Диссертация (Разработка математических моделей динамики твердого тела, имеющего полости с жидкостью и заборными устройствами), страница 8

.Сравнение результатов расчетаДля проверки точности МКЭ по сравнению с методом Ритца представленырезультаты расчета собственных значений первого (n = 1) и второго (n = 2) тонанеосесимметричных колебаний жидкости (m = 1) в гладкой сферическойполости в зависимости от глубины жидкости h на рис.

2.24а и рис. 2.24б. Нарис. 2.24а очевидно, что собственные значения первого тона, полученные МКЭ(линия «* * *») практически совпадают с результатами методом Ритца(сплошная линия), которые приведены в работе [49]. Результаты численногорешения задач приведены в табл. 2.8-2.9.61а)б)Рис. 2.24. Зависимости собственных значений первого 11 (а) и второго тона 12(б) неосесимметричных колебаний жидкости в гладкой сферической полости отглубины жидкости: «сплошная» - методом Ритца, «* * *» - МКЭ62Таблица 2.8. Собственные значения первого и второго тона колебанийжидкости в области между двумя сферамиhH2Метод РитцаR 02МКЭМКЭ(p)λ11(p)λ11(кэ)λ11(кэ)λ12(кэ)λ11(0)(кэ)λ12(0)-0,70,90,11,09685,85031,08835,89171,11215,9754-0,40,80,21,22745,32411,21125,34311,26215,4068-0,30,50,31,16504,68511,10904,47461,32335,3199-0,40,40,21,22875,22791,21945,24761,26215,40680,100,11,65765,29771,65655,38851,66495,3976-0,100,21,46275,21891,46155,35811,47055,2738Таблица 2.9.

Собственные значения первого и второго тона колебанийжидкости в сферической емкости с внутренними шар-баллонамиhR 03(кэ)λ11(кэ)λ12(кэ)λ11(0)(кэ)λ12(0)0,40,11,02955,51671,15755,72540,40,150,65904,04101,00,11,54775,31151,00,21,41135,29791,56035,31351,00,30,76484,22001,30,11,93325,73741,30,21,87585,73841,93855,73801,30,31,56295,6832Замечание: В двух краевых столбцах табл. 2.7-2.8 даны собственныезначения первого и второго тона колебаний идеальной жидкости всферическом баке с гладкой стенкой, полученные МКЭ.63a)б)(кэ)(p)Рис. 2.25. Зависимости собственных значений первого λ11(а) и λ11(б) отглубины жидкости при H 2  0,6 : 0 – R02  0 ; 1 - R02  0,364а)б)(кэ)Рис. 2.26.

Зависимости собственных значений первого λ11(а) и второго(кэ)тона λ12(б) от глубины жидкости: 0 – R03  0 ; 1 – R03  0,1 ; 2 - R03  0,15 ; 3 –R03  0,265Выводы к главе 2Малые движения жидкости, частично заполняющей бак и вытекающейчерез ЗУ, обладают движениями, качественно отличающимися от малыхколебанийжидкостиприусловиинепротекания.Малыедвижениянесжимаемой жидкости, протекающей через ЗУ, обладают двумя ветвямисобственных значений: дискретным множеством вещественных чисел, идискретным множеством комплексно-сопряженных чисел, расположенныхвблизи мнимой оси. Случаю отрицательных вещественных корней отвечаютапериодические движения жидкого топлива.

Случаю комплексных корней сотрицательной вещественной частью отвечают затухающие колебания жидкоготоплива на свободной поверхности и поверхности слива.При увеличении расхода и постоянстве обобщенного коэффициентасопротивления коэффициент затухания монотонно увеличивается по модулю.Припостоянстверасходаиуменьшенииобобщенногокоэффициентасопротивления коэффициент затухания стремится к некоторому постоянномузначению.При наличии ВБЭ таких как пусковые баки или шар-баллоны собственныечастоты заметно уменьшаются при глубине жидкости меньше половинызаполнения.66Equatio n Section (Next)Глава 3. Малые движения жидкости в осесимметричных полостях сзаборным устройством в условиях микрогравитацииУсловиями микрогравитации называем условия, при которых полет КЛАпроисходит по инерции и газовая подушка может размещаться симметрично уверхнего днища.

Подобные условия можно называть идеальными. Вдействительности возможно и другие положения газовой подушки в видегазового пузыря или группы пузырей, расположенных не в центральной частиверхнего днища. Одной из причин такого поведения газовой подушки можетявляться разность температур верхнего и нижнего днища (5-60С), вследствиеблизкого расположения двигательной установки.В третьей главе представлено решение статической задачи о равновесномположении свободной поверхности и задачи о собственных движенияхжидкости в сферических полостях, с граничными условиями на свободнойповерхности в слабых гравитационных полях, условиями непротекания насмачиваемых поверхностях и дополнительными динамическими условиями наповерхности с сопротивлением – поверхности слива.3.1.

Построение свободной осесимметричной поверхности равновесияв невозмущенном состоянии Г0Вэтомпунктепредставленасистемауравненийсвободнойосесимметричной поверхности равновесия жидкости, частично заполняющейсферическую полость, в невозмущенном состоянии при действии слабойгравитационной силы и силы поверхностного натяжения жидкости. Эта системауравнений решена численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка.Введем цилиндрические системы координат Or z и O1r11z1 , начала О иО1 , которые находятся в центре бака и в точке пересечения осесимметричнойсвободной поверхности  0 с продольной осью симметрии бака, и будемпредполагать, что жидкость во все время находится ниже поверхности  0 (рис.3.1).67Координаты связаны по соотношениямr  r1,   1, z  z(O1 )  z1 ,(3.1)где z(O1 ) - координата O1 в СК Or z .В качестве криволинейных координат на поверхности  0 выберемцилиндрическую координату  и длину дуги s, отсчитываемой от точки О1вдоль сечения поверхности Г полуплоскостью   cont (рис.

