Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 11

Простейший из них имеет сложность 4.502) Несколько полезных утверждений об особенностях сложности 1 было доказаноВ. В. Калашниковым [24] для любого числа степеней свободы.Приведем одно из них: особенности сложности 1 полулокально эквивалентнытогда и только тогда, когда их особые слои гомеоморфны.3) Одним из важных результатов о полулокальной структуре особенности безусловно является теорема Н. Т. Зунга о разложении любой седловой особенности впочти прямое произведение атомов (теорема 3). Задача классификации тесно связана с вопросом о единственности такого разложения. Очевидно, что любую особенность можно представить в виде почти прямого произведения атомов различнымиспособами, поскольку каждый атом V можно представить как фактор другого атома Ṽ по действию конечной группы. Поэтому естественным является вопрос о существовании некоторого “канонического” представления особенности в виде почтипрямого произведения.В работе [121] Н.

Т. Зунг вводит понятие “минимальной модели” особенности (онтакже называет ее “канонической моделью”).Определение 15. Минимальная модель — это такое почти прямое произведение атомов (V1 × · · · × Vn )/G, что каждый (нетривиальный) элемент группы G действует нетривиально не менее чем на двух компонентах произведения V1 × · · · × Vn .Как легко понять, любое почти прямое произведение атомов сводится к минимальной модели. Действительно, если некоторая подгруппа Gi группы G действуетнетривиально лишь на одном сомножителе Vi , то она действует на нем свободно, имы можем заменить сомножитель Vi на Vi /Gi , а группу G на G/Gi . Поступая таксо всеми сомножителями, мы получим в результате минимальную модель.Далее Н.

Т. Зунг доказывает утверждение о том, что для каждой особенностисуществует единственная минимальная модель [121, Proposition 7.4]. Это утверждение было сформулировано в работе [121] для особенностей произвольного типа иранга. В такой общности оно заведомо неверно (контрпример легко строится ужедля особенностей ранга 1; см. [74, раздел 5.1]). В варианте работы [121], появившемся позднее в электронном архиве препринтов (см. arXiv:math.DS/0106013v1),некоторые ошибки в формулировках и доказательствах были отмечены в подстрочных примечаниях.51Тем не менее, для седловых особенностей ранга 0 утверждение о единственностиминимальной модели (и его доказательство в работе [121]) верно.

Отметим, что этоутверждение следует также из результатов данной работы (см. предложение 5).2.3. Построение инвариантаВ этом разделе мы определяем инвариант седловых особенностей интегрируемыхгамильтоновых систем для любого числа степеней свободы. Он является обобщением инварианта (описанного в разделе 2.1) для систем с одной степенью свободы.Как было показано в разделе 2.1, каждому f -графу сложности k соответствует пара перестановок τ, µ ∈ S2k , причем τ является инволюцией без неподвижныхточек. Перестановки τ, µ определены с точностью до сопряжения в S2k (предложение 1), но эта неоднозначность связана лишь с нумерацией вершин f -графа. Если жерассматривать τ, µ как перестановки на само́м множестве вершин соответствующегоf -графа (без нумерации), то они определены однозначно структурой этого f -графа.Чтобы различать эти две ситуации, мы будем обозначать перестановки из S2k черезτ, µ (как и выше), а аналогичные перестановки на множестве вершин f -графа (безнумерации) — через τ , µ.Определение 16.

Пусть Θ — конечный граф, множество ребер которого разбито на n непересекающихся семейств, причем некоторые из ребер ориентированы.Будем называть такой граф f -графом степени n или fn -графом, если для него выполнены следующие условия:(a) каждый из n подграфов графа Θ, образованных ребрами одного семейства и всеми вершинами, является f -графом (обозначим эти f -графы черезΓ1 , .

. . , Γn , а соответствующие им пары перестановок через τ 1 , µ1 , . . . , τ n , µn );(b) перестановки из разных пар коммутируют, т. е. для любых i ̸= jτ iτ j = τ j τ i,τ i µj = µj τ i ,µi µj = µj µi ;(3)(c) действие группы Zn2 на множестве вершин графа Θ, порожденное перестановками τ 1 , . . . , τ n , свободно, т. е. любая комбинация перестановок τ 1 , . .

. , τ n(которые коммутируют в силу условия (b)) является инволюцией без неподвижных точек.52Набор из n перестановок, порождающих свободное действие группы Zn2 , будемдля краткости называть базисным (или говорить, что эти n перестановок являютсябазисными).Разбиение ребер fn -графа на семейства мы также будем называть раскраской, а оребрах, принадлежащих одному и тому же семейству, будем говорить как о ребраходного цвета.Отметим, что в определении fn -графа мы не предполагаем, что нумерация семейств фиксирована. Иными словами, говоря, что два fn -графа “одинаковы” (или“изоморфны”), мы имеем в виду следующее.Определение 17.

