Группа Лоренца и двойные симметрии в теории поля и физике частиц, страница 2

Одно из двухопределений формулируется следующим образом:Определение 1. Предположим, что имеется группа симметрии G некоторой полевой теории и два ее представления T и S. Пусть θ = {θa } являетсянекоторым вектором в пространстве представленя T , Ψ(x) является любымполевым вектором в пространстве представления S и пусть Da являютсятакими операторами, что поле Ψ′ (x), полученное преобразованиемΨ′ (x) = exp(−iDa θa )Ψ(x),(1)снова принадлежит пространству представления S, т.е. для любого g ∈ Gexp(−iDb (T (g)θ)b )S(g)Ψ(x) = S(g)Ψ′ (x).(2)Тогда преобразования (1) и их произведения будут называться глобальными преобразованиями вторичной симметрии, порождаемыми представлением T группы G.Группа двойной симметрии являет собою полупрямое произведениегрупп G и HT .Описаны два подхода к построению теорий с двойной симметрии.

Обращено внимание на существующие симметрии, которые подпадают подсформулированное определение двойных симметрий: на суперсимметрию,симметрию σ-модели Гелл-Манна–Леви, симметрию группы Пуанкаре.В главе 2 находятся все варианты теории свободных полей, подчиняющейся трем условиям:Условие 1. Представление S собственной группы Лоренца L↑+ , по которому преобразуется любое из рассматриваемых полей, разложимо в бесконечную прямую сумму конечномерных неприводимых представлений, причемкратность каждого из неприводимых представлений не превышает единицу. Бозонные поля принадлежат одному из двух типов, определяемых транформационными свойствами относительно пространственного отраженияP : либо P ξ(l0 ,l1 )lm = (−1)l ξ(−l0 ,l1 )lm , либо P ξ(l0 ,l1 )lm = (−1)l+1 ξ(−l0 ,l1 )lm длялюбого неприводимого представления τ = (l0 , l1 ), принадлежащего S.(Величина ξ(l0 ,l1 )lm – это вектор канонического базиса неприводимогопредставления τ = (l0 , l1 ) группы L↑+ со спином l и его проекцией на третью ось m.

Неприводимое представление τ = (l0 , l1 ) конечномерно, если2l0 и 2l1 – целые числа одинаковой четности, причем |l1 | > |l0 |, и тогдаl = |l0 |, |l0 | + 1, . . . , |l1 | − 1.)7Условие 2. Лагранжиан каждого поляiL0 = [(Ψ, Γµ ∂µ Ψ) − (∂µ Ψ, Γµ Ψ)] − (Ψ, RΨ)2(3)(где (Ψ1 , Ψ2 ) – релятивистски-инвариантная билинейная форма, а Γµ и R– матричные операторы) релятивистски-инвариантен и нерасщепляем, т.е.его нельзя представить в виде суммы двух лагранжианов, не содержащихникаких одинаковых компонент поля.Условие 3. Лагранжиан (3) каждого поля инвариантен относительнонетривиальных глобальных преобразований вторичной симметрииΨ(x) → Ψ′ (x) = exp[−iDµ θµ ]Ψ(x),(4)где параметры θµ являются компонентами полярного или аксиального 4вектора ортохронной группы Лоренца L↑ , а Dµ – матричные операторы.Как установлено Гельфандом и Ягломом, требование инвариантностилагранжиана (3) относительно преобразований собственной группы Лоренца даетqΓ0 ξ(l0 ,l1 )lm = c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) (l + l0 + 1)(l − l0 )ξ(l0 +1,l1 )lm +q+c(l0 − 1, l1 ; l0 , l1 ) (l + l0 )(l − l0 + 1)ξ(l0 −1,l1 )lm +q+c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) (l + l1 + 1)(l − l1 )ξ(l0 ,l1 +1)lm +q+c(l0 , l1 − 1; l0 , l1 ) (l + l1 )(l − l1 + 1)ξ(l0 ,l1 −1)lm ,(5)где c(l0′ , l1′ ; l0 , l1 ) ≡ cτ ′ τ – произвольные величины.

Соотношение аналогичное (5) справедливо и для оператора D0 с заменой величин c(l0′ , l1′ ; l0 , l1 ) напроизвольные величины d(l0′ , l1′ ; l0 , l1 ) ≡ dτ ′ τ .Соотношение (5) свидетельствует, что лагранжиан (3) свободного полякласса ISFIR содержит бесконечное число произвольных констант. Требование вторичной симметрии теории (Условие 3) призвано устранить этотпроизвол.

