Диссертация (Разработка математических и компьютерных моделей переноса тепла, массы, импульса для систем тепло- и водоснабжения), страница 17

После нахождения коэффициентов a k k  0, 5 соотношение (4.128) будет20 z 10 z 2 20(q1  2) z 3 5(3q1  8) z 4 4(q1  3) z 5( z , x )  1 ,q1rq1rq13 rq14 rq15 r(4.140)где r  q1  8 .Подставляя (4.140) в (4.127), относительно q1 ( x ) будем иметь нелинейноеобыкновенное уравнение с начальным условием q1 (0)  0q12 (5q14  41q13  150q12  552q1 )dq1 2520q1  20160  0 .dx(4.141)123Используя метод, изложенный в [38], находим его приближенное решениеq1 ( x)  5,5116 х 0, 4129 .(4.142)Положив в (4.142) q1 ( х )  1 , находим х  х1  0,01602 .Соотношения (4.140), (4.142) определяют второе приближение решения задачи(4.121) – (4.124). Данные расчетов по решению (4.140) в сравнении с расчетом пометоду прогонки представлены на рис.

4.15 – 4.17. Анализируя результаты, отмечаем, что во втором приближении решение существенно уточняется. И, в частности, при х = 0,005 (рис. 4.16) расхождение результатов уменьшается с 8% (в первом приближении) до 4% (во втором).Для дальнейшего повышения точности найдем решение в третьем приближении. В соотношении (4.126) необходимо использовать девять членов ряда, следовательно, для нахождения девяти неизвестных коэффициентов a k к трем основным (4.122) – (4.124) и трем дополнительным (4.133), (4.136), (4.139) необходимо найти еще три дополнительные граничные условия (четвертое, пятое и шестое), которые находятся аналогично условиям, найденным выше, и представляется в виде 30, x   2 0, x  0, x  0; z3z2z 4 (q1 , x) z 4  0 ;(4.144) 5(q1 , x) z 5  0 .(4.143)(4.145)Аналогично можно найти какое угодно количество дополнительных условий.

Причём, необходимо отметить, что в каждом следующем приближении добавляются три дополнительные граничные условия – первое при z  0 и два других – при z  q1 ( x ) . Применение меньшего их количества не приводит к повышению точности решения.Во всех следующих приближениях, начиная с четвертого, дополнительныеусловия в точках z  0 и z  q1 ( x ) будем находить по общим формулам 2 ( i 2 ) (0, x ) 0;z 2 ( i 2 ) i ( q1 , x) 0;z i i 1( q1 , x ) 0.z i 1(i  4, 5, 6 , ) (4.146)124Для нахождения решения в третьем приближении используются основные(4.122) – (4.124) и дополнительные (4.133), (4.136), (4.139), (4.1432) – (4.145).Подставляя ряд (4.126) в перечисленные условия, для неизвестных коэффициен-тов a k (q1 ) k  0, 8 будем получать цепочную систему, включающую девять алгебраических уравнений.

Подставляя (4.126) , учитывая найденные значения коэффициентов a k (q1 ) в интеграл (4.125) относительно q1 ( х ) в третьем приближении находим нелинейное обыкновенное уравнение с начальным условиемq1 ( 0 )  0q12 (10 q16  105 q15  802 q14  1803 q13  12078 q12  42840 q1  194040 ) 55440 q12  498960 q1  3492720  0 .dq1dx(4.147)Используя изложенный в [38] метод, находим следующее его решениеq1 ( x)  5,3408x 0,3874 .(4.148)Положив в (4.148) q1 ( x )  1 находим, х = х1 = 0,01323.Используя изложенный выше метод нахождения дополнительных условий,получены решения для 1 − го, 2 − го, 3 − го, 5 − го, 10 − ого и 15 − ого приближений.Данные расчета перемещения фронта теплового возмущения q1 ( x ) по поперечной координате z в зависимости от величины продольной координаты х дляразличного числа приближений представлены на рис. 4.15.

Из их анализа следует,что при увеличении числа приближений n величина продольной координаты х,при которой фронт теплового возмущения достигает величины z = 1, уменьшаетсяи при n   х  0 этот результат находится в соответствии с гипотезой о бесконечной скорости перемещения теплоты, положенной в основу вывода параболического уравнения (4.121).

