злектрознергии и мощности, биржевые котировки акций компаний бепега1 Могогз, Оепега1 Е1ес1г1с, М1сгозой, РоЫ и др, 3. Создан и прстестирован (иа примерах динамических систем с хаосом) численный алгоритм, реализующий математическую модель и осуществляющий прогноз выборочной функции распределения с ошибкой, не превышающей заданную величину, на заданный горизонт.

Этот алгоритм включает в себя: генерацию «горизоитной» статистики по данному временному ряду, определение максимального объема выборки для прогнозирования с заданной точностъю, сопосгавление временному ряду некоторой квазидинамической системы, решение кинетического уравнения, прогнозирование ВФР, По найденной прогнозной ВФР построен нропгоз значений временного ряда. Введение Разработка математичсских моделей, устанавливающих статистические зависимости между величинами, изменение во времени которых обусловлено факторами, скрытыми от наблюдателя, и, возможно, случайными по самой своей природе, создает научно обоснованную базу для изучения сложных явлений окружающего мира. Во многих случаях эти явления предстают перед нсслсдователем в форме временного ряда, т,е.

в виде некоторой последовательности результатов наблюдений, сделанных в упорядочснныс моменты времени. Статистические методы позволяют получить количественные оценки зависимостей мезкду величинами, по видимости не находящимися в прямой фуикционалыюй зависимости, Поскольку результаты таких оценок часто являются основой для принятия управленческих решений, то корректная обоснованность методов анализа случайных величин имеет большое практическое зна |ение. В эконометрических и экономико-математических моделях, применяемых при изучении и оптимизации процессов маркетинга и меиедхсисита, управления предприятием и регионом, точности и стабильности технологических процессов, в задачах надежности, обеспечения технологической и экологической безопасности, функционирования технических устройств и объектов, разработки организационных схем часто применяют понятия и результаты теории вероятностей и математической стагистики.