Диссертация (Оценка времени задержки циклостационарных радиосигналов для локализации источников излучений), страница 10

Такое преобразование удобно выполнить над сигналом [] во временной области путем получения двухцифровых сигналов:[] = [] exp(−( + ℎ + ) ));[] = [] exp(+( + ℎ + ) )).(3.35)Спектры этих сигналов, [] и [] соответственно, будут представлятьсобой смещенные на заданную величину + ℎ версии спектра []:]︂[︂ + ℎ; [, , ℎ] = +2[︂]︂ + ℎ [, , ℎ] = −.2˜ (, ) = ˜(︁ )︁(3.36)2∑︁∑︁11, = ˜ [, ] = [, , , ℎ]* [, , , ℎ]=− 2=1(3.37)где также изменяется с дискретным шагом перестройки 2 / и может бытьвыражена с использованием целого индекса при переходе к дискретной версииоценки: = 2 / .При реализации цифровой обработки сигналов предложенный блочныйалгоритм вычисления усреднённых циклических периодограмм представляет ЦСПМ в виде агрегированной (aggregated) матрицы согласно выражению (3.37).

При этом оказывается возможным рассмотрение частотного поддиапазона эффективной ширины Δ с некоторой центральной частотой .Так, рассмотрение всей области носителя циклической характеристики советует параметрам = 0 и Δ = 2 . При заданном количестве отсчетов ,определяемом на практике параметрами эксперимента, размерность такой матрицы задается параметрами и . При этом параметр выбирается таким,чтобы обеспечить учет в выражении (3.33) значения ЦСПМ в центрах всех эле60ментов разрешения по циклической частоте:=Δ, (3.38)где параметр Δ в свою очередь корректируется так, чтобы обеспечить целоезначение .

Таким образом, низкая размерность результирующей матрицы прибольших значениях достигается за счет увеличения параметра усреднения .Определение взаимных циклических характеристик в предложенномблочном алгоритме выполнено с учетом выражения (3.24). Так, выражение (3.35) для сигнала [] и выражение (3.36) для спектра [] в случаеВЦСПМ принимают вид:и соответственно:[] = [] exp(+( + ℎ) ).(3.39)]︂ + ℎ.

[, , ℎ] = −2(3.40)[︂Выражение (3.35) для сигнала [] и выражение (3.36) для спектра []в случае ВЦСПМ остаются неизменными. Выражение (3.37), непосредственноиспользуемое для вычисления характеристики, не изменяется, однако при проведении описанной выше замены, будет соответствовать оценке ВЦСПМ.3.3.2ПримерРассмотрим в качестве примера для блочного алгоритма вычисленияусреднённых циклических периодограмм сигнал (), соответствующий следующей модели:∑︁() = (),(3.41)=1в которой слагаемые () определены следующим образом: () = () ⋆ ℎ () cos(2 + ),(3.42)где — амплитуда -ого сигнала, — независимый случайный гауссовскийпроцесс, ℎ — ипульсная характеристика идеального ФНЧ с граничной частотойmax, , — несущая частота, — начальная фаза.

В рассматриваемом примереколичество сигналов = 2, параметры сигналов приведены в таблице 3.1.61Таблица 3.1 — Параметры тестовых сигналовОтносительная мощность1 ()2 ()max, , МГц1,41,0Относительная мощность , мВ1,01,00.040.03|S1 (f )||S2 (f )|0.020.010.00 , МГц3,550.08 , рад0/2|S(f )|0.060.040.020.0001234Частота, МГц560а)1234Частота, МГц56б)Рисунок 3.9 — Периодограммы Уэлча: а) компонентов 1 () и 2 () отдельно, б)смеси сигналов ()На рис. 3.9 (а, б) приведены периодограммы Уэлча для сигналов 1 ()и 2 () отдельно и для сигнала () соответственно. Следует отметить, что такие параметры, как полоса, занимаемая компонентами сигнала () в частотнойобласти, и несущие частоты компонент подобраны так, чтобы обеспечить значительное перекрытие. Период дискретизации = 0.062 мкс, что соответствуетчасоте дискретизации = 15.971 МГц.Оценим собственные циклические характеристики сигнала () при помощи предложенного блочного алгоритма вычисления усреднённых циклическихпериодограмм.

На рис. 3.10 полностью показана область носителя ЦСПМ, чтосоответствует параметрам алгоритма = 0 и Δ = 2 , количество поддиапазонов по циклической частоте = 1024. На рисунке явно наблюдается область, представляющая особый интерес при ̸= 0. Более подробно эта областьотображена на рис. 3.11, что соответствует параметрам алгоритма = 8.5 МГци Δ = 6 МГц, = 1024.Анализ модуля ЦСПМ на рис.

3.11 выявляет две характерные циклические частоты, соответствующие пикам интегральной характеристики ˜ ():^ 1 = 7 МГц и ^ 2 = 10 МГц. Из теоретического описания циклостационарных сигналов с амплитудной модуляцией (WARNING тут ссылка на соответствующий раздел в диссертации) известно, что данные характерные частоты62Циклическая частота α, МГц7.55.010−12.50.0−2.510−2−5.0−7.5−10.0−4−20Частота f , МГц240.4Относительная плотность мощности10010.00.8P̃ (α)Рисунок 3.10 — Модуль ЦСПМ сигнала ()представляют собой удвоенные несущие частоты. Данный вывод соответствуетисходным положениям: ^ 1 = 21 = 7 МГц и ^ 2 = 22 = 10 МГц.Сечения ЦСПМ на данных характерных циклических частотах показанына рис.

