Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 10

является инволюцией без неподвижных точек.Итак, каждая пара перестановок τ, µ ∈ S2k , для которой τ — инволюция безнеподвижных точек, однозначно задает некоторый f -граф Γ(τ, µ). При этом различные пары могут задавать одинаковые f -графы, поскольку перенумерация вершинне влияет на топологию f -графа. Любую перенумерацию можно рассматривать каксопряжение пары перестановок τ, µ при помощи некоторой перестановки g ∈ S2k ,т. е.

как замену перестановок τ, µ на gτ g −1 , gµg −1 . Получаем следующее простоеутверждение.Предложение 1. Два f -графа Γ(τ, µ) и Γ(τ ′ , µ′ ) изоморфны тогда и толькотогда, когда τ ′ = gτ g −1 и µ′ = gµg −1 для некоторой перестановки g ∈ S2k .Очевидно, что все перестановки, являющиеся инволюциями без неподвижныхточек, сопряжены. Поэтому нумерацию вершин можно выбрать так, чтобы перестановка τ приняла некоторый стандартный вид τ ∗ . Будем считать, что τ ∗ (2i − 1) = 2iи τ ∗ (2i) = 2i − 1, где i = 1, .

. . , k. Зафиксировав таким образом перестановку τ ,получаем, что каждая перестановка µ ∈ S2k однозначно задает некоторый f -графΓ(µ) = Γ(τ ∗ , µ). Следующее утверждение также легко проверяется.Предложение 2. Два f -графа Γ(µ) и Γ(µ′ ) изоморфны тогда и только тогда,когда µ′ = gµg −1 для некоторой перестановки g ∈ Zτ ∗ , где Zτ ∗ — централизаторперестановки τ ∗ в группе S2k .Предложение 2 означает, что f -графы сложности k “нумеруются” орбитами действия группы Zτ ∗ сопряжениями на S2k . Поскольку нас интересуют не сами f -45графы, а атомы, которые им соответствуют, необходимо еще провести факторизацию по операциям изменения ориентации и переворачивания.Легко понять, что при изменении ориентации f -графа Γ(τ, µ) получается f -графΓ(τ, µ−1 ), а при переворачивании f -графа Γ(τ, µ) — f -граф Γ(τ, τ µ).

Здесь мы считаем, что при операции переворачивания соответствие между “старыми” и “новыми”вершинами f -графа устанавливается следующим образом:????p+|A_ N<6)#ij i?? }W g ??=⇒????p _ N 6B #j iU+?? A}?? W gт. е. для каждого ориентированного ребра сохраняется номер вершины, являющейсяего началом.Таким образом, для перестановки µ имеются еще две операции (кроме сопряжений элементами из Zτ ∗ ), не меняющие f -граф Γ(µ) = Γ(τ ∗ , µ): замена µ на µ−1 изамена µ на τ ∗ µ.

Легко проверить, что обе эти операции коммутируют с любым сопряжением (элементом из Zτ ∗ ), а их коммутатор переводит µ в τ ∗ µτ ∗ , т. е. являетсясопряжением перестановкой τ ∗ . В результате получаем следующее утверждение.Теорема 6. Перестановки µ и µ′ из S2k задают эквивалентные f -графы (азначит, в силу теоремы 5, и одинаковые атомы) тогда и только тогда, когда либоµ′ = gµ±1 g −1 , либо µ′ = gτ ∗ µ±1 g −1 для некоторой перестановки g ∈ Zτ ∗ , где Zτ ∗ —централизатор перестановки τ ∗ в группе S2k .Как видно из теорем 5 и 6, описание особенностей при помощи f -графов (или перестановок) позволяет легко составлять списки атомов (т.