Морфизмом fn -графа Θ в fn -граф Θ′ называется отображение множества вершин графа Θ в множество вершин графа Θ′ , при которомребра одного графа переходят в ребра другого (неориентированные — в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные с сохранением ориентации)так, что образы ребер из одного семейства fn -графа Θ принадлежат одному семейству fn -графа Θ′ . В частности, морфизм, являющийся биекцией, будем называтьизоморфизмом, а изоморфизм fn -графа на себя — автоморфизмом.С топологической точки зрения, морфизм fn -графов можно рассматривать какнакрытие, которое согласовано с их структурой (т.

е. с раскраской и ориентациейребер). Поэтому морфизмы fn -графов мы также будем называть накрытиями.Из условия (c) определения 16 следует, что любой fn -граф имеет 2n k вершин.Число k будем называть сложностью fn -графа. Из условия (a) ясно, что каждыйиз f -графов Γ1 , . . . , Γn имеет сложность 2n−1 k, т.

е. каждое семейство ребер графа Θсодержит 2n−1 k неориентированных и 2n k ориентированных ребер. Степень каждойвершины графа Θ равна 3n. Очевидно, что fn -графы при n = 1 являются обычнымиf -графами (в смысле определения 12).Замечание 3. Условия, накладываемые на граф Θ в определении 16, можноописать в геометрических терминах следующим образом.

Множество всех неориентированных ребер fn -графа сложности k можно рассматривать как k экземпляроводномерного остова n-мерного куба, где все ребра одного семейства параллельны.Ориентированные ребра каждого семейства образуют непересекающиеся циклы так,что выполнено условие (b) определения 16. Геометрически это условие означает, что53“сдвиг” всех вершин f -графа Γi вдоль ориентированных ребер j-го семейства, а также аналогичный “сдвиг” вдоль неориентированных ребер j-го семейства, где i ̸= j,являются автоморфизмами f -графа Γi .Теперь, как и в случае одной степени свободы, мы сопоставим каждой седловойособенности интегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы некоторый fn -граф.

Это сопоставление можно провести аналогично тому, как это делалосьдля случая одной степени свободы (см. раздел 2.1), т. е. с помощью сепаратрис градиентных потоков для интегралов системы. Однако при таком подходе возникаютнекоторые технические трудности, связанные с выбором метрики. Мы опишем другой способ построения fn -графа по данной седловой особенности, не задавая еговложение в фазовое пространство, а определяя для него множество вершин и множество ребер.Рассмотрим седловую особенность (W, ω, F1 , .

. . , Fn ) сложности k, где W —окрестность особого слоя L, содержащего особые точки x(1) , . . . , x(k) ранга 0. Пустьточка P ∈ Rn — образ особого слоя L при отображении момента F, заданном интегралами F1 , . . . , Fn . Поскольку для рассматриваемой особенности выполнено условие нерасщепляемости (см. определение 9), бифуркационная диаграмма в некоторойокрестности точки P состоит из n гиперповерхностей, разбивающих эту окрестностьна 2n областей (будем называть их камерами) точно так же, как n координатныхгиперплоскостей разбивают окрестность начала координат.Выберем одну из 2n камер Q.

Отметим, что процесс построения fn -графа (описанный ниже) для данной седловой особенности (W, ω, F1 , . . . , Fn ) зависит от выборакамеры, но в остальном определен однозначно.Шаг 1. Определим множество вершин fn -графа Θ, соответствующего рассматриваемой седловой особенности.По теореме Элиассона для каждой точки x(j) в некоторой ее окрестности O(j)(j)(j)(j)(j)можно выбрать симплектические координаты q1 , . . .

, qn , p1 , . . . , pn и заменить(j)(j)(j)интегралы (F1 , . . . , Fn )7→(F̃1 , . . . , F̃n ) так, что F̃i(j)(j)= pi · qi . После этой заменылокальная бифуркационная диаграмма для точки x(j) будет образована координат(j)(j)ными гиперплоскостями. При этом функции F̃1 , . . . , F̃n можно выбрать так, чтокамера Q соответствует области отрицательных значений всех этих функций. То-54гда прообраз камеры Q при отображении момента есть множество ∆(j) , заданное вокрестности O(j) неравенствами(j)F̃1 < 0,F̃n(j) < 0....,(4)Отметим, что для каждой особой точки x(j) имеется естественное соответ(j)(j)ствие между функциями F̃1 , . .

. , F̃nи n ребрами на границе камеры Q,которые являются прообразами координатных полуосей при диффеоморфизме(j)(j)(F1 , . . . , Fn ) 7→ (F̃1 , . . . , F̃n ). Используя это соответствие, мы будем считать, что(j)нумерации функций F̃i(j)функции F̃i(j ′ )и F̃iдля всех особых точек слоя x(1) , . . . , x(k) согласованы (т. е.соответствуют одному и тому же ребру камеры Q).(j)(j)Пусть окрестность O(j) в координатах qi , piимеет вид (−ε, ε)2n . Тогда ∆(j)имеет 2n связных компонент, каждая из которых также является 2n-мерным (открытым) кубом. Таким образом, множество Π всех связных компонент подмножеств∆(j) для всех особых точек x(1) , . .