Диссертация (Разработка математических моделей динамики твердого тела, имеющего полости с жидкостью и заборными устройствами), страница 11

3.3– 3.4.Таблица 3.3. Собственные числа волновых движений жидкости в сферическойполости при различных безразмерных расходах жидкости и Bo = 5, V = 0,8124G   112,300-----±3,4385i0,010,5-9,8324-0,0142 ± 3,4447i0,020,5-10,1691-0,0258 ± 3,4444i0,040,5-10,8426-0,0489 ± 3,4439i0,060,5-11,5161-0,0721 ± 3,4432i0,080,5-12,1896-0,0954 ± 3,4423i0,10,5-12,8631-0,1186 ± 3,4414iТаблица 3.4.

Собственные числа волновых движений жидкости в сферической1полости при безразмерном расходе жидкости G  0,02 ,     0,52,31Vпри Bo = 1при Bo = 4при Bo = 1при Bo = 40,1736-10,7425-10,5736-0,0197 ± 1,1697i-0,0660 ± 2,3762i0,3460-10,1879-10,1649-0,0097 ± 1,1936i-0,0231 ± 2,3880i890,5410-10,0585-10,0517-0,0149 ± 1,2714i-0,0205 ± 2,5345i0,6373-10,0594-10,0541-0,0152 ± 1,3519i-0,0198 ± 2,6735i0,8105-10,2178-10,1885-0,0256 ± 1,6790i-0,0259 ± 3,1461iНа рис. 3.12 – 3.15 представлены изменения корней 1 и 2,3 взависимости от расхода G и коэффициента    1 .Рис. 3.12.

Зависимости действительного корня 1 от G при   0,2 :1-V  0,4545 , Bo  1 ; 2-V  0,5659 , Bo  0,1; 3-V  0,6511 , Bo  2 ; 4-V  0,8024 , Bo  5Рис. 3.13. Зависимости действительной части  2 от G при   0,2 :1 - V  0,4545 , Bo  1 ; 2 - V  0,6511 , Bo  2 ; 3 - V  0,8024 , Bo  590Рис. 3.14. Зависимости мнимой части  2 от G при   0,2 :1-V  0,4545 , Bo  1 ; 2-V  0,5659 , Bo  0,1; 3-V  0,6511 , Bo  2 ; 4-V  0,8024 , Bo  5Рис. 3.15.

Зависимости действительной части  2 от  при G  0,05 :1-V  0,4545 , Bo  1 ; 2-V  0,5659 , Bo  0,1; 3-V  0,6511 , Bo  2 ; 4-V  0,8024 , Bo  591Вывод к главе 3В главе 3 приведены постановка и решения статической задачи оравновесном положении свободной поверхности жидкости в условияхмикрогравитации. Исследования малых движений жидкости показали, чтоспектрколебанийжидкости,частичнозаполняющейосесимметричнуюполость, состоит из двух множеств: множество действительных чисел меньшенуля, которому отвечают постоянные времени апериодических волновыхдвижения жидкости, и множество комплексно-сопряженных чисел, которымотвечают комплексные частоты затухающих волновых движений жидкости.Выполненные численные расчета показали, что значения коэффициентовдемпфирования колебаний в условиях микрогравитации (малые числа Бонда)значительно превышает коэффициенты демпфирования в условиях большихчисел Бонда. Причем коэффициенты демпфирования колебаний тотальныхКСОЖ имеет больше значения, чем коэффициенты демпфирования локальных.При увеличении расхода и постоянстве обобщенного коэффициентасопротивления собственные числа, характеризующие апериодические процессыи коэффициент затухания монотонно увеличиваются по модули.

Припостоянстве расхода и уменьшении обобщенного коэффициента сопротивлениякоэффициент затухания не изменяется монотонно и имеет максимальноезначение при некоторых значениях коэффициента сопротивления.92Equation Section (Next)Глава 4. Малые движения твердого тела с осесимметричной полостью,имеющей заборные устройства и частично наполненной идеальнойнесжимаемой жидкостью4.1. Постановка задачиРассмотрим движущееся твердое тело с полостью осесимметричнойконфигурации, частично наполненной идеальной несжимаемой жидкостью,вытекающейчереззаборныеустройства.Движениежидкостибудемрассматривать относительно связанной системы координат O2 x2 y2 z2 , ось O2 z2совместим с осью симметрии полости.Кроме этой системы координат, введем в рассмотрение неподвижнуюсистему координат O1x1 y1z1 , с началом в произвольной точке O1 (рис.

4.1).Рис. 4.1. Движение твердого тела с осесимметричной полостью, заполненнойнесжимаемой жидкостьюЗаневозмущённоесостояниепримемсостояниепокоятелаиустановившееся движение жидкости, характеризующееся средней скоростью93опускания V0  невозмущённой свободной поверхности  0 и средней скоростьюV0  на поверхности слива  .Возмущенное движение тела с жидкостью будем характеризоватьвектором малого поступательного движения u (t ) полюса O2 относительносистемы O1x1 y1z1 и вектором малого поворота  (t ) системы O2 x2 y2 z2 (тела)вокруг точки O2 .33i 1i 1u (t )   ui ei ,  (t )  i ei ,(4.1)где ei - орты осей системы O1x1 y1z1 .Введенные системы координат позволяют нам рассматривать движениежидкости по отношению к системе координат O2 x2 y2 z2 , как относительное, а поотношениюксистемеO1 x1 y1z1какабсолютное.ОбозначимчерезR  x1e1  y1e2  z1e3 радиус-вектор произвольной точки, отложенный от точкиO1 , через r  x2e1  y2e2  z2e3 радиус-вектор в связанной системе координатO2 x2 y2 z2 .

