Диссертация (Разработка математических моделей динамики твердого тела, имеющего полости с жидкостью и заборными устройствами), страница 12

Уравнения движения твердого тела с полостью, содержащей жидкостьДля составления уравнений движения воспользуемся теоремами обизменении количества движения и об изменении момента количествотносительного движения твёрдого телаdQ1 F (e)  F ,dtdK1O2dt(4.28) M ( e )  m1r1c   g  m2r2c   g  m2  r2c  g   m1r1c  u  M , (4.29)где Q1 , K1O2 - количество абсолютного движения твёрдого тела и его моментколичеств относительно точки O2 , m1 и m2 - массы тела и жидкости, r1c и r2c радиус-векторы центров масс тела и «затвердевшей» жидкости,  g и  r2c отклонения интенсивности g и радиуса r2c в невозмущенном состоянии, F ( e ) главный вектор всех внешних сил приложенных к телу, M ( e ) - главный момент101всех внешних сил относительно полюса, F , M - главные векторы и главныемоменты относительно полюса сил давлений жидкости.Выражение для F и M получим, используя уравнения гидродинамикиидеальной несжимаемой жидкостиdV1  p  f ,dt(4.30)и выражение для перепада давления на поверхности слива в возмущенномсостоянии (4.5).

Здесь V  u    r  Vr – вектор абсолютной скорости частицжидкости, f – вектор интенсивности поля внешних сил.Во введенных обозначениях выражения для F и M примут видF   dVd   V d  ,dtM    r (4.31)dVd    r  V d  .dtИспользуя формулу Бура, запишем выражение dVdt(4.32)в подвижной системекоординатdV dddr dVru    r  Vr  u  r   u   r dt dtdtdtdt r V      r   r    Vr , t t(4.33)dVV u    r    Vr    r  r    Vr .dttПренебрегая малые величины 2-го порядка, имеемdVV u   r  r .dttПоставив (4.34) в (4.31) и (4.32) получимV F      u    r  r  d   V d   m2u     rd t  (4.34)102 Vrd    ud      rd    Vrd  ,t(4.35)V M     r   u    r  r  d    r  V d   m2r2c  u t     r    r d    r  Vrd    r  u d     r    r d   (4.36)t  r  Vr d  .С другой стороны имеем соотношенияdQ1 dm1u    m1r1c  m1u    m1r1c ,dt dtdK1O2dt(4.37) J1 ,(4.38)где J1 - тензор момента инерции твердого тела относительно полюса O2 , аm1r1c   g  m2r2c   g  mrc   g  mgrc    e3 ,(4.39)m2 r2c  g    g   r  e3  r d 0 ,(4.40)0гдеr  wr n  wre3-проекция относительного смещения свободнойповерхности на оси Oz .Подставив полученные выражения (4.35) - (4.40) в уравнения (4.28) и (4.29), получил уравнения малого движения системы «тело + жидкость», записанныев подвижной системе координатmu    ud   m  rc     rd      Vrd   Vr d   F ( e ) ,t(4.41)J1    r    r d    r    r d   mgrc    e3  mrc  u  Vr  u d     r  r d    r  Vr d    g   r  e3  r d  0  M ( e ) ,tгде m  m1  m2 , rc   m1r1c  m2r2c  m .(4.42)1034.7.

Вывод уравнений движения твердого тела с полостью, содержащейжидкость, в обобщенных координатахТеперь, используя понятие потенциала абсолютной скорости жидкости(4.17), запишем уравнения движения твердого тела (4.41) и (4.42) вобобщенных координатах.Используя граничное условие типа «жесткой» («примороженной») крышкипри определении функции  , запишем относительную скорость жидкости ввиде  Vr  V  Ve  (   )      (1)s(t) (2)n nn pn (t )     r .n 1 n1(4.43)Далее, используя выражение (4.43), формулу Гаусса-Остроградского,(2)формулу Грина и граничные условия для  ,  (1)n ,  n , выполним следующиегромоздкие, но несложные преобразования1)     (1)Vr(2)(2)d   sn     (1)dpds  n   n n  n pn , (4.44)nntn 1n 1  n1   n1т.

