Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов, страница 11

15. 5) нб) «Д' С« «Ю Вю« Д 13.5)Ю «Ю РРЮ„) ДЯЭ«Ю,« Овю«65 ! Звювм«В«эвю«. «в югрююмчмнвэ ээ«ммю Рвв «Вюм«на! « «аз« в«аюмюю, в«м. Рвум а«««н«в вяэ э ранювв д «вава 136). чм«р эвюцн «вбрдма ы)з.э) ю в«ам н ююм «1 бб ю «юбэрю 3566 ««ю .'«««1 Ввм 6,61. Й,нюмр юэ 6.566. «««! В«бннв««а гюч «юнм.'Юм «ю м«гюм Р «вм в НО«в Р) «м мэра ю н чн«нн ага юнюю)РН' О). - ~)~~))! 1)))1~!))!1ф1~, Ов, О МОЮ««««а рав 13.6) Ъу (л ".б М Ру лн аун ( н я лн Вс 03 ю р . л»и О.оу( Й н 1В С ( Л . Р нрвир,»у ми» ю 3(ююв.

ОалВюс л и' с и лви и и, .н. Ъ РВ(. р ю ( с л „,, - (- / „'» - и*„ (3МУ Пр Л Оу О а*» р в(и Р . с Й И ( ' 3 "(,С. О"-03, Му>=а,в, (23 О,(3 К Р ил м«сис и рюс,,ююи» рслл Ою ср у л» ю ива»в ю ррю ива»а фув:ню Й и ( ю ав 6 и вй»ую и юнюю Й л улсб 0.05 бюа в и р м Й б рн 3560 ю ( 1ВЙ с:анм 0,2б, л юрлв О.52 $ ио .ю о в ю ио м ю ю со ю оо оо РВВО Фраюмсливв »сам и'ув (3ОУ л юнас Й аваим * ю ю вне»а а буна»в рю(рс л ю . а ввп аа (3 53 и с сс м» (3 Оу и исиа в. Йм Й Р с. (Р Йю слс» ри(в албс(нюси фу»лил» рюириюввв лнл омв(. Йлюаннб Й сбсрив иолу'юин В ер Ъ Л И Р р Н лф~ е р Е ввж ан еаа ю., бн аа юв м».

и напр е »Л р П алла й.аао опе о.ое .»,е-цвеуаееа о.е 666 юра ьао ьао або а.е л Р ~еомб е »66»юврмщ а нн юю мюмЭ <666 ! л ~у-) у=а* у -ла а аи (3.9) яюа е»амм пр» юа»аяе ер» и лабо зоя ил, на»ею»а уаланвв »66 оа убоу=ол„яро=од а «вв .вевюеювн ю навеян арй чсдп»еи м Раа. И Уй»я »6 р«» «»566 ма «» м ал рал варе мм ме и аа авиа ю Р Ран»Ем."вв»еам е йюбнианвлмюай. Рана зрим вя» аппп пра~ р виве»ем ряе, вавюаювв лев»пей лняимней.

пае наавюввеаа нрааеньв беме»ма лаве» ее*, анима» анеюа пв». 'во Ранайваюа еаа аблмйймйао»н ййем»амй йвм е»ма, »илама» аа»аа:иа Уьф вм. епеемане и ефф~фФ нюм н но а»маме» а с О та о вю нв ию ню теютвючоотювтвюиию И рю. з з, блинонн лааанаю вюааю баю ни« а«рюа внввннв (з,р) Аюююрр««И«Ива:в фбмюню «ммн з. юи ю«ив .

Нива«т ирню««вю«ю н, 44 «« НЮ в«в», юв«ю юю«бйи нббна ююннн«виню ю лиот вбви тм ир б«юиюю. нввм рню им«ю \6 мм внтибюю« '46 В ювютю бнюавннн фмй йа«64«юю««вв лл««ва в«юм „июнин ю на люно но «нб рив й«юй Зюб й ЗЗЮЮ они. «юиюл«а 4 а Ю З М«н «юм т вн'мнн«м «бмню ю«т«люн а«з л, 'юр НЮ в«В фтйюти з'нлн л «МОЮ н«лВмв««вон арвюрю «нвитвры фрн юнн«юрн« Юн«итю мнтн «то аоарв В фр«нанев рюв:рн ю «Зваоб фтввнн р«юр 4 «нва, твлз«юню а юнюж бвт«мвююн 46«ню «Ярою н, нмвим Втирнт«« т ввю юот Ивнраин«МЮЮЗЗ.ИЗ,фзнювнрнмртлт оввн«м тн бн«фрютввн.

