Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 14

. . , Γn .Представим рассматриваемую особенность в виде почти прямого произведенияU/G (см. определение 8), где U = (V1 , ω1 , H1 ) × · · · × (Vn , ωn , Hn ). Изменяя знак улюбой из форм ωi , мы изменяем ориентацию соответствующих одномерных орбитгамильтонова действия, а значит и ориентацию одного из f -графов Γi (см. доказательство леммы 1).Итак, после замены (если необходимо) симплектической структуры и камерыдля одной из особенностей доказываемое утверждение можно переформулироватьследующим образом: если особенностям (W, ω, F1 , .

. . , Fn ) и (W ′ , ω ′ , F1′ , . . . , Fn′ ) соответствует один и тот же fn -граф Θ, то они эквивалентны.Для того, чтобы доказать это утверждение, мы будем использовать представление особенностей в виде минимальной модели (см. определение 15) и аналогичноепредставление fn -графов с помощью “минимального накрытия”, определяемого ниже.Как уже отмечалось, морфизмы fn -графов можно рассматривать как накрытия,сохраняющие ориентацию и раскраску ребер.

Говоря о регулярном накрытии (илипросто о действии группы на fn -графе), мы всегда будем подразумевать, что группадействует автоморфизмами fn -графа, т. е. при действии любого элемента группыориентация ребер сохраняется и ребра одного цвета переходят в ребра одного цвета.Определение 23. Накрытие fn -графа Θ связным fn -графом Θ′ , являющимсяпроизведением f -графов, будем называть минимальным накрытием, если не существует связного fn -графа Θ′′ , который также является произведением f -графов и65накрывает fn -граф Θ, и для которого существует морфизм Θ′ → Θ′′ , не являющийсяизоморфизмом.Иными словами, если рассматривать существование морфизма между fn графами как отношение частичного порядка, то минимальное накрытие задается минимальным элементом среди всех связных fn -графов, являющихся произведениями f -графов и накрывающих данный fn -граф Θ.

Как будет показано ниже(см. предложение 4), для любого связного fn -графа Θ такой минимальный элементсуществует и единственен. Прежде чем доказывать это утверждение, введем следующие обозначения.Путь в связном fn -графе Θ можно задавать начальной вершиной и последова−1тельностью символов из набора {a1 , b1 , b−11 , . . . , an , bn , bn }, где ai означает движениевдоль неориентированного ребра i-го семейства, а bi и b−1i означают движения вдольориентированного ребра i-го семейства в направлении, заданном ориентацией, и впротивоположном направлении соответственно.Замечание 5.

“Путь” в графе можно понимать как в топологическом, так и вкомбинаторном смысле (т. е. как непрерывный образ отрезка или как последовательность ребер). Каждому комбинаторному пути естественным образом соответствуетнепрерывный путь, если ввести параметризацию на ребрах и считать, что движениевдоль ребра задано этой параметризацией. Далее, говоря о путях, заданных последовательностью ребер, мы понимаем под этим именно такой непрерывный путь.−1Последовательности символов из набора {a1 , b1 , b−11 , . . . , an , bn , bn } будем назы-вать словами.

При этом слово будем называть несократимым, если оно не содержит−1двухсимвольных фрагментов вида ai ai , bi b−1i , bi bi . Ясно, что любой путь в связномfn -графе (с началом и концом в вершинах) однозначно с точностью до гомотопиизадается начальной вершиной и некоторым несократимым словом.Таким образом, если v0 — некоторая фиксированная вершина связного fn -графаΘ, то фундаментальную группу π1 (Θ, v0 ) можно рассматривать как группу, в которой элементами являются несократимые слова, а операция умножения заключаетсяв приписывании одного слова к другому и последовательном сокращении фрагмен−1тов вида ai ai , bi b−1i , bi bi (при этом пустое слово соответствует единичному элемен-ту).66Любое (связное) накрытие задается подгруппой в фундаментальной группе базы.

В частности, любой морфизм связных fn -графов φ : Θ′ → Θ задается подгруппой в π1 (Θ, v0 ). Эта подгруппа имеет вид φ∗ (π1 (Θ′ , v0′ )), где v0′ ∈ φ−1 v0 , причемразным прообразам точки v0 соответствуют сопряженные подгруппы. (По поводусвойств накрытий см., например, [69].)Рассмотрим в фундаментальной группе fn -графа π1 (Θ, v0 ) подгруппу HΘ,v0 , порожденную всеми коммутаторами вида−1ai aj a−1i aj ,−1bi bj b−1i bj ,−1ai bj a−1i bj ,−1bi aj b−1i aj(i ̸= j)и всеми сопряженными им элементами. Из определения fn -графа следует, что такая подгруппа корректно определена. Более того, для любого морфизма связныхfn -графов φ : Θ′ → Θ имеем φ∗ (HΘ′ ,v0′ ) = HΘ,v0 .