к. (1) (1)n  d  S   ndS   S  r n dS    r nn dS ,(1)n(1)n (2) (2)n  d   S   ndS   S  r n dS    r nn dS ,(2)n(2)n2)   ud   u 0  ,(4.45)3) m  rc  L , 0где тензор L    Lz Ly(4.46)Lz0 Lx Ly Lx  , в котором0 Lx  mx2c , Ly  my2c , Lz  mz2c -проекции вектора статического момента системы «тело + затвердевшаяжидкость» на осях,1044)    rd   0   ,(4.47) 0где тензор 0   0 z 0 y0 z0 y 0 x  , в котором 0 x   x2d  , 0 y   y2 d  ,0 00 x0 z   z2 d  ,  (2)(2)n5)  Vr d     pn     n d      pn   n d      n* pn ,n 1n 1n 1   n33i 1i 16)   r  (  r )d   i  r   i d   i(4.48)  r  n   dS iS 33 j  i  i dS   i  e j  i dS  J 2 ,nni 1i 1j 1S S 33где тензор J 2   J 2 ji  , элементы J 2 ji i , j 1S  jn(4.49) i dS - моменты инерцииприсоединенной массы жидкости (i = j = 1,2,3), и центробежные моменты этихмасс (i ≠ j).Vr(1)d   sn  r   n d   pn  r  (2)7)   r n d tn1n1  0(1)n sn   0(2)n pn ,n 1(4.50)n 1т.

к. r  (1)nd   r  n S (1)ndS , r  (2)nd   r  n (2)ndS ,S 8)   r  u d   0u ,(4.51)где тензор 0  0 - сопряженный с антисимметричным тензором 0 , 9)   r    r d      ,(4.52)105 xгде тензор      xy   zx  xy  zx   yz  ,  x     y22  z22  d  ,  y     x22  z22  d  , z y  yz z     x22  y22  d  ,  xy    x2 y2d  ,  yz    y2 z2d  ,  zx    z2 x2 d  ,10) mrc  u  Lu ,(4.53)где тензор L   L - сопряженный с антисимметричным тензором L ,11) mgrc    e3  L* , Lzгде тензор L*   0  Lx(4.54)00 ,0 0Lz Ly (2)nd   pn    1(2)12)   (r  Vr )d        r  n n pn ,nn 1  n 1(4.55) (1)nd   sn   1(1)13)  g  (r  e3 ) r d    g     r  n n sn .nn1n1(4.56)Поставляя (4.44) – (4.56) в уравнения (4.41) и (4.42) получим системууравненийmu  0u  L  0    s   n 1(1)nnn 1(2)n J1  J 2     L   Lu  0u   *n 1  n 1(2)1npn    n* pn  F ( e) ,(4.57)n 1s    s   0(2)n pn (1)0n nn 1(1)1n nn 1(4.58)pn  M .(e)4.8.

Закон баланса энергииЗамкнутая система уравнений возмущенного движения системы «тело +жидкость», состоящая из уравнений (4.23), (4.57) и (4.58), имеет видmu  0u  L  0    s    pn    n* pn  F ( e) ,n 1(1)nnn 1(2)nn 1106 J1  J 2     L   Lu  0u   *n 1s    s   0(1)n pn (1)0n nn 1(1)1n nn 1(e)  1(2),n pn  Mn 1n(1s ) sn  V(0) n(1) sn  cn sn  n(1 p ) pn  V(0) n(1) pn  n(1)u  0(1)n   1(1)n   0,n( 2 p ) pn  V(0) n(2)   V(0)    n(2)  pn  n(2 s ) sn  V(0) n(2) sn  n(2)u (2)n*u  0(2)n   1n   0,  n  1,2,3,... .Система (4.59) запишется в следующем матричном видеL m L J J12(1)(1) 101 (1)02(1) 2 ......1(2) 01(2) (2)02(2)2... ...0000...00...1(1)2(1) ...

