Диссертация (Модели и алгоритмы определения приоритетного направления движения воздушного судна по заданным маршрутам), страница 8

Различают три видапредсказаний:- предсказание с фиксированным интервалом: t2 = t, t1 – фиксировано;- предсказание с фиксированной точкой: t1 = t, t2 – фиксировано;- предсказание с фиксированным упреждением: t1 = t, t2 = t+Т,Т – фиксированное время упреждения.Выражение для предсказания с фиксированным интервалом приметвид:xˆ (t / t1 )  Ô (t , t1 ) xˆ(t1 ), t  t1(2.32)Оценка xˆ (t1 ) получается с помощью алгоритма фильтрации.

В ходевычислений поэтому требуется лишь вычислить переходную матрицусостояния Ф(t, t1) из уравнения:Фt , t1   F (t )Фt , t1 t(2.33)59Для предсказания с фиксированной точкой уравнение предсказанияимеет вид:xˆ (t2 / t )  Ô t2 , t xˆ (t ), t  t2(2.34)Фt 2 , t    F (t )Фt 2 , t t(2.35)Предсказание с фиксированным упреждением представляет особыйинтерес.

В этом случае требуется предсказать состояние на время Т вперед.Выражение для оценки примет вид:xˆ (t  T / t )  Ô (t  T , t ) xˆ (t ) .Чтобывычислитьпереходную(2.36)матрицусостояния,определить производную:Фt  T , t    Ф , t t   t T  Ф , t  t  t T(2.37)Преобразуя, получимdФt  T , t   F (t  T )Ф(t  T , t )  Ф(t  T , t ) F (t )dt(2.38)Ошибка предсказания может быть получена в виде~x (t2 / t1 )  x(t2 )  xˆ(t2 / t1 ) ,(2.39)в то время как x(t2) можно представить в виде:t2x(t 2 )  Ф(t 2 , t1 ) x(t1 )   Ф(t 2 ,  )G( )W ( )d(2.40)t1С учетом (2.39) можно записатьt2~x (t 2 / t1 )  Ф(t 2 , t1 ) ~x (t1 )   Ф(t 2 ,  )G ( )W ( )dt1(2.41)t 2  t1Из этого выражения может быть получена дисперсия ошибки.требуется60В работе [29] предлагается обобщенный метод прогнозирования сиспользованием аппроксимации полезного сигнала с учетом корреляционнойфункции или корреляционной матрицы полезного сигнала.

В качествеосновногокритерияопределениявидааппроксимирующихфункцийпринимается равенство вероятностных свойств полезного сигнала ивероятностных свойств аппроксимирующего его сигнала.Если считать, что математическое ожидание случайного процессаошибок измерений равно нулю, то вероятностные свойства полезногосигнала будут определяться только его корреляционной функцией длянепрерывного и корреляционной матрицей для дискретного сигнала [10].Дискретный аппроксимирующий сигнал может быть представлен ввиде:x  A ,*(2.42)гдеА - матрица-строкаm-порядкакоэффициентоваппроксимации;Φ - матрица размерности mn, строки которой являютсякоординатами дискретных аппроксимирующих функций.Корреляционнаяматрицапроцесса,описываемого(2.42),определяется зависимостью:K x*  M  T AT A(2.43)Так как в (2.43) случайными являются коэффициенты аппроксимации,то последняя зависимость преобразуется к виду:K x*   T M AT A (2.44)Из условия некоррелированности коэффициентов аппроксимации иравенства их дисперсий следует, чтоM AT A  I(2.45)61Тогда (2.44) примет вид:K x*   T (2.46)Выражение (2.46) можно переписать в виде:mK ij*    ki  kj , i, j  1, N .(2.47)k 1При определении i – ой ординаты k – ой аппроксимирующей функцииi – ые ординаты j – ой аппроксимирующей функции φij принимаютсяравными нулю при условии j > k, то есть ij  0, j  k(2.48)тогда на i – ом шаге:mK ii*    ki2   12i  ...

