Диссертация (Оценка времени задержки циклостационарных радиосигналов для локализации источников излучений), страница 13

В случае одновременного перекрытия сигналов () и () во временной и частотной областях традиционные методы [26, 27], оценка задержки посредством которых основана наиспользовании кросскорреляционных функций при = 0, приводят к неточным результатам. Более того, даже в случае наличия достаточной априорнойинформации для отделения одного пика кросскорреляционной функции от другого, по-прежнему остается нерешенной задача определения, какой из пиковотносится к задержке сигнала (), а какой — к ().С целью повышения точности получаемой оценки времени задержки прихода сигнала в данной работе рассматривается использование априорных знаний о характерных циклических частотах сигнала.

В этом случае оценка выполняется на основе анализа ВЦКФ и ВЦСПМ при отличных от нуля значениях ,соответствующих характерным циклическим частотам сигнала. Как показанов [13], широко распространены случаи, в которых сигналы, занимающие однучастотную полосу в спектре, имеют различные несущие частоты и/или частоты82повторения кодовых последовательностей. В этом случае возможно корректноеопределение времени задержки прихода сигнала при помощи использованияего циклостационарных свойств. Так, если сигнал () содержит циклическуючастоту , не содержащуюся в сигналах (), () и (), то возможно выполнение селекции по данному признаку. ЦАКФ, ЦВКФ и ВЦСПМ в этом случаеимеют следующие свойства: |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ 0; |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ |= ( ) ≡ 0.(4.6)Тогда ЦАКФ, ЦВКФ и ВЦСПМ, составленные для сигналов в каналахприемной системы 1 () и 2 () принимают вид:1 |= ( ) = |1 |2 |= ( )−21 ;(4.7)2 |= ( ) = |2 |2 |= ( )−22 ;12|= ( ) = 1 2 |= ( − )− .Циклические спектральные плотности мощности 1 |= ( ) и 2 |= ( ) ивзаимная циклическая спектральная плотность мощности 12|= ( ) соответственно принимают вид 4.8 и 4.9:1 |= ( ) = |1 |2 |= ( )−21 ;2 |= ( ) = |2 |2 |= ( )−22 ;12|= ( ) = 1 2 |= ( )−2( + 2 ) ,(4.8)(4.9)что соответствует идеализированной модели (4.1).Анализ выражений 4.8 и 4.9 позволяет сделать вывод о возможности оценки величины задержки прихода сигнала в частотной области либо по паресобственных циклических характеристик 1 |= ( ) и 2 |= ( ), либо по взаимной циклической характеристике 12|= ( ).

В первом случае задержка оценивается по отношению ЦСПМ сигналов:2 |= ( ) |2 |2 −2=,1 |= ( ) |1 |2(4.10)во втором случае задержка оценивается по наклону фазовой характеристикиВЦСПМ 12|= ( ) в выражении 4.9.834.3Формирование взаимных спектральных и взаимных циклических спектральных корреляционных характеристик сигналовРассмотрим процесс формирования взаимных спектральных характеристик и взаимных циклических спектральных характеристик сигналов, принимаемых в двух точках приема антенной системы рассматриваемой модели 4.2,на примере отсчетов комплексных огибающих сигналов 1 () и 2 () в частотной области на частоте 0 − Δ для моделей сигналов () — амплитудномодулированного сигнала, () — стационарного в широком случае случайногопроцесса.