При этом возрастание скорости фронта теплового возмущения при увеличении числа приближений свидетельствует о повышении точности получаемых решений [39].125Данные расчетов по соотношению (4.126) в первом, втором, третьем, пятом,десятом и пятнадцатом приближениях в сравнении с расчетом по методу прогонки представлены на рисунках 4.16 – 4.17. Из их анализа следует, что при увеличении числа приближений точность получаемого решения возрастает.После достижения фронтом теплового возмущения центра трубы, теплообмен протекает во всем объеме движущейся жидкости и для всех х  x1 понятиефронта теплового возмущения теряет смысл. Постановка задачи для всехx  х1 будет 2  ( y , x ) 1  ( y , x ) ( y , x ); ( x  х1 ; 0  y  1) (1  y 2 )2yyyx( y,0)  1 ;(0, x) / y  0 ;(1, x)  0 .(4.148)(4.149)(4.150)(4.151)Используя метод Фурье, решение данной задачи разыскивается в виде( y , x )   ( x )  ( y ) .(4.152)Подставляя (4.151) в (4.148), находимd ( x) / dx  ν(x)  0 ; 2  ( y ) 1  ( y ) ν (1  y 2 )  ( y )  0 ,2yy y(4.153)(4.154)где ν  μ 2 – некоторая постоянная.Уравнение (4.151),как известно, имеет следующее решение ( x)  A exp( ν x) ,(4.155)где A – неизвестная постоянная.Граничные условия к уравнению Бесселя (4.154) согласно (4.150), (4.151)будутd  (0) / dy  0 ; (1)  0 .(4.156)(4.157)126Решение уравнения (4.154) при граничных условиях (4.156), (4.157) разыскивается в виде ряда по четным степеням переменной yn ( y )   bi N i ( y ) ,(4.158)i 0где bi (i  0, n) – неизвестные коэффициенты; Ni ( y)  y i .Если принять, например, шесть членов ряда (4.158) (n = 5), то получимшесть неизвестных коэффициентов bi (i  0, 5) , а граничных условий только два(4.150), (4.151).

Поэтому необходимо добавить еще четыре дополнительных условия. Первое из этих условий следует из соотношения (4.156) (0)  const  1 .(4.159)Записывая уравнение (4.154) применительно к точке y = 1, получаем ещеодно дополнительное условие (1)   (1)  0 .(4.160)Записывая уравнение (4.154) применительно к точке y = 0, после раскрытиянеопределенности по правилу Лопиталя во втором члене этого уравнения с учётом того, что (0)  1, будем иметь (0)   (0)  ν  0 .(4.161)Отсюда получаем дополнительное условие вида (0)   ν / 2 .(4.162)Для нахождения еще одного дополнительного условия продифференцируем(4.154) по переменной y 31  1  2 2 2νyν(1y) 0.y 3y 2 yy y 2y(4.163)Записывая соотношение (4.163) применительно к точке y = 0, после раскрытия неопределенностей во втором и третьем слагаемых по правилу Лопиталя иучитывая, что d  (0) / dy  0 , получаем (0)   (0) / 2   (0)  0 .Отсюда находим дополнительное условие вида(4.164)127 (0)  0 .(4.165)Подставляя (4.158) в основные (4.156), (4.157) и дополнительные (4.159),(4.160), (4.162), (4.165) граничные условия для неизвестных bi (i  0, 5) находимсистему алгебраических уравнений вида b1  2b2 y  3b3 y 2  4b4 y3  5b5 y 4 y 0  0; b0  b1 y  b2 y 2  b3 y3  b4 y 4  b5 y5 y 1  0; b0  b1 y  b2 y 2  b3 y3  b4 y 4  b5 y5 y 0  1; 2b2  6b3  12b4  20b5  b1  2b2  3b3  4b4  5b5    y 1  0;2b2  6b3 y  12b4 y 2  20b5 y 3 y  0   / 2;6b3  24b4 y  60b5 y 3 y  0  0 .(4.166)Анализ системы (4.166) показывает, что первое, третье, пятое и шестоеуравнения разделяются.