3.1).Рис. 3.1. Построение свободной осесимметричной поверхности равновесияТогда уравнение осесимметричной поверхности  0 в параметрическойформеr1  r1 ( s) ; z1  z1 (s)удовлетворяетследующейсистемеобыкновенных(3.2)дифференциальныхуравнений [4]z z r1  z1  b  z1  q  1  , z1  r1 b  z1  q  1  , 0  s  s A ,r1 r1 (3.3)где штрихом обозначено дифференцирование по s, r12  z12  1 , b   g 1 , q –произвольная постоянная, - плотность жидкости, - коэффициентповерхностного натяжения.

Начальные условия для системы (3.3) имеют видr1 (0)  0, r1(0)  1, z1 (0)  0, z1(0)  0 .(3.4)Выбрав в качестве характерного размера радиус R0 сферического бака ипереходя в уравнениях (3.3) к безразмерным переменным (которые мы будемобозначать прежними буквами), получим систему уравнений68z z r1  z1  Bo  z1  q  1  , z1  r1 Bo  z1  q  1  , 0  s  s A ,r1 r1 (3.5)и начальных условий (3.4).

Здесь Bo  bR02   gR02 1 - число Бонда, котороеравно отношению гравитационных сил к силам поверхностного натяжения.Системауравнений(3.5)сначальнымиусловиями(3.4)имеетдвухпараметрическое семейство решений (параметрами служат числа Bo и q).Если Bo  0 (состояние невесомости), то интегральными кривыми системы1(3.5) являются окружности радиуса R  2 q , которые касаются оси O1r1 вначале координат O1 . В этом случае поверхность  0 является частьюповерхности сферы.

Если же q = 0, то для любого Bo решение системыуравнений (3.5) с начальными условиями (3.4) тривиальноz1 (s)  0, r1 (s)  s .(3.6)Этот случай соответствует плоской поверхности  0 .В общем случае при заданных значениях Bo и q заметим, что уравнениясистемы (3.5) имеют особенность в точке s = 0 (r = 0), следовательно,интегрировать их непосредственно невозможно (но для решения эта точкаявляется регулярной, т.е.

оно в этой точке особенности не имеет). Поэтому длячисленного исследования, мы находим аналитическое решение системууравнений (3.5) с начальными условиями (3.4) в виде асимптотическихразложений в степенной ряд в достаточно малой окрестности особой точкиметодом неопределенных коэффициентов [14]r1  s 1 2 3  1 41q s q Bo  q 2  s 5 24160 1920115 q6 Bo  q 4 Bo 2q 2  s 7 ,448010752 3225601 1 3 1z1  q  s 2   q  Bo  q  s 4 464 19211 1q5 Bo  q 3 Bo 2 q  s 6 .7202304 23040(3.7)69Продифференцируем соотношения (3.7) и получим выражения для первыхпроизводных решений в достаточно малой окрестности нуля1 1 4 1r1  1  q 2 s 2  q  Bo  q 2  s 4 832 3841157  q6 Bo  q 4 Bo 2 q 2  s 6 ,448010752 32256011 1z1  q  s    q 3  Bo  q  s 3 216 48(3.8)11 16 q5 Bo  q 3 Bo 2q  s 5 .7202304 23040Подставим достаточное малое значение s   в выражения (3.7), (3.8) ивыберем полученные значения в качестве новых начальных условий длясистемы уравнений (3.5)r1  r1 ( ), r1  r1( ), z1  z1 ( ), z1  z1( ) .(3.9)Мы решим систему уравнений (3.5) с начальными условиями (3.9)численным методом Рунге-Кутта четвертого порядка по шагу ds с верхнейграницей rA2  z A2  1 .Определение объема, центра масс жидкости относительно центрабакаОбъем жидкости, заполненной в баке, определен по интегральной формуле2V0 z(A) d  dz 1021 z 2rdr 0z(A)r(z) d  dz  rdr  V010z(O) V02 ,(3.10)0где2V01  d  dz 102V02 1 z 2z(A)z(A)03z(A)1rdr    z(A)  1  ,3r(z)z(A) d  dz  rdr    r0z(O)0т.к.

dz  zds, z(O)  z (0), z(A)  z (s A ) .z(O)(3.11)sA2( z )dz    r 2 (s ) z (s )ds ,0(3.12)70Статический момент жидкости, заполненной в баке, относительноплоскости z  0 , определен по интегральной формуле2SO  d  zdz 10S(1)O2S(2)O21 z 2z(A)rdr 0z(A)1 z 2010 d  zdz r(z)z(O)0z(O)(1)O SO(2) ,z(A)z(O)(3.13)024 z(A) 1 z(A)1rdr    , 24 d  zdz  rdr    r0r(z) d  zdz  rdr  S02z(A)z(A)(3.14)sA2( z ) zdz    r 2 ( s) z ( s) z ( s)ds .(3.15)0Координата центра масса жидкости определена по отношению24 z(A) 1 z(A) 1  sA 2   r ( s ) z ( s ) z ( s )ds24  0Szc  O  .3V0z(A) 1  sA 2 z(A)  1    r ( s ) z ( s )ds3  0(3.16)Относительный объем жидкости к объему бака3z(A) 1  sA 2  z(A)  1    r ( s ) z ( s )ds 3  0VV 0  4Vбак33z(A) 1  sA 23   z(A)  1 r(s)z(s)ds.4 3  0(3.17)Введем следующие обозначения:  ,  ,  - углы наклона касательных Г иS в точке А и радиуса ОА к горизонтали, соответственно.Рис.