Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 5

В. Матвеевым, А. В. Болсиновым (см. [63] ,[9], [16], [11]). Позже эта теория былаподробно изложена в книге А. В. Болсинова, А. Т. Фоменко [12]. В частности, тамопределяются инварианты, описывающие топологию особенностей и изоэнергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (молекулы или инварианты Фоменко–Цишанга), а также приведено множествопримеров систем, исследованных методами теории топологической классификации(см. также [68], [41], [42], [104], [103], [87], [10], [38], [120], [52], [39], [23]).Глава 5 состоит из трех разделов 5.1, 5.2, 5.3, в которых исследуется топологиятрех различных систем. Выбор примеров, рассматриваемых в главе 5, был отчастимотивирован тем, чтобы продемонстрировать применение различных методов, применяемых при топологическом анализе интегрируемых систем.

(например, когдагамильтоновы поля неполны или когда система обладает бигамильтоновой структурой).В разделе 5.1 главы 5 исследуется один из интегрируемых случаев уравненийЭйлера на семействе шестимерных алгебр Ли (содержащем so(4), so(3, 1), e(3)), обнаруженных сравнительно недавно А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым, В. В. Соколовым в работах [14], [56], [57] (см. также [15]). В разделе 5.1 мы рассматриваемодин из них (на алгебре Ли so(4)), который обычно называют “случаем Соколова”.Гамильтонианы всех этих случаев — квадратичные функции на алгебре Ли, аинтегралы — полиномы степени 4.

Алгебраические свойства этих интегрируемыхслучаев пока не очень понятны, хотя похоже, что имеются качественные отличия отизвестных ранее случаев интегрируемости (например, от случая Ковалевской, гдедополнительный интеграл также имеет степень 4). Поэтому представляет интересисследование этих интегрируемых случаев с топологической точки зрения.20В работах [64], [65] Г. Хагигатдуст исследовал топологию изоэнергетических поверхностей для случая Соколова, т. е. совместных поверхностей уровня инвариантовалгебры Ли so(4) и гамильтониана.

В разделе 5.1 описано построение бифуркационных диаграмм отображения момента (теоремы 29 и 30 — результаты, полученныесовместно с Г. Хагигатдустом), после чего изложены результаты автора: найденытипы критических точек ранга 0 (теорема 31), определены перестройки торов Лиувилля (теорема 32), а также вычислены инварианты Фоменко (теорема 33). Темсамым получена классификация изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.В разделе 5.2 главы 5 исследуется задача двух центров на двумерной сфере.Впервые вопрос о гравитационных взаимодействиях в пространствах постоянной кривизны был поставлен Н.

И. Лобачевским, который изучал обобщения законапритяжения для пространства постоянной отрицательной кривизны.Лобачевский пишет [30, стр. 159]: “. . . в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной,другие своей особой Геометрии. Чтобы пояснить эту мысль, полагаем, как и многие в этом уверены, что силы притягательные слабеют от распространения своегодействия по сфере. В употребительной Геометрии величину сферы принимают 4πr2для полупоперечника r, от чего сила должна уменьшаться в содержании к квадратурасстояния. В воображаемой Геометрии нашел я поверхность шара π(er − e−r )2 , итакой Геометрии, может быть, следуют молекулярные силы.

. . Впрочем, пусть эточистое предположение только, для подтверждения которого надобно поискать других убедительнее доводов. . . ”Лобачевский рассуждает здесь не о потенциале, а о силе, но первообразная функции1,(er −e−r )2выписанной Лобачевским, есть (с точностью до коэффициента) cth r.Именно такой потенциал рассматривается в настоящее время, как правильное обобщение ньютоновского потенциала1rдля пространства Лобачевского (см., напри-мер, [77], [25], [89]).В дальнейшем различные задачи механики на пространствах постоянной кривизны рассматривались многими авторами.

Еще в XIX веке В. Киллинг [88] изучал движение точки в поле, создаваемом ньютоновским потенциалом на трехмер-21ной сфере и трехмерном пространстве Лобачевского, а также динамику n-мерноготвердого тела на пространствах постоянной кривизны. Отметим также работы Н. Е. Жуковского [22] о движении псевдосферической (“плоской”) пластинкина плоскости Лобачевского и Э. Шредингера [70] о квантовом аналоге задачи Кеплера на трехмерной сфере. Закон притяжения и законы Кеплера в пространствахпостоянной кривизны неоднократно переоткрывались и обобщались уже в недавнеевремя многими авторами (см.

