Диссертация (Разработка математических моделей динамики твердого тела, имеющего полости с жидкостью и заборными устройствами), страница 6

2.1-2.3.Таблица 2.1. Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при расходе жидкости G  0,005 и    1  0,2h12,30,6-38,3150-0,0063  1,0210i0,5-36,5070-0,0023  1,0652i0,4-35,5562-0,0031  1,1016i0,3-35,0271-0,0038  1,1357i0,2-34,6767-0,0039  1,1699i360,1-34,4044-0,0038  1,2055i0-34,1948-0,0038  1,2397i0,1-33,9682-0,0037  1,2857i0,2-33,7842-0,0035  1,3326i0,3-33,6185-0,0034  1,3864i0,4-33,4711-0,0034  1,4504i0,5-33,3428-0,0040  1,5294i0,6-33,2325-0,0047  1,6285i0,7-33,1374-0,0042  1,7597iТаблица 2.2.

Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при различных расходах жидкости и    1  0,2h   1G12,30,300----1,1356i0,002-29,0168-0,0035  1,1357i0,003-31,0203-0,0036  1,1357i0,005-35,0271-0,0038  1,1357i0,008-41,0371-0,0042 + 1,1357i0----1,2054i0,002-28,5004-0,0025  1,2055i0,003-30,4684-0,0030  1,2055i0,005-34,4044-0,0038  1,2055i0,008-40,3083-0,0052  1,2055i0----1,3326i0,002-27,9857-0,0018  1,3326i0,003-29,9185-0,0024 + 1,3326i0,005-33,7842-0,0035  1,3326i0,008-39,5825-0,0053  1,3326i0,20,100,20,200,237Таблица 2.3. Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при расходе жидкости G  0,005h   112,30,30,5-20,0136-0,0056  1,1359i0,4-22,5161-0.0051 + 1.1359i0,3-26,6867-0,0045  1,1358i0,2-35,0271-0,0038  1,1357i0,1-60,0456-0,0028  1,1357i0,05-110,0700-0,0021  1,1356i0,5-19,3105-0,0039  1,3327i0,4-21,7229-0,0038  1,3326i0,3-25,7434-0,0037  1,3326i0,2-33,7842-0,0035  1,3326i0,1-57,9060-0,0033  1,3326i0,05-106,1492-0,0032  1,3325i0,2Действительные корни уравнения (2.44) 1 отвечают апериодическомудвижению жидкости, а комплексные значения  2 и 3 отвечают затухающимколебаниям жидкости.На рис.

2.3-2.10 представлены изменения 1 , действительной части имнимой частей 2,3 от глубины жидкости h, коэффициента сопротивления  (   1 ) и безразмерного расхода G. На рис.2.11 показаны формы колебанийжидкости на свободной поверхности и поверхности слива.38Рис. 2.3. Зависимости 1 , отвечающие апериодическому движению жидкости,от глубины жидкости h при   0,2 :1 - G  0,002 ; 2 - G  0,003 ; 3 - G  0,005 ; 4 - G  0,008Рис. 2.4. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от глубины жидкости h при   0,2 :1 - G  0,002 ; 2 - G  0,00339Рис.

2.5. Зависимости частоты затухающих колебаний (мнимой части  2 ) отглубины жидкости h при   0,2 :«сплошная» - G  0,002 ; «* * *» - G  0,008Рис. 2.6. Зависимости 1 , отвечающие апериодическому движению жидкости,от глубины жидкости h при G  0,005 :1 -   0,4 ; 2 -   0,3 ; 3 -   0,2 ; 4 -   0,140Рис. 2.7. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от глубины жидкости h при G  0,005 :1 -   0,4 ; 2 -   0,3 ; 3 -   0,2Рис. 2.8.

Зависимости частоты затухающих колебаний (мнимой части  2 ) отглубины жидкости h при G  0,005 :«сплошная» -   0,5 ; «* * *» -   0,0541Рис. 2.9. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от  при G  0,005 :1 - h = -0,3; 2 - h = -0,1; 3 - h = 0,2Рис. 2.10. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от G при   0,2 :1 - h = -0,3; 2 - h = -0,1; 3 - h = 0,242а)б)Рис.