  i21,i   ii2   i21,i  ...k 1С учетом (2.48) можно записать:i 1 ii  K ii*    ki2 (3.53)k 1Исходя из условияmK ij*   ki kj  1i1 j   2i 2 j  ...  i 1,ii 1, j  iiij  i 1,ii 1, j , j  i(2.49)k 1По получении на предшествующих шагах значениям φkj, k  1, i зависимостьдля определения i,j – го элемента аппроксимирующей функции будетпредставлена в виде: ij K ij    ki  kj ii(2.50)Анализ, приведенный в работе [42], показал, что такой подход крешению задачи прогнозирования дает достоверность экстраполяции,совпадающую с потенциально возможной.62Сложность заключается в получении корреляционной матрицыпроцесса, которая не всегда может быть найдена в реальных условиях. В [15]в качестве процедуры прогноза для оценки состояния системы предлагаетсяаппроксимация вектора состояния Y ортогональными полиномами по методунаименьших квадратов [80] на предыдущем интервале, а затем этуаппроксимирующую функцию экстраполировать разложением в ряд Тейлоранаследующемфиксированноминтервале.Дляаппроксимациипредпочтительным считается использование полиномов Чебышева [34], таккак они обладают свойством „почти равных ошибок“, заключающемся в том,что ошибка аппроксимации колеблется внутри диапазона измерений междудвумя почти одинаковыми пределами.Благодаря этому свойству не могут возникнуть очень большие ошибкиаппроксимации.

Таким образом, производится „демпфирование“ ошибок.После определения наилучшего порядка полинома производитсяаппроксимация измерений. Использование полиномов Чебышева даетсглаженный выход z(t) в виде:zˆt   a0 p0 (t)  ...  am pm (t) ,где ẑ(2.51)- полиноминальная оценка;Φ - смещенная шкала времени, начинающаяся с нуля в моментпервого из N+1 измерений, к которым подгоняетсяполином.Если ввести обозначение:Y t   Y0 ...YN  , y i  y(t  j )Tгде τ – интервал дискретности, то (2.51) примет вид:(2.52)63 z 0   p 0   ...

p m    a 0 .  . .     .  .z  .   .   .  . .  z N   p 0   ... p m   a n ЗначенияаiвектораА(2.53)выбираютсятак,чтобыобеспечитьминимизацию функционала:J  Yz2 Y  PA2.(2.54)Тогда можно записатьА  РТ Р1РТ Y(2.55)Выражение (2.53) можно представить в виде:z (t )  P P T P1PT Y(2.56)Так как Рi(t) – ортогональные полиномы, то в общем виде можнозаписать:mz (t )    j (t ) j(2.57)j 0Аппроксимировавполиномами,можновzсоответствиивоспользоватьсядляс(2.57)ортогональнымиэкстраполяцииразложением в ряд Тейлора:zˆ(t   )  z (t )  ... mm!z ( m) (t )(2.58)Тогда можно записатьmz ( k )   a j p (jk ) (t )(2.59)j kСледовательноm1zˆ(t   )    k z ( k ) (t ),   0, T  .k  0 k!Подставляя (2.59) получим:(2.60)полинома64m  k mzˆ(t   )     a j p (jk ) (t ) k  0  k! j  k(2.61)Введем обозначения: p 0 0 ...

0  p p ... 0  1 1. .. F ,. . .. .. (n) p m p m ... p m (2.62)T2m  1,  , ,...,    1 ,...,  m 1 T .2!m! (2.63)Подставляя в (2.61) значения (2.60), можно записатьz (t   )  F  A  F  P T PTT1P T Y t (2.64)Таким образом, для формирования управляющих воздействий наинтервалепрограммногополиноминальнойуправленияаппроксимациейможнозначенийвоспользоватьсясигналовуправленияспоследующей экстраполяцией на фиксированный интервал времени.При решении задачи прогноза управляющих воздействий на бортуодним из основных требований является уменьшение времени на решениеданнойзадачи.Полиноминальнаяаппроксимациясиспользованиемортогональных полиномов требует достаточно больших затрат.Поэтому предложим комбинированный метод, включающий в себявышеизложенныйподходвсочетанииполиноминальной аппроксимации.склассическимиметодами652.4.