е. седловых особенностейдля систем с одной степенью свободы). При увеличении сложности их количестворастет довольно быстро. Приведем следующий результат, полученный с помощьюкомпьютера.Предложение 3. Для k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 количество (седловых ) атомовсложности k равно соответственно 1, 4, 10, 58, 322, 3044, 33917.462.2. Обзор известных результатово седловых особенностяхНачиная с двух степеней свободы классификация седловых особенностей сильно усложняется. Приведем некоторые результаты, полученные в этом направлении(см.

также [12] и [74, раздел 5.2]).2.2.1. Две степени свободы, сложность 1Первые результаты о полулокальной классификации седловых особенностей были получены в работах Л. М. Лермана и Я. Л. Уманского [29], где рассматривалисьособенности сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.Ясно, что топология особого слоя является инвариантом особенности. Особыйслой представляет из себя двумерный комплекс, клетками которого являются орбиты гамильтонова действия. В случае особенностей сложности 1 особый слой содержит одну 0-мерную клетку (особая точка), четыре 1-мерные клетки и четыре2-мерные.

При этом каждая 2-мерная клетка является “четырехугольником”, т. е. ееграница разбита на четыре отрезка, внутренность каждого из которых гомеоморфно отображается на 1-мерную клетку при характеристическом отображении.Л. М. Лерман и Я. Л. Уманский показали, что в случае двух степеней свободыседловые особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны. Исследовав все возможные варианты, ониполучили полный список, состоящий из четырех попарно неэквивалентных особенностей.Имеется другой естественный инвариант седловой особенности (в случае двухстепеней свободы), называемый “круговой молекулой”. Этот инвариант можно кратко описать следующим образом (подробнее см.

в [121], [12], [74]). Пусть образ особогослоя при отображении момента F есть точка P ∈ R2 . Бифуркационная диаграммав окрестности точки P состоит из двух гладких кривых, трансверсально пересекающихся в точке P , которые можно считать координатными линиями (см. определение 9).

Рассмотрим маленькую окружность γ с центром в точке P и ее прообраз47при отображении момента. Круговая молекула — это инвариант, описывающий топологию слоения Лиувилля в трехмерном многообразии F−1 (γ).Круговые молекулы для всех четырех особенностей сложности 1 были вычислены в работе А. В. Болсинова [72]. Как оказалось, все они различны, и поэтомутакже дают классификацию особенностей сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.В силу теоремы о разложении каждая из четырех особенностей сложности 1может быть представлена в виде почти прямого произведения атомов. Оказывается,для этого достаточно использовать лишь атомы сложности 1 и 2 (см. рис. 1 и рис.

2).Ответ получается следующий:B × B,(B × C2 )/Z2 ,(B × D1 )/Z2 ,(C2 × C2 )/(Z2 × Z2 ).(2)Здесь Z2 действует на сомножителях как центральная симметрия, а Z2 × Z2 (в последнем случае) действует следующим образом: одна образующая действует на первом сомножителе как центральная симметрия, а на втором — как инволюция, оставляющая вершины атома на месте; вторая образующая, наоборот, действует на первом сомножителе как инволюция, а на втором — как центральная симметрия.Описание четырех особенностей сложности 1 с помощью инварианта, построенного в данной работе (см.

раздел 2.3), приведено на рис. 5.2.2.2. Две степени свободы, сложность 2Полулокальная классификация особенностей сложности 2 для систем с двумястепенями свободы была получена А. В. Болсиновым в работе [72]. Он получил ихполный список, состоящий из 39 особенностей.Оказалось, что для особенностей сложности 2 топология особого слоя уже неявляется полным топологическим инвариантом, т. е. некоторые из 39 попарно неэквивалентных особенностей имеют гомеоморфные особые слои. Поэтому в работе [72]был введен еще один инвариант седловой особенности, называемый “l-типом”.

