Группа Лоренца и двойные симметрии в теории поля и физике частиц, страница 3

Выглядит правдоподобным, но не доказанным,предположение, что та же группа порождает вторичную симметрию теориифермионного поля с представлением S F в варианте, даваемом следствием2 (п.3).12Операторы Dµ из соотношения (4), задаваемые в пространствах какфермионных, так и бозонных полей, будем далее снабжать дополнительным индексом F и B соответственно.Преобразования вторичной симметрии (4), порождаемые полярным 4вектором группы L↑ , оставляют лагранжиан (29) неизменным, если операторы Qτ lm удовлетворяют системе уравнений[DF µ , Qτ lm ] =Xτ ′ ,l′ ,m′Qτ l m DτBµ′ l′ m′ ,τ lm ,′ ′′(32)Bµгде DτBµ.′ l′ m′ ,τ lm - матричный элемент оператора DУтверждение 1.

Пусть трансформационные свойства относительно преобразований двойной симметрии входящего в лагранжиан (29) фермионного поля даются Следствием 1, а бозонного поля – Следствием 3 (п.1),в котором k1 = 1. Тогда система уравнений (32) эквивалентна уравнениюотносительно оператора Q ≡ Q(0,1)00DF µ QDµF = (H F − H B /2)Q(33)и системе независимых друг от друга равенств2 n F= (n + 1)[Dνn , . . . , [DνF2 , [DνF1 , Q]] . .

.] ×BH × DBν1 DBν2 . . . DBνn (0,1)00,(0,n+1)lm ,!(0,n+1)lmQ(34)где n ≥ 1, H F = DF µ DµF и H B = DBµ DµB .Требование инвариантности лагранжиана (29) относительно ортохронной группы Лоренца и уравнение (33) дают для всех неприводимых представлений (l0 , l1 ) группы L↑+ , принадлежащих представлению S k1 (6):Qξ(l0 ,l1 )lm = q(l0 , l1 )ξ(l0 ,l1 )lm ,(35)q(−l0 , l1 ) = q(l0 , l1 ),(36)(k1 − l0 − 1)(k1 + l0 )q(l0 + 1, l1 ) + (k1 − l0 )(k1 + l0 − 1)q(l0 − 1, l1 )−−(k1 − l1 − 1)(k1 + l1 )q(l0 , l1 + 1) − (k1 − l1 )(k1 + l1 − 1)q(l0 , l1 − 1) == z(l1 − l0 )(l1 + l0 )q(l0 , l1 ),(37)uN (uN + N + 1) − wN (wN + N + 1)1 1,q ± , + N = 2q02 2N (N + 1)(u − w)(2 + u + w)(38)где z = 2 − H B /H F .Величины q(l0 , l1 ), являющиеся решением системы уравнений (36) и (37)при k1 = 3/2, можно записать в следующем виде:!13√√где N = l1 − 1/2, u = (z + z 2 − 4)/2, w = (z − z 2 − 4)/2, а q0 – произвольная константа.Утверждение 2.

Пусть трансформационные свойства относительно преобразований двойной симметрии входящего в лагранжиан (29) фермионного поля даются Следствием 2 (п.3), а бозонного поля – Следствием 3 (п.2).Если нетривиальный лагранжиан (29) существует, то для матричных элементов скалярного оператора Q справедлива формулаq(l0 , l1 ) = (−1)l1 −1/2 (l1 + l0 )q0 для четных l1 + l0 ,(−1)l1 −1/2 (l1 − l0 )q0 для нечетных l1 + l0 ,(39)где q0 - произвольная константа.В главе 4 находятся характеристики спектров масс в двух простейшихвариантах теории фермионных полей класса ISFIR, которая наряду с релятивистской инвариантностью обладает также спонтанно нарушенной вторичной симметрией, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторнымпредставлением ортохронной группы Лоренца.В обоих рассматриваемых вариантах теории, отвечающих Следствиям1 и 2 (п.2), поле преобразуется по представлению S 3/2 ((6) при k1 = 3/2)и подчиняется получаемому из лагранжиана (3) уравнению типа Гельфанда–Яглома, которое в системе покоя частицы принимает вид(M Γ0 − R)ψM 0 = 0.(40)Мы полагаем, что массовый оператор R из уравнения (40) всецело обусловлен спонтанным нарушением вторичной симметрии, когда не равнынулю вакуумные средние скалярных компонент одного или нескольких бозонных полей, т.е.