Отсюда получаем следующее утверждение.Лемма 7. Если связный fn -граф Θ′ накрывает fn -граф Θ (т. е. существуетморфизм Θ′ → Θ), то подгруппа в π1 (Θ, v0 ), соответствующая этому накрытию,содержит подгруппу HΘ,v0 .Замечание 6. Любая подгруппа в π1 (Θ, v0 ) определяет некоторое накрытие fn графа.

При этом раскраска и ориентация ребер естественным образом переносятсяс базы Θ на накрывающий граф. Поэтому окрестность каждой вершины накрывающего графа устроена так же, как окрестность вершины любого fn -графа, т. е.можно считать, что для накрывающего графа всегда выполнено условие (a) определения 16. Легко показать, что условие (b) определения 16 выполнено тогда и толькотогда, когда накрытие определяется подгруппой, содержащей HΘ,v0 , а условие (c)всегда выполнено, если выполнено условие (b).Таким образом, если в определении fn -графа не требовать его конечности, товерно и обратное утверждение к лемме 7: для любой подгруппы, содержащей HΘ,v0 ,соответствующий накрывающий граф является fn -графом.

В частности, накрытие, определяемое подгруппой HΘ,v0 , является “универсальным” (бесконечным) fn графом, накрывающим любой fn -граф. Отметим, что при n = 1 “универсальный”f -граф является просто деревом, поскольку в этом случае подгруппа HΘ,v0 тривиальна.67Выделим теперь среди накрытий, описанных в лемме 7, накрытия, являющиесяпроизведениями f -графов.Назовем одноцветным циклом любой замкнутый путь в fn -графе, заданный последовательностью символов из набора {ai , bi , b−1i } при некотором фиксированномi = 1, . . . , n.

Рассмотрим в фундаментальной группе fn -графа π1 (Θ, v0 ) подгруппуGΘ,v0 , порожденную всеми элементами группы HΘ,v0 , а также всеми одноцветнымициклами и всеми сопряженными им элементами.Лемма 8. Если связный fn -граф Θ′ , накрывающий fn -граф Θ, является произведением f -графов, то подгруппа в π1 (Θ, v0 ), соответствующая этому накрытию,содержится в подгруппе GΘ,v0 .Доказательство.

Пусть Θ′ = Γ′1 ⊙ · · · ⊙ Γ′n и φ : Θ′ → Θ — накрытие. Фиксируем некоторые вершины v0 ∈ Θ и v0′ ∈ Θ′ , для которых φ(v0′ ) = v0 . Утверждениелеммы означает, что образ любого замкнутого пути γ с началом в v0′ содержится вGΘ,v0 .Пусть путь γ задается словом w в π1 (Θ′ , v0′ ). Если w = w1 ci cj w2 , где w1 и w2 —−1некоторые слова, cj ∈ {aj , bj , b−1j }, ci ∈ {ai , bi , bi } и i ̸= j, то−1 −1w = w1 ci cj w2 = w1 ci cj c−1i cj w1 w1 cj ci w2 = hw1 cj ci w2 ,где h ∈ HΘ′ ,v0′ . Действуя таким образом, мы можем переставлять в слове w любыесоседние символы, соответствующие ребрам разного цвета. Поэтому слово w можнопредставить в видеw = hν1 . . . νn ,(5)где h ∈ HΘ′ ,v0′ , а каждое из слов νi составлено из символов ai , bi , b−1i .Получаем, что слово ν1 .

. . νn задает замкнутый путь в Θ′ = Γ′1 ⊙ · · · ⊙ Γ′n . Изопределения произведения f -графов и того, что каждое из слов νi содержит лишь′символы ai , bi , b−1i , следует, что каждое из слов νi задает замкнутый путь в Θ , т. е.является одноцветным циклом.Образ пути γ при отображении φ задается тем же самым словом w в π1 (Θ, v0 ).При этом φ переводит HΘ′ ,v0′ в HΘ,v0 , а одноцветные циклы в одноцветные циклы.Значит, образ γ при отображении φ лежит в GΘ,v0 .68Леммы 7 и 8 показывают, что все накрытия данного fn -графа Θ произведениями f -графов задаются подгруппами в π1 (Θ, v0 ), расположенными “между” HΘ,v0 иGΘ,v0 .

Для одного крайнего случая мы получаем “универсальный” fn -граф (см. замечание 6). Докажем, что другой крайний случай дает минимальное накрытие.Предложение 4. Для любого fn -графа Θ существует единственное минимальное накрытие Θ → Θ. Это накрытие является регулярным и задается подгруппой GΘ,v0 в π1 (Θ, v0 ). При этом fn -граф Θ изоморфен произведению Γ01 ⊙· · ·⊙Γ0n ,где Γ0i — связная компонента f -графа Γi , образованного ребрами i-го семейства fn графа Θ.Доказательство. Сначала проверим, что fn -граф Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n накрывает Θ.Пусть вершина v0 в fn -графе Θ соответствует вершине (u1 , . .

