Диссертация (Разработка математических и компьютерных моделей переноса тепла, массы, импульса для систем тепло- и водоснабжения), страница 14

Прандтля (для ламинарного динамического) и Польгаузена (для теплового) пограничных слоёв. При турбулентном режиме происходят пульсационные изменения скоростей, давлений и температур.Анализ турбулентного течения связан с его разложением на осредненное и пульсационное. Актуальную величину составляющей скорости  , осредненной повремени, обозначим через  , а пульсационную составляющую – через   .

Отсюдаследует     ;ν  ν  ν ;p  p  p ;t  t  t ,(4.64)δ п.д.δт.д.лxδлтгде   скорость; ν  кинематическая вязкость; p  давление; t  время.х крРис. 4.10. Схема ламинарного δ л и турбулентного δ т пограничных слоёв. δ п – ламинарный подслой;  – скорость невозмущенного течения; хкр – критическая координата101За осредненное принимается среднее значение величины на некотором интервале времени, выбранном так, чтобы осредненная величина не зависела от величины этого интервала.

Следовательно, пульсация физической величины является разностью между актуальным и осредненным значением. Уравнения движениядля турбулентного слоя выводятся также как и для ламинарного, используя приэтом соотношения (4.64). Выведенное таким путем уравнение будет (без учетаградиента давления)ρ x yx  x ρ yμxyy  y   ρ  x y ,y(4.65)где  x , y – пульсационные скорости (соответственно продольная и поперечная).Первый член в правой части характеризует микроскопическое движениемолекул, а второй – макроскопическое движение турбулентных объемов. Осредненное значение  x y по теории Прандтля, предполагая, что продольная пульсация равна поперечной  x   y  l d  x / dy , записывается в виде2 dx dx dxdx dx , x y  ll l 2 l 2 dydydy dydyгде l – длина пути , на которой происходит перемешивание – расстояние по координате y , на которое перемещается элементарный объем среды из слоя в слой,причем таким образом, чтобы разность скоростей данного объема и соседнегослоя равнялась осредненной пульсации скорости первого слоя.Прандтль предложил следующую зависимость длины пути перемешиванияот координаты yl  χy,(4.66)где χ  0,4  коэффициент, найденный Прандтлем экспериментально.Уравнение (4.65) содержит четыре неизвестных величины  x ,  y , x ,  y .

Дляисключения неизвестных  x и  y Ж. В. Буссинеск предложил турбулентное ка-102сательное напряжение определять формулой, аналогичной уравнению закона трения Ньютона τ  μ du / dy , и имеющей вид  x  ,τ т    x y  μ т y(4.67)где μ  динамическая вязкость; μ т  динамическая турбулентная вязкость.В отличие от μ , μ т характеризует не физическое свойство жидкости, а режим её движения.Уравнение (4.65) с учетом (4.67) будетx y x yν  ν т    x  ,xyy y (4.68)где ν  μ/ρ , ν т  μ т /ρ  кинематическая и кинематическая турбулентная вязкостьжидкости; ρ  плотность.Кинематическая турбулентная вязкость согласно гипотезам Прандтля иБуссинеска находится из соотношенияνт  l2x.y(4.69)Согласно уравнению (4.68), пульсационное движение со скоростями  x и y влияет на осредненное течение со скоростями  x и  y таким образом, что восредненном потоке как бы увеличивается вязкость.В случае, когда осредненные величины турбулентного течения не меняютсяво времени, то оно будет стационарным.

В случае, если осредненная скорость  xзависит от времени, то левую часть уравнения (4.68) следует дополнить слагаемым d  x / dt .Сравнивая уравнения ламинарного и турбулентного пограничного слоя,можно отметить, что во втором уравнении имеется дополнительный член, харак-103теризующий турбулентное касательное напряжение τ т  μ т   x / dy . Тогда общеекасательное напряжение применительно к турбулентному потоку будетτ п  μ  μ т  х.yУравнение (4.68) включает две неизвестные величины  x и  y . Для его замыкания необходимо еще добавить уравнение сплошности , которое выполняетсякак для пульсационных, так и для осредненных скоростей  x / dx    y / dy  0 .(4.70)Получение аналитических решений уравнения (4.68), (4.70) существенноусложняется тем, что постановка краевой задачи включает уравнение движениядля ламинарного вязкого подслоя при необходимости выполнения условий сопряжения между слоями.