чтоRξ(± 21 ,l1 )lm = r(l1 )ξ(± 12 ,l1 )lm =X iλqi1i (± , l1 ) ξ(± 12 ,l1 )lm ,2(41)причем при каждом значении номера i величины qi (±1/2, l1 ) даются формулой (38) со своими значениями параметров zi и q0i .Так как операторы Γ0 и R характеризуются матричными элементами,диагональными по спину и по его третьей проекции, и коммутируют с оператором пространственного отражения P , то с самого начала рассматриваются такие решения ψM 0 уравнения (40), которые обладают определенными значениями спина, его третьей проекции и пространственной четности.14Если четность равна (−1)l−1/2 , то вектор ψM 0 , удовлетворяющий уравнению (40) при M = M0 , можно записать в форме следующего разложения+∞X ψM 0 =l1 =l+1χl (l1 )ξ(− 12 , 21 +l1 )lm+ χl (l1 )ξ( 21 , 12 +l1 )lm.(42)Вектор l1 [−χl (l1 )ξ(−1/2,l1 )lm +χl (l1 )ξ(1/2,l1 )lm ], P -четность которого равна(−1)l+1/2 , тоже удовлетворяет уравнению (40), но при M = −M0 .В терминах компонент χl (l1 ) уравнение (40) принимает видP!q(l1 − l)(l1 + l + 1)χl (l1 + 1) +2l+11!q(l1 − l − 1)(l1 + l)1+Dχl (l1 − 1) −22l−111D(l)(2l+1)1r(l1 ) χl (l1 ) = 0,−−4l12 − 12M c01D2(43)где l1 ≥ l + 1.

Функция D(j) от полуцелого аргумента j описывается формулойD(j) = 1,(44)если вторичная симметрия теории порождается полярным 4-векторнымпредставлением группы L↑ (следствие 1), и формулой1D(j) = (−1)j− 2 j,(45)если вторичная симметрия теории порождается аксиальным 4-векторнымпредставлением группы L↑ (следствие 2 (п.2)).Мы считаем некоторое значение параметра M из уравнения (40) точкой дискретной части спектра масс, если выполняется условие конечностиамплитуд для любого значения модуля 3-импульса p|(ψM 0 , RψM p )| < +∞,(46)и точкой непрерывной части спектра масс, если(ψM ′ 0 , RψM p ) = a(p)δ(M ′ − M ),(47)где a(p) – некоторое ненулевое число.

При p = 0 условие конечности амплитуд превращается в условие нормируемости решений уравнения (40).В задаче с одним параметром z условие конечности амплитуд и условиенормируемости решений приводят к одинаковому спектру везде, кроме области |z| < 2.15Найдены характеристики спектров масс в двух ситуациях спонтанного нарушения вторичной симметрии: (1) оно вызывается одним бозоннымполем класса ISFIR; (2) оно вызывается двумя бозонными полями. В ситуации (1) рассмотрены по-отдельности три существенно разные областизначений параметра z: (−∞, −2], (−2, 2) и (2, +∞). В ситуации (2) внимание уделено только области z1 ∈ (2, +∞), z2 ∈ (−2, 2).В случае, когда вторичная симметрия теории нарушена спонтанно, найти решения уравнения (43) в виде элементарных или специальных функций, конечных или бесконечных рядов не удается.

Не удается найти ианалитические формулы для спектров масс теории. Мы, однако, в состоянии получить ряд заключений относительно спектров масс, основываяськак на аналитических выражениях для входящих в уравнение (43) величин, так и на их асимтотическом поведении и на численых расчетах.Непрерывные части спектров масс теории в обоих рассматриваемых ситуациях отсутствуют.Результаты исследования спектров масс теории в ситуации (1) следующие.В области параметра |z| < 2 спектр масс пустой.Доказано, что в области параметра z ∈ (−∞, −2] ∪ (2, +∞) спектр массограничен снизу, что само по себе уже крайне важно ввиду результатоввсех прежних релятивистских подходов к описанию частиц с бесконечнымчислом степеней свободы.Отметим только одну деталь характеристик спектров масс в областипараметра z ≤ −2. В варианте теории, соответствующем Следствию 1, частицы при любом значении спина обладают одной и той же пространственной четностью.

В варианте теории, отвечающем Следствию 2 (п.2), спектрмасс является непустым, если пространственная четность частиц со спином l равна (−1)l−1/2 (по отношению к P -четности основного состояния),и пустым, если четность равна (−1)l+1/2 .В области параметра z > 2 варианты теории, даваемые Следствиями 1 и2 (п.2), отличаются друг от друга упорядочением уровней в зависимости отспина и P -четности.

В обоих вариантах в качественном плане спектры масссоответствуют экспериментальной картине нуклонных резонансов: каждому значению спина отвечает бесконечное число состояний с массами, простирающимися до бесконечности, и с обеими значениями пространственнойчетности; наименьшее значение массы для данного спина растет с ростомспина. Зависимость масс от параметра z и от спина и четности состояния lP в описываемом Следствием 1 варианте теории фермионных полей16класса ISFIR с двойной симметрией, порождаемой полярным 4-векторнымпредставлением ортохронной группы Лоренца, изображена на рисунке 1.10987654321022.12.22.32.42.52.62.72.82.93Рис. 1Удовлетворительного количественного согласия с уровнями нуклонныхрезонансов теория с одним параметром z не дает.