Ююю нююбю«ю « -ф~~ юн О О»6 0,016 о.ое о.ое о,ою а о,аа о.ооо о,оои И.ооо .ИО .СВ .Щ -В а О Щ Щ РО й Рнс. Рх вюмрс Вт буи ив рюсрй»емиеюрме вюкй ммм спи мм лО/ю1юй О Р) вв Юйсюе й»ьиюй 1 Иве м Зя»В тнтмннй Прюймйюм тарертбнйвщемйююкй в т,пйщ юпимтеюемитнвс лйюмюнююи»спм.. се»к м Вюсуиене ммйий онййвноет так мс срулнй, «ск юу*мй»ою йрокнхй ввй Риеюл, прйпеюрю»юв Рею»м рк имюсмийн юе к уво. Рхюнюс е ею е» втюйемн» юуаВю» щмймх ей м нюбмп,нроеюю с щю мйветтоккюи.ю есйенеий бюмуйибщмнйпрю йиотрапюм.Веют ° Юйй «Юо Ю'Е Кйс ВНСМВМЕ» й ЮЮМ П! ИР Н '1 Ий В МЮ1ЩЮЕИН Отмок ирмт Нею»мою пею йр л юсюсн й буев»» рссирюювйм.

ПР»ен тмюй юсмм ммкйсюсти смб Р, ею юпм\ки» нс йп рсп с йн'юиюмт й не'ютйюой м 1мктм но р«л 1 вней »Ф1»мйй» юс мипмймкй рйтеб 2.4. Зависимость выборочной дисперсии от объема выборки При анализе временного ряда основным вопросом являегся установление его стационарностн в пределах заданного объема выборки, В противном случае данные нельзя считать принадлежащими одной генеральной совокупности. Оценки различных статистик для стационарных рядов используюз теорему Гофдинга !811 о том, что отклонения выборочных моментов стационарного эмпирического распределения от своих теоретических значений распределены асимптотически нормально.

В частности, умноженное па ~/п отклонение среднего значения по выборке от среднего по генеральной совокупности нормально распределено со средним, равным нулю, и дисперсией, равной дисперсии по генеральной совокупности. Умноженное на Д отклонение выборочной дисперсии от дисперсии генеральной совокупности асимптотически нормально 2 распределено с нулевым средним и дисперсией, равнои рл4-т2, где в2 и щг соответственно второй и четвертый центральные моменты генеральной совокупности, Однако во многих случаях на практике выборочная дисперсия ведет себя немонотопно с увеличением объема выборки, причем ее колебания относительно более или менее стационарного тренда часто могут превышать оценки отклонений, получаемых по теореме Гофдинга в предположении стацианариости исследуемого ряда.

Такое поведение демонстрируют, в частности, ряды, рассмотренные выше во второй главе. Например, для рядов, рассмотренных в параграфах 2.1 и 2.3, типичные зависимости относительной выборочной дисперсии от объема выборки приведены па Рис. 13. "1 75 101 1Ж 151176 ЗМ Ш ал ачшвт Рис. 13. Зависимость выборочной вариации для нсстационарного (Ряд 1) и стационарного модельного (Ряд 2) рядов от объема выборки (единица объема = 24 шага). Рассмо грим качественные отличия представленных зависимостей.