Каждое из этих уравнений содержит лишь по одному неизвестному, которые легко определяются и имеют вид b0  1 ; b1  0 ; b2   ν / 4 ;b3  0 . Оставшиеся коэффициенты находятся из системы двух алгебраическихуравнений, записанных для точкиy  1 (второе и четвертое уравнения системы(4.166)). Формулы для них будут b4  7 ν / 12  25 / 9 ; b5  16 / 9  ν / 3 .Анализируя полученные результаты, отмечаем, что коэффициенты с нечетными номерами равны нулю.

Причем, эти коэффициенты находятся из дополнительных условий, составленных из нечетных производных от функции ( y) .Следовательно, координатную функцию в соотношении (4.158) можно приниматьв виде, включающем лишь четные степени Ni  y   y 2i , а дополнительные условияс нечетными производными функции ( y) далее не рассматривать.Решение (4.158) с учетом найденных величин коэффициентов bi (i  0, 5) будет( y)  1 25  4   16  6 7y2   ν y    y .49  123 9 (4.167)128Потребуем, чтобы соотношение (4.167) удовлетворяло не исходному уравнению (4.154), а некоторому осредненному интегралу теплового баланса.

Для этого определим интеграл от уравнения (4.154) в диапазоне 0  у  1y = 0, т. е.10  2  ( y ) 1  ( y )2 y 2  y y  ν (1  y ) ( y )  dy  0 .(4.168)Подставляя (4.167) в (4.168), после определения интегралов для получениясобственных значений  k будем иметь следующее характеристическое уравнениеν 2 / 72  461ν / 756  100 / 27  0 .(4.169)Корни этого уравнения являются собственными числами уравнения Бесселя(4.154)ν 1  7,281 ;ν 2  36,623 .Точные их значения [62]ν 1  7,3135868 ;ν 2  44,609460 .Для уточнения собственных чисел потребуем ортогональности невязкиуравнения (4.154) к собственной функции (4.167), т.

е.10  2  ( y ) 1  ( y )2 y 2  y y  ν (1  y )  ( y )   ( y ) dy  0 .(4.170)Характеристическое уравнение для определения  1 и  2 будет251ν 3232361 ν 2 3215665 ν 13250= 0.589680 778377658378325103(4.171)Его корниν 1  7,304 ;ν 2  43,728 .Анализа результатов показывает, что требование ортогональности невязкиуравнения (4.154) к собственной функции (4.167) приводит к значительному увеличению точности нахождения собственных значений.Подставляя (4.155), (4.167) в (4.152), для любого собственного числа получаем частные решения5( y, x)  Ak exp( ν k x) bi ( ν k ) y i .

(k  1, 2)i 0(4.172)129Каждое решение (4.172) точно удовлетворяет условиям (4.150), (4.151). Однако ни одно из них, в том числе и их сумма25( y , x )    Ak exp(  ν k x ) bi ( ν k ) y i  ,k 1 i0(4.173)не удовлетворяют граничному условию (4.179).Для выполнения граничного условия (4.149) составим его неязкву и потребуем ортогональности невязки ко всем собственным функциям, т.е.12  Akexp(  ν k )k ( ν k , y )  1х  0  j ( ν j , y )dy  0 .( j  1, 2)(4.174)0 k 1Определяя интегралы в (4.174), для неизвестных коэффициентов Ak ( k  1, 2)получаем систему двух алгебраических уравнений. Однако ввиду ортогональности собственных функций её решение приводится к виду1 ν dykAk k,y01.(4.175) ν dy2k,y0Из последнего соотношения находим A1  1,3185 ; A2  0,4299 .Анализ расчетов по соотношению (4.173) при n = 2 в сопоставлении с точным решением [64] приводит к заключению, что в диапазоне 0,1  x   полученное решение практически совпадает с точным.

Для x  0,1 наблюдается их существенное отклонение.Для увеличения точности следует увеличивать количество членов ряда(4.158). Возникающие при этом неизвестные коэффициенты bi определяются издополнительных условий. Для их определения необходимо многократно дифференцировать уравнение (4.154) по переменной у и после каждого дифференцирования применять полученное соотношение к точке y = 0. После раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя будем получать следующий набор дополнительных граничных условий13033525 2 IV (0)  ν 2  ν ;  VI (0)   ν 3 ν ;8216435 4 245 3 315 2 VIII (0) ν ν ν ; ...