Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, страница 2

В. Болсинов ввел еще один инвариант седловой особенности, называемый “l-типом”, и в результате получил полный списокособенностей сложности 2 для систем с двумя степенями свободы, состоящий из 39особенностей. Круговые молекулы для всех 39 особенностей сложности 2 были построены В. С. Матвеевым [33]. Как и в случае сложности 1, оказалось, что все ониразличны.Случай особенностей сложности 1 для трех степеней свободы исследованВ.

В. Калашниковым [24]. Он использует подход, основанный на разложении особенностей в почти прямое произведение, предложенный Н. Т. Зунгом [121] (см. такжетеорему 3). В работе [24] сформулирована теорема о том, что количество особенностей сложности 1 для случая трех степеней свободы равно 32, и приведен ихсписок. Как было потом выяснено, в этом списке имеются ошибки (отметим, чторассуждения, использованные В. В. Калашниковым, правильны, а ошибки в списке,вероятно, возникли на последнем этапе доказательства, который сводится к перебору и в работе не приведен).

Правильный список седловых особенностей сложности1 для трех степеней свободы приведен в работе автора [48] (см. также таблицу 1 вразделе 2.7).Отметим также обобщение упомянутого выше результата Л. М. Лермана иЯ. Л. Уманского, полученное в работе [24] для систем с любым числом степеней свободы: особенности сложности 1 полулокально эквивалентны тогда и только тогда,когда их особые слои гомеоморфны.Для систем с двумя степенями свободы ни топология особого слоя, ни l-типособенности уже не являются полными инвариантами (даже для особенностейсложности 2).

Как было показано В. С. Матвеевым [34] (см. также [73]), пара{топология особого слоя, l-тип} (этот инвариант называется C-l-типом особенности) однозначно определяет седловую особенность с точностью до полулокальнойлиувиллевой эквивалентности в случае двух степеней свободы. Отметим, что C-lтип особенности можно рассматривать и в случае любого числа степеней свободы,но неизвестно, будет ли этот инвариант полным для систем с числом степеней свободы больше двух.8Отметим также, что круговая молекула, которая является полным инвариантомдля особенностей сложности 1 и 2, в общем случае таковым не является.

Примеры неэквивалентных особенностей с одинаковыми круговыми молекулами были построены А. В. Грабежным (см. раздел 7.3 в обзоре [74]. Простейший из них имеетсложность 4.Одним из важных результатов о полулокальной структуре седловых особенностей любой сложности является теорема Н. Т.

Зунга [121] о разложении любой такой особенности в почти прямое произведение атомов (см. теорему 3). Для задачи классификации важен вопрос о единственности такого разложения. Н. Т. Зунгвводит понятие минимальной модели (см. определение 15) особенности (которуюон также называет ее “канонической моделью”) и доказывает утверждение о том,что для каждой особенности существует единственная минимальная модель [121,Proposition 7.4].

Несмотря на то, что это утверждение сформулировано им для особенностей произвольного типа и ранга и в такой общности неверно (см. обсуждение в конце раздела 2.2), для седловых особенностей ранга 0 утверждение о единственности минимальной модели (и его доказательство, приведенное в работе [121])верно. Это утверждение следует также из результатов диссертации (см. предложение 5).Отметим, что язык почти прямых произведений очень удобен для описаниясписков особенностей и особенностей конкретных систем.

Однако теорема Зунга непозволяет непосредственно получить список особенностей данного типа и даннойсложности, поскольку не дает ответа на вопрос о том, как устроены сомножителипочти прямого произведения и действие группы на них.Задача полулокальной классификации седловых особенностей произвольнойсложности и для произвольного числа степеней свободы решена в главе 2 (см. также [46]). А именно, каждой невырожденной седловой особенности ранга 0 сопоставляется комбинаторный объект (fn -граф), являющийся графом с дополнительнойструктурой в виде раскраски ребер и ориентации некоторых ребер (см.

определение 16). Это сопоставление становится однозначным, если рассматривать fn -графыс точностью до применения к ним двух простых операций, называемых изменениемориентации и переворачиванием (см. определение 19). Тем самым задача полуло-9кальной классификации седловых особенностей ранга 0 сводится к задаче перечисления fn -графов.Один из основных результатов главы 2 — теорема 7 (теорема классификации),утверждающая, что седловые особенности интегрируемых гамильтоновых систем сn степенями свободы полулокально лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда,когда соответствующие им fn -графы эквивалентны (при этом любой связный fn граф соответствует некоторой седловой особенности).Доказательство теоремы 7 основано на том, что построенное соответствие междуневырожденными седловыми особенностями ранга 0 и fn -графами является естественным в следующем смысле: операция прямого произведения простейших особенностей (атомов) соответствует операции произведения f -графов (см.