Оно дает бесконечную систему уравнений относительно величинcτ ′ τ и dτ ′ τ , причем с каждым неприводимым представлением τ = (l0 , l1 ) связано 16 уравнений. Найдены все варианты нетривиальных решений этойсистемы, удовлетворяющие Условиям 1 и 2.Следствие 1. Требование, чтобы теория свободного фермионного поляудовлетворяла Условиям 1-3, если параметр θµ в преобразованиях (4) – полярный 4-вектор, выполнимо только для следующего счетного множества8представлений S собственной группы Лоренца, нумеруемых полуцелымичислами k1 (k1 ≥ 3/2):Sk1=+∞Xk1X−3/21⊕( + n0 , k1 + n1 ),2n1 =0 n0 =−k1 +1/2(6)причем для представления S k1 имеется соответствие:c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) =vuuuc0 t(k1 − l0 − 1)(k1 + l0 ),(l1 − l0 )(l1 − l0 − 1)(l1 + l0 )(l1 + l0 + 1)c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) ==vuuuc0 t(k1 − l1 − 1)(k1 + l1 ),(l1 − l0 )(l1 − l0 + 1)(l1 + l0 )(l1 + l0 + 1)d(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = d(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) = g0 c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ),d(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = d(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) = g0 c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ),=(7)(8)(9)(10)где c0 и g0 - действительные константы.Следствие 2.

Требование, чтобы теория свободного фермионного поляудовлетворяла Условиям 1-3, если параметр θµ в преобразованиях (4) –аксиальный 4-вектор, выполнимо только в следующих трех ситуациях:1) для счетного множества представлений S собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой (6), где k1 ≥ 3/2, причем дляпредставления S k1 величины cτ ′ τ даются формулами (7), (8) с действительной константой c0 , а величины dτ ′ τ равныd(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) = g0 l1 c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ),(11)d(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) = g0 l0 c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ),(12)где g0 - действительная константа;2) для счетного множества представлений S собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой (6), где k1 ≥ 3/2, причем дляпредставления S k1 имеется соответствие:c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) =vuuu(−1)l1 −1/2 c0 l1 t(k1 − l0 − 1)(k1 + l0 ), (13)(l1 − l0 )(l1 − l0 − 1)(l1 + l0 )(l1 + l0 + 1)c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) ==9=vuuul0 −1/2(−1)c0 l0 t(k1 − l1 − 1)(k1 + l1 ), (14)(l1 − l0 )(l1 − l0 + 1)(l1 + l0 )(l1 + l0 + 1)d(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) = g0 l1−1 c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ), (15)d(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) = g0 l0−1 c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ), (16)где c0 и g0 - действительные константы;3) для представления S собственной группы Лоренца, содержащего всеконечномерные неприводимые представления группы L↑+ с полуцелымиспинами, которое будем обозначать через S F :FS =+∞Xn1Xn1 =0 n0 =−n1 −1причем⊕(1/2 + n0 , 3/2 + n1 ),(17)c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) ==vuuu(−1)l1 +1/2 c0 t=vuuuc0 t1 − (−1)l1 +l01 + (−1)l1 +l0+, (18)2(l1 − l0 − 1)(l1 + l0 ) 2(l1 + l0 + 1)(l1 − l0 )c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) =1 − (−1)l1 +l01 + (−1)l1 +l0+,2(l0 − l1 − 1)(l1 + l0 ) 2(l1 + l0 + 1)(l0 − l1 )(19)d(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) = (−1)l1 +1/2 g0 c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ), (20)d(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = −d(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) = (−1)l0 −1/2 g0 c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ), (21)где c0 и g0 - действительные константы.Приводимые ниже Следствия 3-4 справедливы для каждого из двух типов бозонных полей, описанных в Условии 1.Следствие 3.