Структура спектров данной модели показана на рис. 4.3.Рисунок 4.3 — Структура спектра рассматриваемой модели: пунктирной линией обозначены гармоники, анализ которых выполняется для оценки ВСПМ,непрерывной — при оценке ЦВСПМ при циклической частоте равной удвоеннойчастоте несущего колебанияДля определения взаимных спектральных характеристик и взаимных циклических спектральных характеристик необходимо рассмотреть отсчеты комплексных огибающих сигналов () и () на частоте 0 − Δ для 1 () и начастотах 0 − Δ и −0 − Δ для 2 (), представляющие собой следующие случайные величины.Для сигнала 1 () на частоте 0 − Δ :() : − ;() : + ,(4.11)где , — детерминированные величины, представляющие собой амплитуду и84фазу полезного сигнала соответственно, ∼ (0, ) и ∼ (0, ) — независимые случайные гауссовские величины с нулевым средними и заданной дисперсией .Для сигнала 2 () на частоте 0 − Δ :() : −−2(0 −Δ ) ;() : ( + )−2(0 −Δ )˜ ,(4.12)где и ˜ — детерминированные величины, представляющие собой времена задержки приходов сигнала () и () соответственно.Для сигнала 2 () на частоте −0 − Δ :() : −+2(0 −Δ ) ;() : ( − )2(0 −Δ )˜ ,(4.13)где ∼ (0, ) и ∼ (0, ) — независимые случайные гауссовские величиныс нулевым средними и заданной дисперсией .Рассмотрим упрощенную модель, фокусирующую внимание на влияниесигнала помехи () на итоговый результат оценки корреляционных характеристик:1 () = ();(4.14)2 () = ( − ˜);Для упрощенной модели 4.14 отсчеты комплексных огибающих сигналов1 () и 2 () принимают вид:1 = + ;−2(0 −Δ )˜2 = ( + ).(4.15)Выражение для кросс-корреляционной спектральной характеристикипринимает вид:|= 1 2*1 2 =0= ( + )( − )2(0 −Δ )˜= ( 2 + 2 )−2(0 −Δ )˜ .85(4.16)На нулевой циклической частоте |представляет собой случайную ком1 2 =0плексную величину, рассматриваемую в качестве вектора.

Математическоеожидание и дисперсия такого вектора имеют вид:[︀ ]︀E |= 2 2 2(0 −Δ )˜ ;=01 2]︀[︀ = 4 2 ;var |=01 2(4.17)(4.18)В случае определения взаимной циклической спектральной плотностимощности на циклической частоте 20 , имеет место сдвиг в частотной области, соответственно отсчеты комплексных огибающих сигналов 1 () и 2 ()принимают вид:1 = + ;2 = ( − )2(0 −Δ )˜(4.19)Тогда выражение для ВЦСПМ принимает вид:|= 1 2*1 2 =20= ( + )( + )−2(0 −Δ )˜ ;(4.20)На циклической частоте, равной удвоенной несущей частоте, |1 2 =20представляет собой случайную комплексную величину, так же рассматриваемую в качестве вектора.