. , un ) в произведенииf -графов, где ui — вершина в f -графе Γ0i (см. определение 22).Существование накрытия Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n → Θ эквивалентно следующему: еслислово w задает замкнутый путь в Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n c началом в (u1 , . . . , un ), то это жеслово w задает замкнутый путь в Θ c началом в v0 . Это утверждение можно доказать, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 8. Представив слово w ввиде (5), получаем, что замкнутость соответствующего пути в Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n означаетзамкнутость каждого из (одноцветных) путей, соответствующих словам ν1 , .

. . , νn .Замкнутость пути, соответствующего слову νi , с началом ui в Γ0i , очевидно, эквивалентна замкнутости пути, соответствующего слову νi , с началом v0 в Γi , т. е. в Θ.Мы доказали, что накрытие φ : Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n → Θ существует. В силу леммы 8имеем φ∗ (π1 (Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n )) ⊂ GΘ,v0 . Для проверки обратного включения надо доказать следующее: если слово w задает элемент из подгруппы GΘ,v0 в π1 (Θ, v0 ), тоэто же слово w задает замкнутый путь в Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n с началом в (u1 , . . . , un ).Доказательство этого утверждения для образующих группы GΘ,v0 легко следует изопределения 22.Таким образом, мы доказали, что накрывающий fn -граф Θ, соответствующийподгруппе GΘ,v0 , имеет вид Γ01 ⊙ · · · ⊙ Γ0n .По определению подгруппа GΘ,v0 является нормальной в π1 (Θ, v0 ).

Поэтому соответствующее ей накрытие Θ → Θ регулярно.69Из леммы 8 следует, что если связный fn -граф Θ′ накрывает fn -граф Θ и является произведением f -графов, то существует накрытие Θ′ → Θ. Это означает, чтоΘ → Θ — единственное минимальное накрытие.Покажем теперь, что переход к минимальному накрытию для fn -графов соответствует переходу к минимальной модели (см. определение 15) для седловых особенностей.Лемма 9.

Пусть (W, ω, F1 , . . . , Fn ) — седловая особенность и U — ее минимальная модель. Если fn -граф Θ соответствует особенности W , то его минимальноенакрытие Θ соответствует особенности U .Доказательство. Из леммы 4 следует, что fn -граф Θ̃, соответствующий особенности U = V1 × · · · × Vn , является произведением f -графов Γ1 ⊙ · · · ⊙ Γn , гдеΓi соответствует атому Vi . Накрытие Φ : U → W регулярно и задается свободнымпокомпонентным действием ρ некоторой конечной группы G на U (определение 8).Действие ρ индуцирует действие ρ̂ группы G на Θ̃ (см. определение 21), котороезадает регулярное накрытие Φ̂ : Θ̃ → Θ.Из лемм 7 и 8 следует, что HΘ,v0 ⊂ Φ̂∗ (π1 (Θ̃, ṽ0 )) ⊂ GΘ,v0 , где Φ̂(ṽ0 ) = v0 .

Предположим, что Φ̂∗ (π1 (Θ̃, ṽ0 )) ̸= GΘ,v0 . Тогда, поскольку подгруппа GΘ,v0 порожденавсеми элементами из HΘ,v0 и одноцветными циклами, существует одноцветный циклν ∈ GΘ,v0 \ Φ̂∗ (π1 (Θ̃, ṽ0 )) (пусть ν имеет цвет i).Ясно, что при действии фундаментальной группы fn -графа на накрытии, являющемся произведением f -графов, любой одноцветный цикл действует тождественно на всех сомножителях другого цвета. Поэтому для элементаg ∈ G, соответствующего одноцветному циклу ν при каноническом изоморфизмеπ1 (Θ, v0 )/Φ̂∗ (π1 (Θ̃, ṽ0 )) → G, действие автоморфизма ρ̂(g) является тождественнымна всех Γj при j ̸= i и нетривиальным на Γi .Рассуждая так же, как при доказательстве леммы 5, получаем, что действие морфизма ρ(g) на прямом произведении U является тождественным для всех атомовVj при j ̸= i и нетривиальным для Vi . Это противоречит тому, что U — минимальная модель.

Значит, Φ̂∗ (π1 (Θ̃, ṽ0 )) = GΘ,v0 , В силу предложения 4 это означает, чтоΘ̃ = Θ.70Перейдем, наконец, к почти прямым произведениям.Лемма 10. Пусть U/G и U ′ /G′ — седловые особенности, являющиеся минимальными моделями, такие, что им соответствует один и тот же fn -граф Θ.Тогда группы G и G′ изоморфны и существует диффеоморфизм Ψ : U → U ′ , который задает лиувиллеву эквивалентность прямых произведений U и U ′ и сопрягаетдействия группы G = G′ на них.Доказательство. Из леммы 9 следует, что обоим прямым произведениям U =(V1 , ω1 , H1 ) × · · · × (Vn , ωn , Hn ) и U ′ = (V1′ , ω1′ , H1′ ) × · · · × (Vn′ , ωn′ , Hn′ ) соответствуетодин и тот же fn -граф Θ = Γ1 ⊙ · · · ⊙ Γn , являющийся минимальным накрытиемдля Θ. В силу леммы 5 особенности U и U ′ эквивалентны.