Требование, чтобы теория свободного бозонного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр θµ в преобразованиях (4) – полярный 4-вектор, выполнимо только в следующих двух ситуациях:1) для счетного множества представлений S собственной группы Лоренца, нумеруемых целыми числами k1 (k1 ≥ 1):S k1 =+∞XkX1 −1n1 =0 n0 =−k1 +1⊕(n0 , k1 + n1 ),(22)причем величины cτ ′ τ и dτ ′ τ описываются соответственно формулами (7),(8) и (9), (10) с действительными константами c0 и g0 ;102) для представления S собственной группы Лоренца, содержащего всеконечномерные неприводимые представления группы L↑+ с целыми спинами, которое будем обозначать через S B :SB =+∞Xn1Xn1 =0 n0 =−n1⊕(n0 , 1 + n1 ),(23)причемc(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) =vuul1 +1 u(−1) c0 t1 + (−1)l1 +l01 − (−1)l1 +l0+,=2(l1 + l0 + 1)(l1 − l0 − 1) 2(l1 + l0 )(l1 − l0 )c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = c(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) ==vuuuc0 t1 − (−1)l1 +l01 + (−1)l1 +l0+,2(l1 + l0 + 1)(l0 − l1 − 1) 2(l1 + l0 )(l0 − l1 )(24)(25)d(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ) = d(l0 , l1 ; l0 + 1, l1 ) = (−1)l1 +1 g0 c(l0 + 1, l1 ; l0 , l1 ),(26)d(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ) = d(l0 , l1 ; l0 , l1 + 1) = (−1)l0 g0 c(l0 , l1 + 1; l0 , l1 ),(27)где c0 и g0 - действительные константы.Следствие 4.

Требование, чтобы теория свободного бозонного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр θµ в преобразованиях (4) – аксиальный 4-вектор, выполнимо только для счетного множества представлений S собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой(22), где k1 ≥ 2, причем для представления S k1 величины cτ ′ τ и dτ ′ τ описываются соответственно формулами (7), (8) и (11), (12) с действительнымиконстантами c0 и g0 .Во всех вариантах теории, описанных в Следствиях 1–4, массовый оператор R из лагранжиана (3) кратен единичномуR = κE.(28)В главе 3 решается задача устранения бесконечного вырождения поспину спектра масс теории свободных полей класса ISFIR с двойной симметрией, обусловленного расширением группы Лоренца.

Мы постулируем спонтанное нарушение вторичной симметрии, полагая что скалярные(относительно ортохронной группы Лоренца) компоненты бозонных полейкласса ISFIR имеют ненулевые вакуумные средние. В связи с этим анализируется вопрос о существовании и структуре нетривиального лагранжиана11взаимодействия фермионного и бозонного полей класса ISFIR с двойнойсимметрией, имеющего видLint =Xτ,l,mψ(x)Qτ lm ψ(x)ϕτ lm (x) ≡X(ψ(x), Qτ lm ϕτ lm (x)ψ(x)).(29)τ,l,mЗдесь ψ(x) - фермионное поле, ϕτ lm (x) – компонента бозонного поля, характеризуемая неприводимым представлением τ = (l0 , l1 ) группы L↑+ , спиномl и его проекцией на третью ось m, а Qτ lm ≡ Q(l0 ,l1 )lm – матричные операторы.Рассматриваются только такие лагранжианы (29), бозонные поля в которых имеют скалярную (относительно группы L↑ ) компоненту.

Следовательно, из счетного множества представлений собственной группы Лоренцас целыми спинами, описаного в Следствиях 3 и 4, выделяются только два:S 1 (22) и S B (23).Если в результате спонтанного нарушения вторичной симметрии скалярная компонента ϕ(0,1)00 (x) бозонного поля приобретает ненулевое вакуумное средние λ, то это приводит к лагранжиану (3) для фермионного поляс оператором R следующего видаR = κE + λQ(0,1)00 .(30)Лагранжиан взаимодействия (29) может быть инвариантным относительно преобразований (4) тогда и только тогда, когда порождаемая имигруппа вторичной симметрии одна и та же и для фермионного и для бозонного поля.В случае, когда бозонное поле преобразуется по представлению S 1 собственной группы Лоренца (следствие 3 (п.1)), вторичную симметрию порождает четырехпараметрическая абелева группа, для которой[Dµ , Dν ] = 0.(31)Такая же группа соответствует вторичной симметрии теории фермионногополя с представленем S k1 (k1 ≥ 3/2) в вариантах, даваемых следствиями 1и 2 (п.2).В случае, когда бозонное поле преобразуется по представлению S B группы L↑+ (следствие 3 (п.2)), группа вторичной симметрии неабелева (возможно, что бесконечная).