Подобные задачи крайне сложны и их решения пока неполучены. В связи с чем, для оценки распределения скорости в турбулентном пограничном слое используют различные эмпирические зависимости. И, в частности, при решении краевой задачи о распределении температуры в турбулентномпограничном слое для расчета распределения скорости будем использовать эмпирическую формулу x /    y / δ( x ) ,n(4.71)где   скорость невозмущенного потока; δ( x)  толщина турбулентного пограничного слоя ; n  показатель степени, принимаемый, исходя из эмпирическихданных.Величина δ( x) без учета ламинарного вязкого подслоя, то есть в предположении, что турбулентный пограничный слой формируется непосредственно, начиная от кромки пластины, описывается следующей полученной из эмпирическихданных формулой [57]δ( x)  0,37 x / Re 0.2 .(4.72)104Уравнение энергии для турбулентного двумерного пограничного слоя безучета диссипативной функции будетρc p xtt  t    c p y  λ   ρc p  y t  ,xy y  y  y(4.73)где t , t   соответственно осредненная и пульсационная температура; c p  теплоемкость при Р=const.Для замыкания уравнения (4.73) требуется исключить пульсационные члены.

Так же, как и для уравнения (4.65), допустим, что член, содержащий пульсационные величины, можно представить через градиент температуры таким образом t  ρc p  y t   λ т   , y (4.74)где λ т  коэффициент турбулентной теплопроводности, характеризующий не физическое свойство жидкости, а режим течения.Уравнение (4.73) с учетом (4.74) приводится к виду (здесь и далее черта надосредненными величинами опускается)xtt  t y (a  aт )  ,xy y y (4.75)где a т  λ т /(ρc р )  коэффициент турбулентной температуропроводности.Найдем решение уравнения (4.75) для случая, когда молекулярная и турбулентная теплопроводность и температуропроводность принимается в виде известных эквивалентных величинλ э    λ т ; aэ  a  aт .(4.76)Полный тепловой поток в данном случае будетqп  q  q т  (  λ т )tyУравнение (4.75) с учетом (4.76) приводиться к виду(4.77)105tt 2txy aэ 2 .xyy(4.78)Уравнение (4.78) совпадает с уравнением Польгаузена для теплового пограничного слоя.

Граничные условия здесь будут (рис. 4.11)t ( x,  ) 0,yгде t ст  температура стенки; tср  температура невозмущенного потока;t ( x,0)  t ст ;t ( x, )  t ср ;( 4.79)( 4.80)( 4.81) (х)  толщина теплового пограничного слоя.Согласно соотношению (4.79) температура среды непосредственно на стенке  y  0  равна температуре стенки. Соотношения (4.80), (4.81) являются условиями сопряжения двух зон (прогретой и непрогретой).Согласно (4.80) , температура на границе теплового слоя (на границе фронтатеплового возмущения) равна температуре невозмущенного потока. Из (4.81) следует, что тепловой поток не выходит за пределы фронта теплового возмущения,несмотря на движение последнего в направлении координаты y . Это условиеобеспечивает плавное сопряжение профиля температуры пограничного слоя с линией температуры невозмущенного потока tср  const .t ср)t ( x , y)(xt стx, tРис.