2.11. Формы колебаний жидкости в сферическом сосуде при h  0,2 ;r  0,5 ; G  0,005 ;   0,2 : 1  -33,7842 (а) и 2,3 = -0,0035  1,3326i (б)Сравним величину демпфирования (декремент)  mn колебаний жидкостивследствие наличия ЗУ с соответствующим демпфированием колебаний из-завязкости. Чтобы получить представление, используем результатыприближенного решения задачи о колебаниях вязкой жидкости в сфере срадиусом R0 [44], и результаты приближенного решения задачи о колебанияхидеальной жидкости, вытекающей из цилиндра с радиусом R0 [49]. Результатысоставляют демпфирование одноузловой формы ( m  1, n  1 ). При численномрасчете демпфирования из-за вязкости принимались R0  1 м , g  9,81 м / с ,кинематическая вязкость воды   106 м2 / c , а вследствие вытекания – радиусповерхности слива r0  0,5 м , средняя скорость опускания свободнойповерхности V0 Г  0,03м / с , коэффициент сопротивления поверхности слива  15 м / с .

Результаты вычислений сведены в следующей таблице.Таблица 2.4. Значения декремента колебаний жидкости для разных случаевВязкая жидкость в сфере [44]Идеальная жидкость, вытекающая изцилиндра [49]Идеальная жидкость, вытекающая изсферы через ЗУ11 при h1  0,311 при h1  11,5 1023,5 1024,0 1031,5 1032,7 1013,4 10243Замечание:h1обозначенаотчитываемая от днища бака.безразмернаяглубинажидкости,Отсюда видно, что демпфирование колебаний жидкости, вытекающей изсферы через ЗУ примерно на порядок больше демпфирования колебанийжидкости, вытекающей из цилиндра или вследствие учета вязкости жидкости впограничном слое на поверхности сферы.2.4. Малые движения жидкого топлива в емкостях с двумяконцентрическими сферамиРассмотрим задачу о собственных движениях жидкости, заполняющейемкость между двумя концентрическими сферами с радиусами R01 , R0 ивытекающей через заборное устройство при наличии свободной поверхности(рис.2.12).Рис.

2.12. Малые движения жидкого топлива в емкостях с двумяконцентрическими сферамиВведем дополнительные обозначения: S1 - смачиваемая жидкостьюповерхность внутренней сферы,0 если h  R01 R  h если h  R01r01  , 01  ar cos  h  если h  R01 . R01 если h  R010 если h   R012012(2.46)44В этом случае коэффициенты двух систем линейных уравнений (2.33),относительно неизвестных постоянных aml , bml , определяются по формуламU mlU mlU mlU mldГ   U mkdS   U mkd    U mkdS1 nnnnSS1(1)pmkl  U mk0r0  U mkr01  U mk01U mlU mlU mlrdr   U mksin  d   U mkrdr zRz00rU ml 2R01 sin  d ,Rr0(1)mklq  U mkU ml rdr , p(2)mkl p ,q(1)mkl(2.47)r(2)mkl  U mkU ml rdr ,r010а гидродинамические коэффициенты в (2.39) вычисляются через интегралыr0(1s )mn (1)(1)0mn(1 p )(2)  mnrdr , mn    mnrdr ,zzr01r(1)mnr01(1)mn(1)(1)(1)(1) mnmnmnmn    rdr ,hzzzr01(1)mn(2)(1)(1)(1)0mnmnmnmn  rdr , cmn   rdr ,h zz zr01r01r0r0(2.48)r(2 s )(2 p )(2)(2)(2)m  0,1,2...., k  1,2,...,M, l  1,2,...,M определены поmn, mn,  mn,  mn,  mn(2.41).Результаты численного решения уравнения (2.44) при R01  0,4 , h  0,86 (r  0,5 ), m  1 , n  1 , M  10 приведены в табл.