Векторы ei орты осей системы O2 x2 y2 z2 .При возмущенном движении твердого тела на начальное состояниежидкости накладываются дополнительные возмущения, которые разовьют вжидкости добавочные силы инерции, влияющие на движение рассматриваемоймеханической системы тело-жидкость. Возмущенное движение твердого тела ижидкости представим как малые отклонения от невозмущённого состояния, т.е.в возмущённом движении поля абсолютных и относительных смещений, поляабсолютных и относительных скоростей частиц жидкости приобретают малыеотклонения w, w r , V , Vr  от их невозмущённых значений. Их будем считатьвеличинами первого порядка малости. Пренебрегая слагаемыми второгопорядка малости и выше, имеем V  w, Vr  wr .944.2. Малые движения жидкости в подвижной полостиДля удобного рассмотрения малых движений жидкости, вытекающей череззаборные устройства, введем вторую связанную систему координат Oxyz , сначалом O , находящим на оси O2 z2 . Проблема малых движений жидкостиможет быть описана уравнениями гидродинамики, линеаризованными вблизиневозмущённого состояния.Основной закон гидростатики и уравнение Бернулли для перепададавления на поверхности слива  в системе координат Oxyz в невозмущенномсостоянии запишутся в видеp0  z   pa  g  ( z  h) ,(4.2)(V(0) )2,p  p   p   2(4.3)000где V (0) - скорость установившегося движения частиц жидкости, V(0) - значениеV (0) на поверхности слива,  - коэффициент гидравлического сопротивленияЗУ, отнесённый к скорости V(0) , h(t ) - расстояние от точки O до свободной00, pповерхности, pa  const - давление наддува, p- соответственно давленияжидкости перед поверхностью слива и за поверхностью.Перепад давления на заборном устройстве в возмущенном движениипринимает вид(V(0)  V )2при z  h ,p  p  20(4.4)Линеаризуя условия (4.4), получаемp    V  n при z  h ,(4.5)где n внешние нормали к поверхности  ,  - обобщённый коэффициентсопротивления поверхности слива    V(0) .Возмущенноедвижениеподвижной системе координатжидкостиможноописатьуравнениемв95Va11   Va2  Va  Ve   Va    Va   p   .t2Предполагаемвозмущенноедвижениежидкости(4.6)потенциальным(  Va  0).

Тогда вместо (4.6) можно записатьVa11   Va2  Va  Ve    p   .t2(4.7)Имеем соотношенияVa  V (0)  V ; V  Ve  Vr  u    r  Vr .(4.8)Здесь Ve - отклонение переносной скорости жидкости от невозмущённогосостояния.Поставив соотношение (4.8) в уравнение (4.7), получим для возмущённогосостояния уравнение движения жидкостиV1 1  V (0)  V  Ve  V 2  V  Ve   p    0 .t2 (4.9)Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости и выше, будем иметьуравнение движения жидкости в линеаризованном видеV1  V (0)  V  Ve   p    0 . t(4.10)Возмущенное движение жидкости необходимо дополнить уравнением  V  0,неразрывностиповерхностьSвw(x, y,x,0)  w 0 ( x, y,z),условиемвиденепротеканияV  n  Ve  nичерезначальнымисмачиваемуюусловиямиw(x, y, x,0)  V 0 ( x, y,z) .tПроинтегрировав уравнение неразрывности по объёму, занимаемомужидкостью, для любого момента времени t, получим дополнительноеинтегральное условие   Vr  n d   Vr  n d  , которому должны подчиняться0поле скоростей в рассматриваемой задаче.964.3.