определение 22), а факторизация прямых произведений особенностей по свободному покомпонентному действию конечной группы соответствует аналогичной факторизации fn -графов. В силу теоремы Зунга все особенности, удовлетворяющие условиюнерасщепляемости, могут быть получены из атомов при помощи этих двух операций.Опишем кратко структуру главы 2.В разделе 2.1 вводится понятие f -графа (это fn -граф при n = 1), с помощьюкоторого решается задача классификации седловых особенностей для систем с одной степенью свободы (т. е.

атомов). В разделе 2.2 приводится обзор известных ранее результатов о классификации седловых особенностей. В разделе 2.3 описанопостроение инварианта (fn -графа). Раздел 2.4 посвящен доказательству теоремыклассификации.В разделе 2.5 дана другая интерпретация построенного инварианта (на языкенаборов перестановок, удовлетворяющих некоторым условиям коммутирования) иописан алгоритм, позволяющий получить список седловых особенностей сложности k для систем с n степенями свободы (в случае двух степеней свободы похожийалгоритм был предложен автором в совместной работе с В.

С. Матвеевым [35]).Некоторые результаты вычислений по разработанным алгоритмам для особенностей малой сложности и малого числа степеней свободы приведены в предложениях 8 и 13. Отметим, что программа, реализующая указанный алгоритм, выда-10ет, конечно, не только количество, но и список особенностей. В частности, в разделе 2.7 приведен список из 32 особенностей сложности 1 для трех степеней свободы.В разделе 2.6 исследуются вопросы, связанные с описанием сомножителей минимальной модели седловой особенности. В частности, доказано, что если атом V является сомножителем минимальной модели для седловой особенности сложности kинтегрируемой гамильтоновой системы с n степенями свободы, то его сложность |V |удовлетворяет неравенству |V | ≤ k22k и является делителем числа k2n−1 (теорема 9;см. также [44]).Отметим также следующий результат, полученный в разделе 2.6 (теорема 10):если атом является сомножителем минимальной модели для некоторой особенностисложности k, то он также является сомножителем минимальной модели для некоторой особенности с числом степеней свободы n = 2k + 1 (в том числе, возможно,меньшей сложности).

Это утверждение обобщает результат В. В. Калашникова [24](на случай любой сложности) о том, что сомножителями минимальной модели особенности сложности 1 (для любого числа степеней свободы) могут быть лишь четыре атома B, D1 , C2 , P4 (которые “появляются” при классификации особенностей стремя степенями свободы).В разделе 2.7 более подробно исследованы особенности сложности 1. Доказано,что в этом случае в каждом классе эквивалентности fn -графов сложности 1 можно однозначно выбрать “простой” fn -граф (см. определение 24 и предложение 9).Это позволяет упростить формулировку теоремы классификации для особенностейсложности 1, заменив в ней “эквивалентность” fn -графов на “изоморфность” (см.теорему 11).Еще один эффект, обнаруженный для особенностей сложности 1, заключаетсяв том, что перестановки, соответствующие данному fn -графу сложности 1, задают на множестве его вершин структуру аффинного пространства (над полем Z2 ) инабор аффинных преобразований (см.

предложение 11). Это позволяет переформулировать теорему классификации для особенностей сложности 1 в алгебраическихтерминах (см. теорему 13) и упростить алгоритм их перечисления (результат вычислений для малого числа степеней свободы приведен в предложении 13). В част-11ности, таким образом получен список особенностей сложности 1 для трех степенейсвободы (см. таблицу 1 в разделе 2.7.4).Следует отметить, что для всех известных автору примеров интегрируемых гамильтоновых систем, возникающих в механике, физике, геометрии, условие нерасщепляемости выполнено (отметим также, что для невырожденных особенностейсложности 1 условие нерасщепляемости выполнено по определению).

Поэтому рассмотрение такого класса особенностей и составление их списков вполне оправдано.Однако с теоретической точки зрения вопрос о существовании и структуре особенностей, не удовлетворяющих условию нерасщепляемости, также представляетинтерес.В разделе 2.8 приведен пример особенности, не являющейся особенностью типапочти прямого произведения (и, в частности, не удовлетворяющей условию нерасщепляемости). При построении этого примера мы явным образом описываем 4мерное симплектическое многообразие и пару коммутирующих функций на нем.Доказательство того, что построенная особенность не является особенностью типапочти прямого произведения (предложение 14) основано на том, что ее особый слойустроен иначе, чем особые слои почти прямых произведения. А именно, особый слой(как и в стандартной ситуации) имеет структуру двумерного комплекса, в которомточки ранга r образуют r-мерные клетки.