2.5-2.7.Таблица 2.5. Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при безразмерном расходе жидкости G  0,005 ;    1  0,2h12,30,627,2443-0,0482  0,9391i0,5-24,0000-0,0231  1,0204i0,4-22,4600-0,0130  1,0731i0,3-21,5063-0,0093  1,1161i450,2-20,8733-0,0078  1,1560i0,1-20,4455-0,0069  1,1958i0-20,1760-0,0063  1,2328i0,1-19,9434-0,0057  1,2812i0,2-19,7929-0,0051  1,3297i0,3-19,6811-0,0046  1,3844i0,4-19,5974-0,0043  1,4489i0,5-19,5359-0,0045  1,5282i0,6-19,4924-0,0050  1,6278i0,7-19,4628-0,0045  1,7594iТаблица 2.6. Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при различных безразмерных расходах жидкостиh   1G12,30,300----1,2715i0,002-21,4667-0,0089  1,1161i0,003-21,4799-0,0091  1,1161i0,005-21,5063-0,0093  1,1161i0,008-21,5458-0,0097  1,1162i0----1,2688i0,002-20,4047-0,0054 + 1,1957i0,003-20,4183-0,0059  1,1958i0,005-20,4455-0,0069  1,1958i0,008-20,4863-0,0084  1,1958i0----1,3557i0,002-19,7507-0,0031  1,3297i0,003-19,7648-0,0038  1,3297i0,20,100,20,20460,20,005-19,7929-0,0051  1,3297i0,008-19,8351-0,0071  1,3297iТаблица 2.7.

Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при безразмерном расходе жидкости G  0,005h   112,30,30,5-8,6064-0,0219  1,1184i0,4-10,7605-0,0178  1,1175i0,3-14,3452-0,0136  1,1167i0,2-21,5063-0,0093  1,1161i0,1-42,9725-0,0050  1,1158i0,05-85,8922-0,0029  1,1157i0,5-7,9522-0,0076  1,3303i0,4-9,9264-0,0068  1,3301i0,3-13,2158-0,0060 + 1,3299i0,2-19,7929-0,0051  1,3297i0,1-39,5208-0,0042  1,3296i0,05-78,9739-0,0038  1,3296i0,2На рис. 2.13-2.19 представлены зависимости действительного корня 1 ,зависимости действительной части и мнимой части комплексно-сопряженныхкорней 2,3 от глубины жидкости h, коэффициента сопротивления  (    1 ) ибезразмерного расхода G. Для лучшего понимания результатов расчётамодельных задач на рис. 2.20 приведено расположение значений k , (k  1,2,3)при m = 1, n = 1,2,3,… на комплексной плоскости.47Рис.

2.13. Зависимости 1 , отвечающие апериодическому движению жидкости,от глубины жидкости h при   0,2 :1 - G  0,002 ; 2 - G  0,003 ; 3 - G  0,005 ; 4 - G  0,008Рис. 2.14. Зависимости 1 , отвечающие апериодическому движению жидкости,от глубины жидкости h при G  0,005 :1 -   0,5 ; 2 -   0,3 ; 3 -   0,2 ; 4 -   0,148Рис.

2.15. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от глубины жидкости h при   0,2 :1 - G  0,002 ; 2 - G  0,003 ; 3 - G  0,005 ; 4- G  0,008Рис. 2.16. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от глубины жидкости h при G  0,005 :1 -   0,4 ; 2 -   0,3 ; 3 -   0,2 ; 1 -   0,149Рис. 2.17. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от  при G  0,005 :1: h = -0,3; 2: h = -0,1; 3: h = 0,2Рис. 2.18. Зависимости действительной части  2 , отвечающие затухающимколебаниям жидкости, от G при   0,2 :1: h = -0,3; 2: h = -0,1; 3: h = 0,250Рис. 2.19. Зависимости частоты затухающих колебаний (мнимой части  2 ) отглубины жидкости h при   0,2 :«сплошная» - G  0,002 ; «* * *» - G  0,008Рис.

2.20. Расположение собственных чисел на комплексной плоскости512.5. Колебания жидкости в сферических полостях с внутреннимиустройствамиВ данном пункте рассмотрим задачу о собственных колебаниях жидкостисо свободной поверхностью в неподвижном сферическом баке, содержащимвнутренние твёрдые шаровые баллоны. Решение задачи основано навариационной формулировке, численно реализованной с помощью методаРитца и метода конечных элементов.Постановка задачРассмотрим две задачи о малых колебаниях идеальной несжимаемойжидкости в жесткой сфере радиуса R 0 . В первой задаче жидкость находится вобласти между двумя сферами радиусов R 0 и R 02 (рис.