Какуже отмечалось (см. предыдущий раздел), бифуркационная диаграмма в окрестности образа особого слоя состоит из двух трансверсально пересекающихся кривыхγ1 и γ2 . Для каждой из этих кривых критические точки отображения момента в48ее прообразе образуют двумерное симплектическое подмногообразие. Слоение Лиувилля исходной системы индуцирует на этих подмногообразиях слоение, котороеможно рассматривать как слоение Лиувилля для системы с одной степенью свободы. При этом особые точки ранга 0 исходной системы будут седловыми особымиточками для индуцированных слоений.

Таким образом, мы получаем два атома V1и V2 , соответствующие кривым γ1 и γ2 (см. определение 11). Эта пара атомов (V1 , V2 )называется l-типом особенности (см. также [12]). (Отметим, что атомы V1 , V2 , задающие l-тип особенности, могут быть несвязными, т. е., строго говоря, они являютсянаборами атомов.)Круговые молекулы для всех 39 особенностей сложности 2 были построеныВ. С. Матвеевым в работе [33] (см. также [73]). Как и в случае сложности 1, оказалось, что все они различны.

Поэтому для седловых особенностей сложности 2круговая молекула является полным инвариантом полулокальной эквивалентности.Представление 39 особенностей сложности 2 в виде почти прямых произведенийатомов было получено в работе В. В. Корнеева [26] (см. также [74, табл. 4]). Отметим,что для некоторых из 39 особенностей порядок группы, по которой необходимопроводить факторизацию прямого произведения, равен 8, причем эта группа необязательно коммутативна.2.2.3. Три степени свободы, сложность 1Этот случай был исследован В. В. Калашниковым [24]. Он использует подход,основанный на разложении особенностей в почти прямое произведение (отметим,что классификация особенностей сложности 1 и 2 для систем с двумя степенямисвободы, описанная в разделах 2.2 и 2.3, была получена без использования теоремыо разложении).В работе [24] сформулирована теорема о том, что количество особенностей сложности 1 для случая трех степеней свободы равно 32, и приведен их список.

Списокособенностей, составленный В. В. Калашниковым, содержит 32 особенности, представленные в виде почти прямых произведений атомов (см. также [12] и [74, табл. 5]).Как выяснилось недавно, в этом списке пропущены некоторые особенности, а неко-49торые из почти прямых произведений, указанных в списке, на самом деле задаютэквивалентные особенности.Правильный список седловых особенностей сложности 1 для трех степеней свободы можно получить, используя подход, предлагаемый в данной работе. Для особенностей сложности 1 общая конструкция (изложенная в §3) упрощается.

Крометого, как оказалось, особенности сложности 1 обладают интересными алгебраическими свойствами. Результаты, связанные с исследованием особенностей сложности 1 (для любого числа степеней свободы), и, в частности, их список для трехстепеней свободы будут опубликованы автором отдельно.Отметим, что рассуждения, использованные в работе [24], правильны, но доказательство теоремы о классификации сводится к некоторому перебору, который вработе не приведен. По-видимому, ошибки в списке возникли именно на этом последнем этапе доказательства.2.2.4. Общий случайПриведем некоторые результаты более общего характера, чем классификацияособенностей данной сложности и данного типа.1) Для систем с двумя степенями свободы ни топология особого слоя, ни l-типособенности не являются полными инвариантами (уже для особенностей сложности 2).

Однако, оказывается, что пара {топология особого слоя, l-тип} (этот инвариант называется также C-l-типом особенности) однозначно определяет седловуюособенность с точностью до полулокальной эквивалентности. Этот факт был доказан В. С. Матвеевым [34] (см. также [73]).Отметим, что C-l-тип особенности можно рассматривать и в случае любого числастепеней свободы. Неизвестно, будет ли этот инвариант полным для систем с числомстепеней свободы больше двух.Отметим также, что круговая молекула, которая является полным инвариантомдля особенностей сложности 1 и 2, в общем случае таковым не является. Примерынеэквивалентных особенностей с одинаковыми круговыми молекулами были построены А. В. Грабежным (см. [74, раздел 7.3]).