Краевая задача для потенциала абсолютных скоростейВведем потенциал абсолютной скорости – функцию   x, y,z,t  , которыйпри малых движениях связан с полем смещений w( x, y,z,t) и полем скоростейV ( x, y,z, t) очевидными формуламиw( x, y,z, t)   ( x, y,z, t)dt , V ( x, y, z, t )  ( x, y,z,t) .(4.11)Подставив выражения (4.11) в уравнение (4.10), получим линеаризованныйинтеграл Коши-Лагранжа, выраженный через потенциал скоростей1 V (0)    p    V (0)  Ve  c(t ) ,t(4.12)где c(t ) - произвольная функция времени. Не ограничивая общности, функциюc(t ) можно считать равной нулю.Уравнение возмущённой свободной поверхности жидкости при малыхколебаниях запишется в видеtz  h   ( x, y, t ) , h(t )  h0  V(0) dt ,(4.13)0где  ( x, y, t )  w  x, y, h, t   n - проекция вектора смещений частиц свободнойповерхности на ось О1 x1 ; h0 - глубина жидкости в начальный момент времени.Из уравнения (4.12), используя выражения (4.2) и принимая во вниманиечто, давление на свободной поверхности p  pa , получим граничное условие наповерхности  0 V(0)    gw  n  V(0)  Ve  0 .t(4.14)Аналогично, поставив выражение (4.5) в (4.12), получим граничноеусловие на поверхности w V(0)       n  V(0)  Ve  0 .tt(4.15)97Используя уравнение неразрывности, условие непротекания, начальныеусловия,получаемпостановкуэволюционнойзадачидляпотенциала  x, y,z,t   0 в  ,  u  (  r)   n на S,n  V(0)    gw  n  V(0)  Ve  0 на  ,t(4.16)w V(0)        n  V(0)  Ve  0 на  ,ttw  w0 , w  w0 ,где w  tww V0 при t  0 , V0 ,tt x, y,z, t  dt , w   x, y,z, t  - абсолютные смещение и скоростьzz- производная по внешней нормали к поверхности S .nчастиц жидкости,4.4.

Потенциал абсолютных скоростейПотенциал абсолютной скорости разыскиваем в видеn1n1(2)  x, y,z, t   u  r      x, y,z     (1)n  x, y,z  sn (t )    n  x, y,z  pn (t ), (4.17)3где  x, y,z     i  x, y,z  ei-неизвестная,подлежащаяопределениюi 1векторная функция,(1)n  x, y,z  ,(2)n  x, y,z - собственные функции,определяемые из задач на собственные значения(1)n(2)n (1) (1)nn 0, n(1)(1) 0 на S   ,n на  0 ,nn(4.18) (2) (2)nn 0, 0 на S  0 , n(2)(2)n на  ,nn(4.19)98sn  t  , pn  t  - неизвестные функции времени, имеющие смысл обобщенныхкоординат, характеризующих движение свободной поверхности жидкости иперепад давления на поверхности слива.Для случая определения i  x, y,z  с использованием граничного условиятипа «жесткой» («примороженной») крышки, имеем краевые задачиi  0 в  , i ei  r  n  на S  0   , i = 1,2,3.nПоле выбора условия(4.20) для функции  x, y,z  ,(4.20)единичныепотенциалы i  x, y,z  оказываются потенциалами эквивалентных твёрдыхтел, определённых Н.

Е. Жуковским [24], [25] для полостей различной формыи полностью заполненных однородной жидкостью. В настоящее время дляполостей сложной формы, имеющих внутри баковые элементы, разработаныразличныевычислительныеметодыопределенияпотенциаловН.Е.Жуковского [47], [48].4.5. Вывод уравнений для обобщенных координатПодставим в условия на свободной поверхности и на поверхности сливазадачи (4.16) выражение   x, y,z,t  в виде (4.17). В результате получим(1)(2) (1) (1) (1)(2)(0)   n(0)  nnpn  g n sn    n sn   n pn  V  sn  Vn hn n 1  h(4.21)u  r     g  0,n(1) (1) (0)  (2)  (2)(2)(0)  n(0)nnspVsVV  pn n nnnnhhn  n 1 (4.22)u  r  u   n     0.n99 (2) (1)nnУмножим (4.21) на , (4.22) на и проинтегрируем поnnплощади невозмущённой свободной поверхности  0 и поверхности слива.После интегрирования получим уравнения для обобщенных координат sn  t  ,pn  t  , которые могут быть записаны в видеn(1s ) sn  V(0) n(1) sn  cn sn  n(1 p ) pn  V(0) n(1) pn  n(1)u  0(1)n   1(1)n   0,n(2 p ) pn  V(0) n(2)   V(0)    n(2)  pn  n(2 s ) sn  V(0) n(2) sn  n(2)u (4.23)(2)n*u  0(2)n   1n   0, n  1,2,3,...Для инерционных коэффициентов, имеем следующие выражения(1s )n (1)(1)(1)(1 p )n  n d , n    n  (2)n d ,nn(2 p )n (2)(2)(2)(2 s )(1p)n  n d , n    n (1)n d   n ,nn(1)n(4.24) (1)(2)(2)n rd , n    n rd  .nn(2)Далее используя формулу Грина и граничные условия для  ,  (1)n , n ,имеем(1)0n (1) (1)nn d    dS     (1)dS nnnnS S  (1)n  r  n  dS ,S d    dS     (2)dS nnnnS S 0(2)n  (2)n (2)n  r  n  dS .S Для 1n(1) , cn получим(2)n(4.25)100(1)1n  (1) (1)nn gd   g  r  n  d ,nnn(1) (1)n  ncn   g d .nn(4.26)Далее для коэффициентов демпфирования, имеем(1)n(1)  (1) (1)(1)(2)(1)nnnn  n d ,  n   d ,hn  nh n(2)n(2)(2) (2)(2)(2)n  nn  n d ,  n   d ,h nn n(2)n(1) (2)(2)(2)(2)n  nn  d , 1n   d     n  r  n  d  ,n hn nn(4.27) (2)    n n d  .n*n4.6.