1(2) 2(2 ) ...  u (1)01(1s )1(1)02002(1s )......(2 s )1002(2 s )...... ... 01(2) 02(2) ...   ... 1(1 p ) 0 ...  s  1 (1p)... 0 2...  s  2 ... .........  ... (2p)... 10 ...  p1  ... 0 2(2 p ) ...  p 2... ...... ...  ... 0 ... 0 0 ...  u  L*  (1)  (1) ... 0 0 ...    1112(1)11 c1 0 ...

0 0 ...  s1  12(1) 0 c2 ... 0 0 ...  s2  ... ... ... ... ... ... ...  ... 0 0 0 ... 0 0 ...  p1  0 0 0 ... 0 0 ...  p2 ... ... ... ... ... ... ...  ... 00(4.59)107 0 00000 0  0 0 V (0) (1)01(0)0 V  2(1) 0 0... .........1* 11(2) V(0)1(2)0 * (2)0 V(0) 2(2)2 12 ... ......... F (e)  (e) M  0  0  ,... 0  0  ...

1*2*11(2)V(0)1(1)12(2)0V(0) 2(1).....................0... V(0)1(2)  V(0)    1(2)0...0V(0) 2(2)  V(0)    2(2).........(4.60)M U  C U  B U  L .ЗдесьL m L J J12(1)(1) 101 (1)02(1) 2M ... ...1(2) 01(2) (2)02(2)2... ...1(1)2(1) ... 1(2) 2(2) ...01(1) 02(1) ...

01(2) 02(2) ...1(1s ) 0 ... 1(1 p ) 0 ...0 2(1s ) ... 0 2(1 p ) ......(2 s )1...  u  ...   ...  s  1 ...  s  2 ...  ... ...  p  1...  p 2... ...  ............0... ... 0... ...002(2 s )......(2 p )12(2 p )...- тензор масс системы,............(4.61)1080000C...00...0 ... 0 0 ... L  (1)  (1) ... 0 0 ...1112(1)11 c1 0 ... 0 0 ...12(1) 0 c2 ... 0 0 ... - тензор жесткости системы,...

... ... ... ... ... ...00 ... 0 0 ...000 ... 0 0 ...0... ... ... ... ... ... ...00* 0 01*2*00 ...11(2)12(2)00 ... 0  0 0 V (0) (1)V(0)1(1)00 ...10V(0) 2(1)0 V(0) 2(1) ... 0 0B... ............... ...1* 11(2) V(0)1(2)00 ... V(0)1(2)  V(0)    1(2) * (2)0 V(0) 2(2) ...V(0) 2(2)  V(0)    2(2)2 120 ... ......... .........тензор диссипации, U  u координат, L( e)   F ( e)M (e)s1 s2 ...p1p2 ...T........................-- вектор обобщенныхT0 0 ... 0 0 ... - вектор главных внешнихвозмущений.Умножив уравнение (4.61) на вектор Uи выполнив несложныепреобразования, получим уравнение баланса энергии системы «тело +жидкость»dТ  П   2  N (e) ,dt(4.62)111где T  M  U 2 , П  С  U 2 ,   B  U 2 - кинетическая и потенциальная222энергии и диссипативная функция системы, N (e)  L( e)  U - мощность внешнихвозмущений.1094.9.

Колебания физического маятника со сферической полостью, имеющейзаборное устройство и частично наполненной жидкостьюВ качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях сферического бака,вращающегося вокруг оси O1 x1 , с полостью, частично заполненной жидкостью,вытекающей через заборные устройства из бака (рис. 4.2).Рис. 4.2. Колебания физического маятника, имеющего сферическую полость сзаборным устройством и жидкостьюВ этом случае u  0,  (t )   (t )  e1 и введем связанную систему координатOxyz с началом в центре сфера.Формулировка эволюционной задачи для потенциала абсолютной скоростиимеет вид  0 в  ,  (e1  r)  n на S,n V0  gdt  V0  Vez  0 на  ,tzz V0  (V0   )  Vez  0 на  ,tzz(4.63)110( x, y, z, t )  0 при t = 0 ,т.к.