Математическое ожидание и дисперсия такого вектораимеют вид:[︀ ]︀E |= 0;=201 2[︀ ]︀var 1 2 |=20 = 4 2 .(4.21)Оценка плотностей вероятности случайных векторов |и1 2 =0|, полученная методом Монте-Карло, показа на рис. 4.4. Из приве1 2 =20денного рисунка видно, что хотя дисперсии данных случайных векторов равны, отдельные рассмотренные углы векторов обладают различной дисперсией.Угол вектора |является детерминированной величиной и определяется1 2 =0|является случайвременем задержки ˜, в то время как угол вектора 1 2 =20ным. Более подробно задача определения плотности вероятности случайноговектора, представляющего собой произведение двух случайных комплексныхгауссовских величин, рассмотрена в [54] — в работе показано, что для двух86случайных величин:(︀)︀˜ ∼ , 2 ;(︀)︀˜ ∼ , 2 ,(4.22)где — комплексное нормальное (гауссовское) распределение плотности вероятности, — вектор математического ожидания -ой случайно величины,2 — дисперсия -ой случайно величины; распределение случайной величины,представляющей собой их произведение:˜ ˜ ,=(4.23)имеет распределение плотности вероятности в полярной системе координат:Θ , ( , ) =2 (2 +2 )2 2(︂)︂+∞∑︁1×!! 2 cos( − − ),=0)︂(︂ )︂−(︂2+ (2),×− (4.24)где Θ — случайная величина, представляющая собой угол случайного вектора, — случайная величина, представляющая собой длину случайного вектора, — модифицированная функция Бесселя первого рода, — модифицированная функция Бесселя второго рода, коэффициент определен следующим образом:√︃2 =cos( − − ),(4.25) при этом -фактор определен следующим образом:2 ,2.2(4.26)Рассмотрим случай одновременного наблюдения полезного сигнала () исигнала помехи (), соответствующий следующей модели:1 () = () + ();2 () = ( − ) + ( − ˜).87(4.27)200020001.01.00.50.5~={S}4000~={S}40000.0−0.50.0−0.5−1.0−1.0 −0.5 0.0 0.5~<{S}1.0−1.0−1.0 −0.5 0.0 0.5~<{S}2000 4000а) |1 2 =01.02000 4000б) |1 2 =20Рисунок 4.4 — Гистограммы распределения плотностей вероятностей случайных векторов модели 4.14В этом случае отсчеты КО сигналов 1 ( ) и 2 ( ) принимают вид:1 = − + + ;2 = − −2(0 −Δ ) + ( + )−2(0 −Δ )˜(4.28)Выражение для кросс-корреляционной спектральной характеристикипринимает вид:|= 1 2*1 2 =0= 2 2(0 −Δ ) + ( − )− 2(0 −Δ )˜ +( + )− −2(0 −Δ ) + ( 2 + 2 )2(0 −Δ )˜88(4.29)Действительная и мнимая часть которого соответственно равны:[︀ ]︀Re |= 2 cos(2(0 − Δ ) ) + cos(− + 2(0 − Δ )˜ )+=01 2 sin(− + 2(0 − Δ )˜ ) + cos( + 2(0 − Δ ) )−[︀]︀ sin( + 2(0 − Δ ) ) + 2 + 2 cos(2(0 − Δ )˜ );]︀[︀ = 2 sin(2(0 − Δ ) ) − cos(− + 2(0 − Δ )˜ )+Im |=01 2 sin(− + 2(0 − Δ )˜ ) + cos( + 2(0 − Δ ) )+[︀]︀ sin( + 2(0 − Δ ) ) + 2 + 2 sin(2(0 − Δ )˜ ).(4.30)Математическое ожидание и дисперсия комплексной случайной величиныопределены следующим образом:[︀ ]︀[︀ [︀ ]︀]︀[︀ [︀ ]︀]︀E |=ERe|+EIm|1 2 =01 2 =0 ;1 2 =0[︀ ]︀[︀ [︀ ]︀]︀[︀ [︀ ]︀]︀var 1 2 |=0 = var Re 1 2 |=0 + var Im 1 2 |=0 .(4.31)На нулевой циклической частоте |представляет собой случайную1 2 =0комплексную величину, рассматриваемую в качестве вектора.

Математическоеожидание и дисперсия такого вектора имеют вид:[︀ ]︀E |= 2 2(0 −Δ ) + 2 2 2(0 −Δ )˜ ;=01 2[︀ ]︀(︀ 2)︀22var =4+.|=01 2(4.32)(4.33)Для определения ЦВСПМ выполнен учет сдвига в спектральной областина 20 :1 = − + + ;2 = − −2(0 −Δ )+2(0 −Δ )˜+ ( + ).(4.34)Тогда выражение для ВЦСПМ принимает вид:|= 1 2*1 2 =20= 2 2(0 −Δ ) + ( + )− −2(0 −Δ )˜ +( + ) −2(0 −Δ ) +( + )( + )−2(0 −Δ )˜89(4.35)Действительная и мнимая часть которого соответственно равны:[︀ ]︀Re |= 2 cos(2(0 − Δ ) ) + cos(− − 2(0 − Δ )˜ )−=201 2 sin(− − 2(0 − Δ )˜ ) + cos( − 2(0 − Δ ) )− sin( − 2(0 − Δ ) ) + ( − ) cos(2(0 − Δ )˜ )+( + ) sin(2(0 − Δ )˜ );[︀ ]︀Im 1 2 |=20 = −2 sin(2(0 − Δ ) ) + cos(− − 2(0 − Δ )˜ )+ sin(− − 2(0 − Δ )˜ ) + cos( − 2(0 − Δ ) )− sin( − 2(0 − Δ ) ) − ( − ) sin(2(0 − Δ )˜ )+( + ) cos(2(0 − Δ )˜)(4.36)На циклической частоте, равной удвоенной несущей частоте, |1 2 =20представляет собой случайную комплексную величину, так же рассматриваемую в качестве вектора. Математическое ожидание и дисперсия такого вектораимеют вид:[︀ ]︀E |= 2 −2(0 −Δ ) ;1 2 =20[︀ ]︀(︀ 2)︀22var |=4+.1 2 =20(4.37)Оценка плотностей вероятности случайных векторов |и1 2 =0|, полученная методом Монте-Карло, показа на рис.