Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов, страница 12

В этих терминах из (4,6) получаем, что > 2 11(рзЩ) = О, а Формально функция В(,и2 (и)) имеет две точки локального экстремума, опредсляемые при у > -2 равенствами 2(~+р~~Д +ц)~ +3 у+2 При у = -2 экстремум, являющийся точкой максимума дисперсии, единственный: и = 3/2. Поскольку объем выборки — натуральное число, то в этом множестве максимум достигается при и =-2 и равен я~~/4. Следовательно, вариация выборочной дисперсии равна в этом случае 0,5, При у > -2 и условии п >1 возможен только один экстремум — максимум, достигаемый в одной из целочисленных точек (п+) или (и')+1, где значение и+ определено в (4,9). Таким образом, эвристические соображения относительно поведения выборочной дисперсии временного ряда следующие: если ряд стационарный, то следует ожидать уменьшения колебаний выборочной дисперсии и ее стабилизацию около соответствующего математического ожидания, Бслн же временной ряд нестационарный, но ограниченный, то амплитуда случайных колебаний выборочной дисперсии с ростом объема выборки уменьшается, но не обязательно монотонно.

В этом случае у дисперсии могут существовагь локальиыс минимумы. Однако статистика локальных минимумов выборочных дисперсий нс вполне подходит для определения того объема выборки„при котором эффекты ошибки в оценке статистических характеристик ряда минимальны. Может оказаться, что из-за дисперсии ,б„й,,«н б«!»м ! ! Уф!л!» «! кр н м« ° ар «ур«ю рпй вб н у и «рпв «юпю р й ! й е фф а й рй б!ю«юмр«.ю«вн««рвбр ли !в У фу й а в ° в»вар пю! Ннвюкв«юр вк ююммю,ю п»юм»»юрнменвму«в !пу бу«м у, «в лу«! б ., »! «и «р у ! л « в ра й б;р Уа юм « . й бр а р««, «Ррв у Раа Нрй рру* р» мн «ур ав «р» р е; рю Р нвпрп Р раф«22. е ни алу в« р фин«юем в р»«в, ек «ауппнан люв нм» манив«и,р у н м р р Ф 21 нн н ю Р - !л иу»мвю и Рафа! вн ! 'п«» 'юи рл лр «.

нна Нноу р»н к рве б в мери, Н р вр к ар»«люю ю 'рюик» меме« в майа а лн й; вювмм ве» имев!в»ю, юй на нилам« ван«е ю эмб«рам «вй! Ре мв в! Ре «ее. Вмвлййймф«йй м«й ейю «м «йнйюйирюй Н! мее»рй йиувм вйпййййй«йй«н ви Чвйур е вфнаненн м юйп «влепим« б,! н.й не мв ею абю мнй Ри«. Ра оп впммв! '!Фавн«!меана»юм "виве»ввювм»рейв ю Фу«юн бв ай»б ркй мва !«»2 Д ! б( Л в. жк °: рм б «бпр «(Рк 151 1,« а сл Рж.15,Д«ющкжж(ир пиал«сирс пюнкн,юсп ба еюбак Пквипк, вам«ми и» жнюкпжмб «ражи, аюбмюнии лвж(жю ввквю лаан рс н кс ж убмна«с рккм юбкам, «бмсвю мюиюжмнюю р к юкн люпкмв куюппвмн м(жнвмн в нж, м у н» юю сффск, мююпннн с мжжэФщнскс«к щжс«ж фа«луну минам, ссн миур«самс жрн» ж уср лимана ю пресса« п ю с жж лнм рснб, щкжанв мс ннж см раа 14, кж сюм крин! ьюс клакюю а вав ан «рюрнвва рж. !4 и сар ж у р лнюнкмыс пепввсксмлужвк» рвиа йую Ов) и жбщ наа «н парки ж мб рк сбмсм н, с р.

к мами ж~ рм( кю лф). укж щ кл «рвв ююбкр ам««лижу аю м(н) ж Мюм«мук ар:жн укс О(а! -ф ()(1. (4.10) тю, ВЪер»к б р и к:юж «миф б мк е (4.(б) бк паи «и сс(авиа«ам к (юпна14мюппнаампсмсюввюмспа м ою ф о,ю оло о»в ав эю 600 »ОО !000 н нмб юм (б юус, юу н юю ююю» юмй»об»Ума» э»В»мумм юбоуо'ю б эйюсраю, юввейо аюйм»ю нойс (4, Р Ое умйюс»ю «аа Он ю ю» чсяа, «нб аман» нлнн а аю н найм»в.

Д »нес ю н а эс юай ю снэ»нн Вй юю:» эн нню»О, а сюВВЮ нс ван»рсню не»пей»с»с(нс»О ОВ»й нпс рева» ноююобн нмм.йснлу оа."е нн бюм»бвюнюаю»ве ам»»майю ярэсю ° н я раму Вр.:м нн, аюаюйн»н»уарюнаю уун ю нмннэюм» юняю Т я»а аю (б» йус» Ввм» «мэю В нм и, уса|я'юаю аюм мб рй ю н юфнсняваасс абвювннленнрае,энб» снбюн нна прон:нйа В н м»» н»а«а вя юнб »юная юн»рюййюууюю ((~ ан ( В нй юэфйФ ую.

»4.(6 с ю»яйннййма суй(юй» н»:» ммю~ рюяэ, бр на»м рс»у»рана мн м» алвес н ямб»(юч»см;рспвпсюрэ 'аю В м (ЗО(»ю "» Л,Р ю(ЗОВ» вю УУ ане мюаР н юн ннм с(3( ) Рлаээан ю. В Яа, Пнб. На представленных графиках Рис. 17-13 обращает на себя внимание наличие локального минимума на усредненных по времени кривых среднеквадратичных отклонений, Если для нестациопарных рядов (Рис.

