Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 13

е. задает некоторое накрытие.Пусть Φ : (W, ω, F1 , . . . , Fn ) → (W ′ , ω ′ , F1′ , . . . , Fn′ ) — некоторый морфизм особенностей. Поскольку Φ∗ (Fi′ ) = Fi , бифуркационные диаграммы для этих особенностейсовпадают. Выберем одну и ту же камеру Q для обеих особенностей и рассмотримсоответствующие им fn -графы Θ и Θ′ .Покажем, что морфизм Φ естественным образом “индуцирует” морфизмfn -графов Θ → Θ′ . Это следует из определения вершин и ребер fn -графа, соответствующего особенности (см.

описание процесса построения fn -графа перед(j)определением 18). Действительно, n двумерных координатных поверхностей Vi(j)(j)(i = 1, . . . , n), соответствующих парам координат qi , pi в окрестности особой точки x(j) , инвариантно определяются самим слоением Лиувилля, поскольку они состоят из точек ранга 1 (в силу теоремы Элиассона точки разного ранга локально(j)(j)не эквивалентны). Координатные оси qi , piтакже определены однозначно какодномерные орбиты, содержащие в своем замыкании особые точки ранга 0.

Таким(j)образом, морфизм Φ отображает квадраты Yiодной системы в такие же квадратыдругой. Это означает, что отображение Φ задает отображение Φ̂ вершин fn -графа Θв вершины fn -графа Θ′ . То, что Φ̂ является морфизмом fn -графов, также следует изпроцесса построения fn -графа, соответствующего особенности (см. шаг 2 и шаг 3).Определение 21. Пусть Φ : (W, ω, F1 , . . . , Fn ) → (W ′ , ω ′ , F1′ , . . .

, Fn′ ) — морфизмседловых особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, а Q — камера (одна ита же для обеих особенностей) в окрестности образа особых слоев. Будем говорить,что построенный выше морфизм fn -графов Φ̂ : Θ → Θ′ индуцирован морфизмом Φпри выборе камеры Q.Следующее утверждение сразу следует из процесса построения индуцированногоморфизма.61Лемма 3. Если Φ = Φ1 ◦ Φ2 — композиция морфизмов седловых особенностей,то для индуцированных морфизмов соответствующих fn -графов (при выборе некоторой общей камеры Q) верно равенство Φ̂ = Φ̂1 ◦ Φ̂2 . Кроме того, тождественныйморфизм любой особенности индуцирует тождественный морфизм соответствующего fn -графа.Утверждение о том, что эквивалентным особенностям соответствуют эквивалентные fn -графы, теперь можно доказать стандартным методом.Пусть (W, ω, F1 , .

. . , Fn ) и (W ′ , ω ′ , F1′ , . . . , Fn′ ) — лиувиллево эквивалентные особенности интегрируемых гамильтоновых систем, Ψ : W → W ′ — диффеоморфизм,устанавливающий эту эквивалентность (см. определение 4), а Θ и Θ′ — соответствующие fn -графы.Рассмотрим особенность (W, Ψ∗ ω ′ , Ψ∗ F1′ , .

. . , Ψ∗ Fn′ ). Согласно лемме 1 соответствующий этой особенности fn -граф Θ̃ эквивалентен fn -графу Θ. Ясно, чтоΨ : (W, Ψ∗ ω ′ , Ψ∗ F1′ , . . . , Ψ∗ Fn′ ) → (W ′ , ω ′ , F1′ , . . . , Fn′ ) — морфизм особенностей, длякоторого существует обратный. По лемме 3 индуцированный морфизм соответствующих fn -графов Ψ̂ : Θ̃ → Θ′ является изоморфизмом.Итак, первое утверждение теоремы 7 доказано.Для доказательства обратного утверждения (об эквивалентности особенностей,которым соответствуют эквивалентные fn -графы) рассмотрим сначала случай особенностей типа прямого произведения.Для f -графов (любой степени) можно определить естественную операцию “умножения”. Ее результатом является одномерный остов прямого произведения f графов, рассматриваемых как одномерные комплексы. Ясно, что каждое ребро этого одномерного остова соответствует некоторому ребру одного из сомножителей.Это определяет типы ребер (ориентированное или нет) и их раскраску.

Легко понять, что в результате получается f -граф, степень которого равна сумме степенейсомножителей.Мы будем использовать эту операцию для перемножения обычных f -графов (т. е.f -графов степени 1). Дадим ее формальное определение для этого случая на языкеперестановок.62Определение 22. Пусть Γ1 , . . . , Γn — f -графы. Для каждого из f -графов Γiопределены перестановки τ Γi и µΓi на множестве его вершин Πi .

Произведениемf -графов Γ1 , . . . , Γn называется fn -граф Θ с множеством вершин Π = Π1 × · · · × Πn ,для которого перестановки τ 1 , µ1 , . . . , τ n , µn , определяющие его структуру, имеютвидτ i (u1 , . . . , un ) = (u1 , . . . , ui−1 , τ Γi (ui ), ui+1 , . . . , un ),µi (u1 , . . . , un ) = (u1 , . .