[84], [110], [77], [89], [25], [116]).Топология задачи о движении точки по двумерной сфере (со стандартной метрикой постоянной положительной кривизны) в поле, создаваемом двумя “ньютоновскими” центрами (т. е. с потенциалами, пропорциональными ctg r, где r — расстояние до центра) исследована в разделе 5.2. В частности, для этой задачи найденыинварианты Фоменко–Цишанга, которые полностью описывают топологию лиувиллевых слоений на изоэнергетических поверхностях системы.Гамильтоновы поля, задающие эту систему не полны.

Однако можно провестирегуляризацию и после этого применить общую теорию. Используемая процедурарегуляризации подробно описана в разделе 5.2.3 (см. теорему 34). Используя накрытие сферы тором (разветвленное в особых точках системы), мы, фактически,сводим задачу вычисления инвариантов Фоменко–Цишанга для исходной системык задаче вычисления этих инвариантов для системы на торе, которая существеннопроще в силу разделения переменных. Основным моментом в вычислении инвариантов является построение допустимых систем координат, описанное в разделе 5.2.7.Ответ в виде списка инвариантов Фоменко–Цишанга для рассматриваемой задачи(при различных значениях параметров системы) приведен в теореме 37.Материал раздела 5.2 содержит результаты, опубликованные автором в совместной работе с Т.

Г. Возмищевой [17]. Теорема 34 (о регуляризации), теорема 35 (о боттовости) и построение допустимых систем координат для всех случаев (раздел 5.2.7)принадлежат автору. Некоторые из остальных результатов получены Т. Г. Возмищевой или совместно, что более точно отмечено в тексте раздела 5.2.В разделе 5.3 главы 5 рассматривается система, описывающая динамику многомерного твердого тела (волчок Эйлера–Манакова на алгебре Ли so(n)). В частности,на этом примере продемонстрированы некоторые методы топологического анализа22интегрируемых систем в многомерном случае.

Кроме того при исследовании этойсистемы существенно используется тот факт, что она обладает бигамильтоновойструктурой.Отметим, что интегрируемость многих систем, возникающих в механике, геометрии, математической физике, тесно связана с их бигамильтоновостью. Основы такого подхода были заложены в работе Ф. Магри [93], после чего он развивался многимиавторами (см.

[5], [6], [78], [19], [94], [111]). Было обнаружено, что многие классические интегрируемые системы обладают бигамильтоновой структурой, и, наоборот,использование бигамильтоновой “технологии” помогло обнаружить много новых интересных примеров интегрируемых систем (см. [13], [85], [92], [109], [101], [102].Использование бигамильтонова подхода помогает и при изучении особенностейинтегрируемых систем (особенно в многомерном случае, когда прямые вычислениябывают чрезвычайно сложны). Основная идея заключается в том, что структураособенностей бигамильтоновой системы определяется особенностями соответствующего пучка согласованных скобок. Поэтому, например, для линейных скобок Пуассона многие вопросы о топологической структуре особенностей соответствующейсистемы можно переформулировать на достаточно простом алгебраическом языкеи получить ответ в тех же простых терминах.Сначала мы описываем общие понятия и факты, связанные с бигамильтоновымисистемами (раздел 5.3.1).

Затем (в разделе 5.3.2) приводится описание рассматриваемой системы (многомерное твердое тело).Далее мы доказываем некоторые факты об особенностях достаточно произвольных бигамильтоновых систем (накладываемые ограничения перечислены в разделе 5.3.3), из которых затем выводятся соответствующие результаты для рассматриваемой системы.В разделе 5.3.4 получено описание множества всех особых точек бигамильтоновой системы в терминах множества особенностей соответствующего пучка скобокПуассона (теорема 41) и описание множества особенностей рассматриваемой системы (теоремы 42 и 43).В разделе 5.3.5 исследуются положения равновесия, для которых получено описание в общем случае (теорема 44) и для многомерного твердого тела (теорема 45).23Кроме того, доказано достаточное условие невырожденности для рассматриваемойсистемы (теорема 47).Перечислим основные результаты, полученные в диссертации• Решена задача полулокальной классификации чисто гиперболических особенностей ранга 0 для интегрируемых гамильтоновых систем с любым числомстепеней свободы.