Дисперсия выборки из одного элемента равна, естественно, нулю. С увеличением объема выборки дисперсия возрастает, пока нс набирается достаточной статистики. Затем начинается уменьшение выборочной дисперсии и ее последующая асимптотичсская стабилизация (если ряд стационарный) к дисперсии распределения. Если ряд нестациоиарный, то после локального уменьшения дисперсии наступает не стабилизация, а прохождение через более или менее четко выраженный минимум и последующий рост за счет временного тренда. Несттщиопариость может проявлятъся также и в случайных скачках дисперсии при пскоторых значениях объема выборки, статистика которых зависит от неконтролируемых внешних причин, не связанных с ходом наблюдаемого процесса. Таким образом, изученис зависимости выборочной дисперсии от объема выборки для конкретного временного ряда позволяет сделать качественный вывод о его предполагаемой стационарности или не стационарп ости.

Если требуется построить прогноз внутри заданного горизон"га, то может оказаться, что увеличение объсма выборки нс приведет, в отличие от стационарного случая, к уменьшению ошибки прогноза. Объем выборки, при котором выборочная дисперсия имеет локальный минимум, является кандидатом на оптимальный объем, иа основе которого будет делаться прогноз. Однако этот объем зачастую может быть недостаточным для получения оценки нарамстров распределения с желаемой точностью.

Следовательно, требуется разработать критерий определения оптимального объема выборки для прогнозирования такого ряда с минимальной ошибкой. Поскольку в работе исследуются нестационарные временныс ряды, то использование формул песмсщенных оценок различных средних величин не является приоритетным. Несмещепиость означает„что математическое ожидание Е выборочного момента равно соответствующему моменту распределения генеральной совокупности.

В нашем случае может и пс быть стационарного распределения, из которого выбираются набшодаемые серии данных. Рассматривая же прогноз временного ряда как эволюцшо соответствующего выборочного распределения и, в частности, его моментов, бывает удобно использовать смещенные оценки, Получим связь между моментами генеральной совокупности н их оценками на основе смещенных выборочных момепгов. Пусть х~ есть значение случайной величины х в дискретный момент времени Е. Обозначим через,и,(и) смещенный центральный выборочный момент порядка р: Если предположить, что рассматриваемый ряд является реализацией случайного процесса с плотностью распределения Дх), моменты т которого определяются как и „= )(х-т1)пДх)йх, р>2; т1 = )хЯх)сбс, (4.2) то выражения,и (и) представляют собой асими готнчески несмещснные оценки моментов т, генеральной совокупности.

Получим явный внд этих зависимостей. Обозначим операцию взятия среднего и дисперсии по распределению ~ через.Е и Ее Е(а(х)) = уЕ(х)у(х) й, .О(Их)) = 3Ь(х) — ЕЬ(х)))гу(х)Ь, Тогда из (4.1) следует (4.З) Для вычисления дисперсии среднего выборочного значения сделаем следующие преобразования: г ~2 г (1 1 М- 1) =~--Х ~- 1 = -Х(~- ~)1 = ~п, ' п1 1 1 = — ~~> (хя — т1)2+ — ~~~ (х1 — т1)(х, -т1) и с-~й Поскольку для независимых случайных величин справедливо равенство Е '~ (х1 - тт)(х, - т, ) = О, ю~/с то дисперсия выборочного первого момснта равна ~( )=МИ,-т,)')= — 2:Е(х~-т1) = — -,= —.

1 1 тг и' и 2 Лналогично для второго выборочного центрального момента получаем Е(,иг(п))= 1-- тг, (4.б) г 11( ( )) 4 2 2 4 т2+ 4 Зт2 и пг пз Таким образом, по теореме Гофдинга, величина ~ = 4п(,иг(п) -тг)/Хг(рг(п)) имеет асимптотичсски нормальное распределение с нулевым средним н единичной дисперсией. Этот факт лежит в основе многих критериев и статистических тестов на наличие тренда или сдвига в дисперсии (критерий Фостера-Стюарта, ранговый критерий и др. — см, 134~). Хотя математическое ожидание выборочной дисперсии стационарного ряда монотонно стремится к своему асимптотическому пределу, наблюдаемая на практике зависимосп и~(и) немонотонна в силу того, что имеется дисперсия выборочной дисперсии (4,6), Для анализа ее зависимости от объема выборки введем коэффициент эксцесса у распределения у: В силу того, что т4 >я2, имеем у~-2.