. , ui−1 , µΓi (ui ), ui+1 , . . . , un ),где ui ∈ Πi (i = 1, . . . , n). Произведение f -графов Γ1 , . . . , Γn будем обозначать черезΓ1 ⊙ · · · ⊙ Γn .Отметим, что для седловой особенности, являющейся прямым произведениематомов (V1 , ω1 , F1 ), . . . , (Vn , ωn , Fn ), бифуркационная диаграмма отображения момента F : V1 ×· · ·×Vn → Rn , заданного интегралами F1 , . . . , Fn , является объединением координатных гиперплоскостей. Поэтому в этом случае камеру Q, используемуюдля построения соответствующего fn -графа, можно однозначно задать условиямиF1 < 0, .

. . , Fn < 0.Следующее утверждение показывает, что операция прямого произведения атомов и операция произведения f -графов согласованы относительно соответствия{седловые особенности} → {fn -графы}, введенного в определении 18.Лемма 4. Пусть U — седловая особенность интегрируемой гамильтоновойсистемы с n степенями свободы, которая является прямым произведением атомов (V1 , ω1 , F1 ), .

. . , (Vn , ωn , Fn ). Пусть Γ1 , . . . , Γn — f -графы, соответствующиеэтим атомам (в смысле определения 13). Тогда fn -граф соответствующий особенности U при выборе камеры, заданной условиями F1 < 0, . . . , Fn < 0, являетсяпроизведением f -графов Γ1 ⊙ · · · ⊙ Γn .Доказательство. Операция сдвига вдоль одномерной орбиты гамильтоновадействия, описанная в шаге 3 процесса построения fn -графа по данной особенности, в случае прямого произведения атомов действует “тождественно”. Поэтому, осуществляя шаги 1–3, мы получим fn -граф, описанный в определении 22.Докажем теперь утверждение теоремы 7 для прямых произведений атомов.63Лемма 5.

Две седловые особенности, являющиеся прямыми произведениямиатомов, полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им fn -графы эквивалентны. При этом любой связный fn -граф,являющийся произведением f -графов, соответствует некоторой особенности, являющейся прямым произведением атомов.Доказательство. Пусть две седловые особенности U и U ′ , являющиеся прямыми произведениями атомов, полулокально эквивалентны. Тогда они являютсяпрямыми произведениями одних и тех же атомов (рассматриваемых с точностью долиувиллевой эквивалентности).

Действительно, из теоремы Элиассона следует, чтомножество особых точек ранга ≤ 1 в окрестности особого слоя седловой особенности представляет собой объединение двумерных подмногообразий, трансверсальнопересекающихся в особых точках ранга 0. Таким образом, сомножители прямогопроизведения однозначно (с точностью до полулокальной лиувиллевой эквивалентности) определены как n таких подмногообразий, трансверсально пересекающиесяв некоторой особой точке ранга 0.Аналогично, если связный fn -граф Θ является произведением некоторых f графов Γ1 , . .

. , Γn , то каждый из сомножителей Γi однозначно определен как связнаякомпонента подграфа, образованного ребрами i-го семейства fn -графа Θ.Учитывая эти два замечания, получаем, что доказываемое утверждение сводится к случаю одной степени свободы, т. е. следует из теоремы 5.Для того, чтобы обобщить лемму 5 на случай произвольных седловых особенностей, нужно перейти от прямых произведений к почти прямым произведениям (всилу теоремы 3 это и есть общий случай).Сначала упростим формулировку доказываемого утверждения.

Мы должны доказать следующее: если особенностям соответствуют эквивалентные fn -графы,то они эквивалентны. Здесь можно заменить “эквивалентные fn -графы” на “одини тот же fn -граф”. Действительно, в леммах 1 и 2 было показано, при изменениикамеры или симплектической структуры fn -граф, соответствующий особенности,заменяется на эквивалентный. Докажем, что любой fn -граф, эквивалентный данному, может быть получен таким образом.64Лемма 6. Пусть Θ — fn -граф, соответствующий седловой особенности(W, ω, F1 , . . . , Fn ) при выборе камеры Q.

Если Θ′ — fn -граф, эквивалентный Θ, тосуществуют симплектическая структура ω ′ на W и камера Q′ такие, что fn -графΘ′ соответствует особенности (W, ω ′ , F1 , . . . , Fn ) при выборе камеры Q′ .Доказательство. Пусть Γ1 , . . . , Γn — f -графы, образованные семействами ребер fn -графа Θ. Из доказательства леммы 2 ясно, что выбирая подходящим образомкамеру, мы можем реализовать переворачивание любого из них. Осталось доказать,что симплектическую структуру ω можно изменить так, чтобы изменилась ориентация ровно одного из f -графов Γ1 , .