4.11. Тепловой пограничный слой на плоскости при tст  t ср ( t ст  температурастенки; t ср  температура невозмущенного потока); (x)  толщина теплового пограничногослояПотребуем, чтобы получаемое решение удовлетворяло не уравнению (4.78) ,а некоторому осредненному, то есть уравнению (4.78), проинтегрированному вдиапазоне толщины пограничного слоя 0  y  ( x) .106t ( x, y )t ( x, y ) 2 t ( x, y )0  x x dy  0  y y dy  a 0 y 2 dy .(4.82)Выполняя интегрирование по частям и используя уравнение неразрывности(4.70), находимd t ( x,0) x t ср  t ( x, y )  dy  a.dx 0y(4.83)Соотношение (4.83) представляет интеграл теплового баланса.Основная идея использования интегрального уравнения (4.83) в том, чтопри получении решения задачи (4.78) – (4.81) требуется выполнение не исходногоуравнения (4.78), а некоторого осредненного в пределах толщины пограничногослоя, которое в конечном итоге сводится к интегральному уравнению вида (4.83).Подобное осреднение ухудшает точность решения исходного уравнения (4.78).Однако, как будет показано ниже, применение дополнительных условий позволяет получить приближенное решение, которое при увеличении числа приближенийудовлетворяет уравнению (4.78) практически с заданной точностью.Первое дополнительное граничное условие находиться путем требованиявыполнения искомым решением уравнения (4.78) в точке y  0 .

Так как приy0 x   y  0 , то уравнение (4.78) приводиться к соотношению 2t ( x,0) y 2  0 ,(4.84)которое, является первым дополнительным граничным условием.Введем избыточную температуру по соотношению T  t  tст . ТогдаTcр  tср  tст . Уравнение (4.83) и условия (4.79) – (4.81), (4.84) для избыточной тем-пературы принимают видd T ( x ,0 ); x Tcр  T ( x, y ) dy  adx 0yT ( x,0)  0 ;(4.86)T ( x, ) / y  0 ; (4.88)(4.85)T ( x,  )  Tср ;(4.87) 2T ( x,0) / y 2  0 .(4.89)107Сопоставляя уравнения (4.67) и (4.75), можно убедиться, что при ν э  aэ ,где ν э  ν  ν т , то есть, когда Pr   э a э  1, по форме записи они полностью совпадают.

Если привести математические постановки задач к безразмерному виду,принимая однослойную модель, то полностью идентичными оказываются и граничные условия. Это означает, что безразмерные решения этих задач будут одинаковыми, а размерные распределения скоростей и температур вдоль оси x взаимно подобны [68]. Следовательно, отношение теплового и динамического слоевне зависит от координаты x . Это условие будет использовано ниже при интегрировании обыкновенного дифференциального уравнения для теплового пограничного слоя  x  .Возникновение пограничных слоев (динамического и теплового) обусловлено переносом импульса и теплоты по направлению поперечной координаты y .Следовательно, толщина каждого из пограничных слоев определяется интенсивностью соответствующего процесса переноса.

Так как характеристикой интенсивности переноса импульса является кинематическая вязкость, а теплоты – коэффициент температуропроводности, то соотношение толщин этих двух пограничныхслоев должно зависеть от соотношения коэффициентов переноса, то есть от величины числа Pr  ν / a . Чем больше величина критерия Прандтля, тем более интенсивным является поперечный перенос импульса по сравнению с переносом теплоты и, следовательно, тем больше в этом случае будет толщина динамическогослоя по сравнению с тепловым.Ввиду того, что толщины динамического и теплового слоев должны подчиняться условию  x     x  , то величина критерия Прандтля должна быть Pr  1 .Последнее условие приближенно выполняется для газов Pr  0,75 и для неэлектропроводных жидкостей Pr  1 и не выполняется для жидких металлов ввидувысокого значения коэффициента температуропроводности (103  Pr  102 ).Решение краевой задачи (4.85) – (4.89) принимается в виде108nT  x, y    ak   y k ,(4.90)k 0где ak   – неизвестные коэффициенты;  x  − толщина теплового пограничногослоя.Подставляя (4.90), принимая четыре члена ряда, в условия (4.86) – (4.89),относительно неизвестных a k   ( k  0, 1, 2, 3) приходим к системе, включающейчетыре алгебраических линейных уравнения.