Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиУДК 517.938.5+515.164.15Ошемков Андрей АлександровичТопология особенностей интегрируемыхгамильтоновых систем01.01.04 — геометрия и топологияДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степенидоктора физико-математических наукНаучный консультант:академик РАН, профессорФоменко Анатолий ТимофеевичМосква — 2011ОГЛАВЛЕНИЕВведение. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 1. Особенности интегрируемых гамильтоновых систем. . .261.1. Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем. . .261.2. Невырожденные особенности. . . . . . . . . . . . . . . .311.3. Почти прямые произведения. . . . . . . . . . . . .

. . .34Глава 2. Классификация седловых особенностей интегрируемыхгамильтоновых систем2.1. Атомы и f -графы. . . . . . . . . . . . . . . . .38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2. Обзор известных результатов о седловых особенностях. . . . . .46. . . . .

. . . . . . . . . . . . .512.4. Доказательство теоремы классификации . . . . . . . . . . . .592.5. Алгоритм перечисления седловых особенностей. . . . . . . . .712.6. Сомножители минимальной модели . . . . . . . . . . . . . .762.7. Случай особенностей сложности 1. . . . .

. . . . . . . . .792.8. Пример особенности, не являющейся почти прямым произведением . .942.3. Построение инвариантаГлава 3. Классификация потоков Морса–Смейла на двумерныхмногообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.1. Классификация потоков Морса. . . . . . . . . . . . . . . 1003.2. Сравнение некоторых известных инвариантов .

. . . . . . . . . 1113.3. Классификация потоков Морса–Смейла3.4. Кодирование и перечисление потоков. . . . . . . . . . . . 124. . . . . . . . . . . . . 143Глава 4. Топология множества особенностей интегрируемой гамильтоновой системы . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 1614.1. Особенности интегрируемой гамильтоновой системы как особенностинабора сечений комплексного расслоения . . . . . . . . . . . . 1614.2. Топологические свойства комплекса особенностей для систем с двумястепенями свободы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673Глава 5. Примеры вычисления инвариантов интегрируемых систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.1. Интегрируемый случай Соколова на so(4). . . . . . . . . . . 1745.2. Задача двух центров на сфере . . . . . . . . . . . . . . . .

2005.3. Многомерный волчок Эйлера–Манакова . . . . . . . . . . . . 238Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255ВВЕДЕНИЕДиссертация является исследованием в области топологии интегрируемых систем. В ней разрабатываются новые методы изучения особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, которые затем применяются для классификации некоторых типов особенностей, изучения их полулокальных и глобальных свойств,а также для исследования топологии нескольких конкретных интегрируемых систем.Хорошо известно, что топологические свойства интегрируемой гамильтоновойсистемы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента.

Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору Rn по некоторойрешетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следуетиз классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффеоморфны n-мерным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траекториисистемы являются условно периодическими.Если рассматривать прообразы всех точек при отображении момента, то соответствующее слоение на фазовом пространстве системы (называемое слоениемЛиувилля) имеет особенности.

Кроме торов Лиувилля у него имеются слои, содержащие особые точки отображения момента. Слоение Лиувилля в окрестности этихособых слоев устроено более сложно как с топологической точки зрения, так и сточки зрения динамики.Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна. А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент.Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку.

Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.5В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с полулокальнойи глобальной топологией интегрируемых систем, которые активно исследовались втечение последних 20–25 лет.Глава 1 носит вспомогательный характер. В ней содержатся основные определения, описаны некоторые методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, а также изложены классические результаты.В главе 2 решается задача классификации гиперболических особенностей ранга 0интегрируемых гамильтоновых систем.Глава 3 посвящена классификации потоков Морса–Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до гомеоморфизма, сохраняющего траекториипотока.В главе 4 изучаются глобальные (алгебро-топологические) свойства множестваособенностей интегрируемой гамильтоновой системы.В главе 5 разработанные методы исследования топологии интегрируемых системприменяются к нескольким конкретным примерам (интегрируемый случай Соколова на so(4), задача двух центров на сфере, многомерное твердое тело).Замечание о нумерации: каждая глава n диссертации разбита на разделы(n.1, n2, .

. . ), а некоторые разделы n.m дополнительно разбиты на подразделы(n.m.1, n.m.2,‘. . . ), которые в тексте обычно также называются разделами; определения, рисунки, теоремы и т. п. занумерованы в тексте диссертации по порядку(без ссылок на главы и разделы).Перейдем к более подробному описанию содержания и целей диссертации, а также истории вопросов, затронутых в ней.В главе 2 рассматриваются невырожденные особенности ранга 0, имеющие только гиперболические компоненты. Одна из основных целей данной главы — получитьполулокальную классификацию таких особенностей с точностью до лиувиллевойэквивалентности.Более точно, задача классификации рассматривается для чисто гиперболических особенностей ранга 0, которые удовлетворяют условию нерасщепляемости (см.определение 9) и для которых инвариантные окрестности состоят из компактных6слоев. Особенности, удовлетворяющие этим условиям, мы называем седловыми особенностями.Отметим, что с гиперболические особенности обладают более сложной топологической структурой по сравнению с другими типами особенностей.

Например, классификация число эллиптических особенностей тривиальна, а структура фокуснойособенности в случае двух степеней свободы однозначно определяется ее сложностью (т. е. количеством особых точек на слое). Классификация гиперболическихособенностей ранга 0 уже в случае двух степеней свободы нетривиальна даже длясложности 1 (имеется 4 различных особенности такого типа).В случае одной степени свободы классификация седловых особенностей эквивалентна (полулокальной) классификации особенностей функций Морса на двумерном многообразии.

Удобный язык для описания таких особенностей был предложенв работе А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [9], где для этого быловведено понятие атома. Описание различных подходов к определению атомов и ихклассификации содержится в книге [12] (см. также раздел 2.1).Первые результаты о полулокальной классификации седловых особенностейдля большего числа степеней свободы были получены в работах Л. М. Лермана иЯ. Л.

Уманского [29]. Они показали, что в случае двух степеней свободы седловыеособенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда, когдаих особые слои гомеоморфны, и в результате получили полный список, состоящийиз четырех попарно неэквивалентных особенностей.Имеется другой естественный инвариант седловой особенности (в случае двухстепеней свободы), называемый “круговой молекулой”. Смысл этого инварианта втом, что он полностью описывает топологию слоения Лиувилля на трехмерной границе инвариантной окрестности особого слоя в терминах особенностей с одной степенью свободы.Круговые молекулы для всех четырех особенностей сложности 1 были вычислены А.

В. Болсиновым в работе [72]. Все они различны, и поэтому также даютклассификацию особенностей сложности 1 для систем с двумя степенями свободы.В той же работе А. В. Болсиновым была получена полулокальная классификацияособенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы. Оказалось, что7для особенностей сложности 2 топология особого слоя уже не является полным топологическим инвариантом. Поэтому А.