3.12. Следует отметить, что форма сечений соответствует периодограммам Уэлча, полученным отдельно для каждой из компонент и показанным нарис. 3.9 (а). Таким образом, анализ циклических характеристик с использованием предложенного алгоритма позволил определить количество сигналов всмеси, значения соответствующих им несущих частот, получить отдельно периодограммы процессов, а также сделать вывод о статистической независимостипроцессов, поскольку отсутствуют компоненты на комбинационных частотах.3.4Обнаружение и оценка по методу максимального правдоподобияРассмотрим задачу обнаружения (detection) и оценки параметров(parameter estimation) сигнала в двухканальном приемнике [45]. Сигналы, принимаемые с каналов приемника, обозначим соответственно () и (). Сигнал,обнаружение и оценка параметров которого выполняется, обозначим как ().Рассмотрим две гипотезы, 0 : сигнал отсутствует, 1 : сигнал присутствует,631007.57.010−16.56.05.5Отн.

плотность мощностиЦиклическая частота α, МГц8.010−25.04.5−1.5−1.0−0.50.00.5Частота f , МГц1.01.50.40.8P̃ (α)Рисунок 3.11 — Модуль участка ЦСПМ сигнала () в окрестности характерныхциклических частотопределенные следующим образом:0 : () = (),() = (),∫︁+∞1 : () = (, ′ )(′ )′ + (),() =−∞∫︁+∞(3.43)(3.44) (, ′ )(′ )′ + (),−∞где () и () — аддитивный шум, (, ′ ) и (, ′ ) — операторы преобразования сигнала в каналах, зависящие от множества параметров: = {1 , 2 , · · · , }.В зависимости от природы параметров различают три случая:– параметры полагаются известными параметрами;64(3.45)|S α |α=2f1 ||S α |α=2f2 |Относительная мощность0.50.40.30.20.10.0−3−2−10Частота f , МГц123Рисунок 3.12 — Модули сечений ЦСПМ сигнала () на характерных циклических частотах ^1 и ^2– параметры полагаются неизвестными детерминированными параметрами, значение которых необходимо оценить;– параметры полагаются случайными величинами.Примерами преобразований сигнала в канале могут являться относительная задержка одного из сигналов на величину , либо доплеровское изменениечастоты на величину , в этом случае операторы (, ′ ) и (, ′ ) принимаютвид: (, ′ ) = ( − ′ ),∫︁∞1 (, ′ ) =[ ′ ( − ′ − ) + ′ ] ′ ,(3.46)(3.47)0где 1 = и 2 = .Для векторов-столбцов x и y размерностями × 1, составленных из конечного набора отсчетов сигналов () и ():x = [(1 ), (2 ), · · · , ( )] ,y = [(1 ), (2 ), · · · , ( )] ,65(3.48)где —количество отсчетов, дискретные версии выражений (3.43) и (3.44) принимают соответственно вид (3.49) и (3.50):0 : = ( ), = ( ),1 : = =∑︁=1∑︁(3.49) + ( ),(3.50) + ( ),=1где = ( ), = ( ), = ( ) и и — операторы дискретноговремени, выполняющие преобразования над дискретными сигналами, эквивалентные преобразованиям, выполняемым операторами в выражении (3.44).С целью проверки определенных таким образом статистических гипотез ирешения задач обнаружения и оценки параметров сигналов формируется тестовая статистика (test statistics).

Значение тестовой статистики вычисляется наоснове наблюдаемых сигналов и сравнивается с пороговой величиной. В случаепревышения порога принимается решение о присутствии сигнала, иначе принимается решение об отсутствии сигнала. В случае наличия неизвестных параметров, в первую очередь выполняется оценка их значений, а затем выполняетсясравнение с порогом.Статистическая теория обнаружения определяет общие выражения длявычисления тестовой статистики. В качестве тестовой статистики используетсяфункция правдоподобия (likelihood test statistics). Функция правдоподобия —это любая монотонная (как правило, логарифмическая) функция отношенияправдоподобия, определенного следующим образом:Λ(x, y, ) , (x, y|1 , ) (x, y|0 , )(3.51)где (x, y|1 , ) — условная вероятность события (x, y) при условии, что гипотеза гипотеза — истинна.Данная статистика является оптимальной по критерию максимальногоправдоподобия в случае известных параметров .

В случае, если вектор пред66ставляет собой вектор случайных величин, значения которых необходимо оценить, отношение правдоподобия принимает обобщенный вид:max (x, y|1 , )Λ (x, y) =max (x, y|0 , )(3.52)Рассмотрим случай наличия неизвестных параметров в модели сигнала():() = (, ),(3.53)где — множество из неизвестных параметров сигнала: = {1 , 2 , · · · , }.(3.54)Если неизвестные величины множества являются неизвестными детерминированными параметрами, выражения отношения правдоподобия (3.52) принимаетвид (3.55):max (x, y|1 , , ).(3.55)Λ (x, y, ) = max (x, y|0 , , )В случае если неизвестных параметры в модели сигнала () являются случайными величинами (например, передаваемая битовая последовательность):() = (, ),(3.56)где — множество из неизвестных случайных величин: = {1 , 2 , · · · , },(3.57)выражения отношения правдоподобия (3.52) принимает вид (3.58):Λ (x, y, ) =E [ (x, y|1 , , )],E [ (x, y|0 , , )](3.58)где E [·] — математическое ожидание по .