14, 1б) минимумы выборочной дисперсии при усреднении зачастую исчезали, то для рассматриваемых стационарных рядов онн остались, причем значение минимума может быть меньше теоретического асимптотического значения. Этот эффект должен быть учтен прн определении оптимального объема выборки для составления прогноза. Чтобы более точно пропюзировап поведение нестационарного ряда, в настоящей работе предлагается использовать критерий близосги двух выборочных функций распределения, разделенных некоторым интервалом времени.

Как следует из (1.4.7), ошибка пропюза на этом интсрвалс времени не превзойдет квадратного корня из суммы квадратов: выборочной дисперсии и интегральной близости распределений. Таким образом, в зависимости от величины горизонта прогноза следует изучить свойства статистики минимальных объемов выборки, таких, что при всех превосходящих объемах различие между двумя указанными выборочными распределениями будет меньше заданной величины. Распределение этой статистики для некоторых несгапионарных временных рядов строится в следующем параграфе 2.5.

2.5. Примеры распределения оптимального объема выборки Из анализа характерных нестационарных распределений„рассмотренных во второй главе, следует, что для признания с оговоренной точностью принадлежности некоторой ВФР той жс генеральной совокупности, что и другая ВФР, например, того же объема, требуется ввести соответствующий критерий близости двух ВФР. Критерий Колмогорова- Смирнова 1" 17~ где Г~(х) и Гу(х) — две интегральные ВФР, построенные по выборкам одинакового объема, не вполне удобен для этой цели по ряду причин.

Этот критерий аснмптотический, он относится к стационарным рядам и записан в терминах интегральной ВФР. На практике приходится работать с конечным объемом нестанионарных даннь1х, причем для целей прогноза интересен вид дифференциального, а не интегрального распределения. Кроме того, различие интегральных ВФР может иметь супремум совершенно в другой точке, чем максимальное различие их производных: максимум различия дифференциальных ВФР может достигаться, например, в точке пересечения графиков интегральных ВФР, т.е.

в точке пулевого различия последних. Это означает, что два выборочных дифференциальных распределения могут быль сильно не схожи при олизости интегральных ВФР. Кроме того, ВФР в (5.1) не обязаны содержать общих элементов, зто просто две произвольных реализации временного ряда из Т элементов. Если же мы рассматриваем задачу прогнозирования, например, по скользящему методу, то выборки пе ' произвольны, а определенным образом упорядочсны. В силу перечисленных причин в диссертации предлагается использовать другой критерий, определяющий степень близости двух дифференциальных ВФР.

Именно, зададим некоторое число к > О, которое будет характеризовать допустимое расхождение между двумя дифференциальными ВФР, и рассмотрим интеграл (сумму в дискретном случае) ~«т(х,«+ г) -~Т(х,«)«х. Здесь «Т(х,«) — дифференциальная ВФР, построенная по выборке объема Т в момент времени «, т.е. па основе данных нз окна 1« — Т+1; «1, г есть всличина сдвига по времени между выборками. Поскольку на практике область изменения данных конечна, то интегрирование моя(ет быть сведено на отрезок, например, 1 — 1; 11. Тогда, рассматривая две ВФР, можно говорить об их интег1 альпой н -близости в том смысле, что ~фу(х,«+ т) — ~~(т «) «х ~ к.

Неравенство (5.2) может быть переписано в терминах нормы в просгранстве функции* распределения, являющихся в каждый момент времени «суммируемыми по х функциями. Введем норму в пространстве Еч .. ((у( 4.- 1У( лм Тогда расстоянием между двумя ВФР «и Ь будет называться величина »(/М-)1«(,й~)-) (*,~~))).= ~(Л~,~~)-а(М))( В выражении (5А) сравниваемые ВФР могут быль построены по выборкам разных объемов н/илн быть отнесены к различным моментам времени, При анализе и прогнозе пестациопарных ВФР возникают задачи, которые во введенных терминах можно сформулировать следующим образом. Задача 1.

При заданной неточности н н заданном сдвиге иа г дискретных шагов по времени требуется изучить статистику объемов выборок как функций времени «, прн р у;и р у рьь ппу522 З ЗПР Ф рв Е Гр У не ' " Е» «Фь нйм,ьр Р» у Р еуьун Ввр чью умьуи о ву б. и иу ВВР мь нв "э У Рео Ре иу чи пе е к ье р юеюьрйей6бу у иер»юч в юч м ююео бв и нуе й мв Р"чь ,е» ебм рьк Рчпопюьк ре р, ьнеу У ю рек рч ю н вь рю, ю:еи чоюн ь не й ю Счнюпеу Ю ю ьму вн у, м юоню юн мй ьню ю н в .*е ук 25,22. бую пь юро у вем б ив й)у, ч. ). 600 Ь— Юу ЮУ 6ОУ 405 ам Ричйр. Соппьв вюр вопию рюь ИОВВМ при юмн. ю24 н вмю йрв ув рю.ю нр ч рюв ю у н ь)ь,зиоум).

у~ р и у н в дюв 24 н 0Ю. О н Ввв Рпе. ь рьи — еь ьмв рки, и п тююе упвчбьвум) ннемн ма вп ие нр виекюни В 24 П Е ВМРЮ УИЬМНЮй ЮЧВМПВ В К, й» ЮЮВВЮ РЮ брюн ь оеекн р ю МОВВМ Фм,,22) н м в чйьннм ку чооюнмюмю чр ю . интервалом непрерывности, равным 300. Обратившись к графику зависимости выборочной дисперсии для того же ряда от объема выборки, представленному на Рис. 13, видим, что дисперсия имеет локальный минимум в окрестности 600-го значения (точка 25 па оси абсцисс графика Рис.