Показано, что в первомприближении такое согласие достигается в ситуации с двумя параметрамиz: z1 = 2.036, z2 = 0.14,– в варианте теории, отвечающем Следствию 1.В главе 5 проанализированы следствия отказа от предположения, чтонуклон является дираковской частицой, в рамках которого были полученыформулы Розенблюта и Ахиезера–Рекало, описывающие соответвественно угловое распределение вторичных электронов и поляризацию конечныхпротонов в экспериментах по упругому рассеянию электронов на протонах.Все рассуждения и выводы настоящей главы имеют одинаковую силудля широкого, точно описанного, класса представлений собственной группы Лоренца, разложимых в конечную или бесконечную прямую сумму конечномерных или бесконечномерных неприводимых представлений, содержащих спин 1/2.17Электромагнитный ток нуклона, сопоставляемого некоторому из этихпредставлений S0 , берется в самом общем виде, а именно, как сумма счетного множества слагаемых:J µ (p, p0 ) = ie ψ(p), Γµ K0 (Q2 ) + Λµν (p, p0 )qν ψ(p0 ) ,гдеihΛµν (p, p0 ) ≡ Γµν K1 (Q2 ) + Γµνν1 (pi1 )ν1 K2i1 (Q2 ) ++ .

. . + Γµνν1 ...νj (pi1 )ν1 . . . (pij )νj K(n+1)i1 ...ij (Q2 ) + . . .(48)(49)В соотношении (49) Γµν и Γµνν1 ...νj (j = 1, 2, . . .) – антисимметричные поиндексам µ и ν матричные тензорные операторы группы Лоренца (антисимметричность указанных операторов обеспечивает сохранение тока J µи калибровочную инвариантность соответствующего лагранжиана); pk ∈{p0 , p} для любого индекса k.Предполагается, что волновая функция нуклона ψ(p) подчиняется некоторому релятивистски-инвариантному уравнению вида(Γµ pµ − R)ψ(p) = 0.(50)Двум независимым состояниям нуклона в его системе покоя можно поставить в соответствие векторыψm (p0 ) =X(l0 ,l1 )∈S0u(l0 ,l1 ) 12 m (0)ξ(l0 ,l1 ) 21 m ,(51)где m = −1/2, 1/2, причемu(l0 ,l1 ) 12 − 21 (0) = u(l0 ,l1 ) 12 21 (0),u(− 12 ,l1 ) 12 m (0) = ru( 12 ,l1 ) 12 m (0).(52)Здесь величина r – четность состояния, равная +1 или -1.В лабораторной системе отсчета вектор состояния нуклона, двигающегося со скоростью v вдоль третьей оси, описывается равенствомψm (p) =XX(l0 ,l1 )∈S0 lгдеu(l0 ,l1 )lm (α)ξ(l0 ,l1 )lm ,(l ,l )(53)0 1(54)u(l0 ,l1 )lm (α) = Alm,1 (α)u(l ,l ) 1 m (0),0 1 22m√(l0 ,l1 )причем th α = v = p/ p2 + M 2 .

В формуле (54) величина Alm,1 (α) явля2mется матричным элементом конечного преобразования собственной группыЛоренца.18Дано строгое доказательство того, что независимо от представлениягруппы L↑+ , сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2,угловое распределение вторичных электронов в поцессе упругого рассеяния неполяризованных электронов на неполяризованных протонах даетсяформулой Розенблюта, в которой роль электрического GE и магнитногоGM формфакторов играют следующие величиныC(ψ+1/2 (p), [K0 (Q2 )R − M q 3 Λ03 (p, p0 )]ψ+1/2 (p0 )), (55)τ +1MC= √ (ψ+1/2 (p), [K0 (Q2 )Γ1 + q 0 Λ10 (p, p0 ) −τ−q 3 Λ13 (p, p0 )]ψ−1/2 (p0 )),(56)GE = √GMгдеC = (ψ+1/2 (p0 ), Rψ+1/2 (p0 ))−1 .(57)Доказано также, что для процесса упругого рассеяния поляризованныхэлектронов на неполяризованных протонах справедлива формулаGEPx E + E ′ ch α=− ··tg(θ/2),GMPz2MD(α)(58)где Px и Pz – соответственно поперечная (в плоскости импульсов всех частиц) и продольная поляризации протона отдачи, E и E ′ – энергия электрона соответственно в начальном и конечном состояниях, θ – угол рассеянияэлектрона.

Функция D(α) из соотношения (58) дается выражениемD(α) =гдеD0−1XXτ ′ ,τ ∈S0 luτ ′ l 21 (α)ξτ ′ l 12 , (l + 1/2)uτ l− 12 (α)ξτ l 21 ,D0 = (ψm (p0 ), ψm (p0 )).(59)(60)Обнаружено и математически изящно доказано следующее замечательное равенствоD(α) = ch α(61)для любого из рассматриваемых нами представлений S0 группы L↑+ .Соотношение (58) вместе с равенством (61) воспроизводит формулу Ахиезера–Рекало вне зависимости от представления собственной группы Лоренца, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2.В главе 6 решен ряд вопросов относительно аналитического описания ичисленных расчетов электромагнитных формфакторов недираковских частиц со спином покоя 1/2, даваемых формулами (55)–(57).19Найдена общая структура матричных антисимметричных тензорныхоператоров второго ранга.