Разработка алгоритма прогноза управляющих воздействийКак было отмечено в предыдущем параграфе, задача экстраполяциирешается в два этапа. На первом этапе получают аппроксимирующийполином, а затем разложением данного полинома в ряд Тейлора получаютзначения прогнозируемого управляющего воздействия.Пусть по результатам предыдущих измерений известны дискретныезначения сигналов управления, подаваемых на исполнительные органы.Требуется найти полином Р(x), который в данных точках принимал бызаданные значения y i (i  0, m) . Тогда степень полинома не может бытьменьше m, и полином Р(x) может быть вычислен по интерполяционнойформуле Лагранжа .nnk 0k 0Pn ( x)   l k ( x) y k   y k ikx  xix k  xi(2.65)Но при большом значении m использование интерполяционногополинома Лагранжа сопряжено с большими вычислительными затратами.Поэтому необходимо получить такой полином Р(x), который, имея степеньn<<m в точках xi, принимал бы значения yi пусть не точно, но повозможности с меньшей ошибкой.Воспользовавшись методом наименьших квадратов, учитывая что всезначениярассматриваемогопроцессадействительные,коэффициенты аk полинома.nP(t )   a k t k , n  m(2.66)k 0В матричном виде (2.66) можно записатьp 0  1 1 1 ...

1  a 0p  1 t t 2 ... t n  a1  1 1  1 1.  . . ..  .P ..... . . . . ..  .  p N  1 t n t n2 ... t nn  a n(2.67)подберем66Коэффициенты аk полинома выбираются при условии, чтобы быливыполнены m+1 равенства:P(t i )  ui  0, i  0, m(2.68)В данном случае это невозможно, поэтому подбирают коэффициентыаk так, чтобы сумма квадратов отклонений искомого полинома от данныхзначений ui в данных точках была наименьшей. Таким образом, в качествекритерия оптимальности выберем выражение:mJ   P(t i )  u i 2(2.69)i 0С учетом (2.66):nJ    ak tik  ui i 0 k 0m2(2.70)Из (2.70) видно, что J – есть полином второй степени откоэффициентов аk.Учитывая, что сумма (2.70) не может быть отрицательной, можносчитать существование минимума заранее установленным.

Минимум могутдавать положительные значения коэффициентов аk, при которых суммаобращается в минимум, следует приравнять нулю частные производные отсуммы по всем коэффициенты аk.Получим систему уравнений:mJ  Pti   ui tik  0ak i 0(2.71)В соответствии с работой [16] можно записать:mm P(t )t   u t , l  0, mii 0lii 0li inmmk 0i 0i 0 ak  tik l   ui tilВведем следующие обозначения:(2.72)(2.73)67mb j   t i j , j  0,2ni 0(2.74)mql   u i t i , l  0, nji 0Тогда (2.73) примет вид:na bk 0kk l ql , l  0, n(2.75)Или в матричной форме записи:BA  Q,где(2.76)A   a0 a1 ... an Tb 0 b1 ... bn b b ... b12n 1 B. . ...

. . . . . . . . . bn bn 1 ... b 2n Исключим А из (2.76). Получим выражение для искомого полинома вматричном виде:P  TB -1Q .(2.77)Матрица Q может быть получена следующим образом:Q  T T U,гдеU  u1 u2 ... un T(2.78)Значения up – совокупность информации.Матрица ТТ имеет размерность (n+1)l, где n – порядок искомогополинома;l – число априорных значений управляющих воздействий.С учетом (2.78) полином может быть представлен следующим образом:P  TB -1 T T UИз (2.79) и (2.67) можно заключить, что(2.79)68A  T T B -1 U(2.80)Для решения задачи экстраполяции воспользуемся разложениемполинома (2.79) в ряд Тейлора:P(t  )  P(t )  p (t ) 2 m p ( m)p(t )   (t ) ,2m!(2.81)где θ - интервал прогноза.Выражение для расчета производных от полинома P(t) можно записать:μnp(m)   ak t k  ,μ  1,n k 0(2.82)Для интервала θ можно переписать:n1p(t   )    k p   (t )k  0 k!(2.83)С учетом выражения (2.82):  j  nkp(t   )     a k t  j  0  j!  k  0 n(2.84)Вновь введем обозначения: p 0 0 0 ...

0  p p 0 ... 0 1 1 ;G. . . . . . . (n) p m p m pm ... p m 2m  1, , ,  , 2!m! Подставив данные выражения в (2.84), окончательно получим:U(t)  GθT B -1T T U[0]Полученноеуправляющихвыражениевоздействий,(2.85)позволяетосновываясьпрогнозироватьнааприорнойзначенияинформации,получаемой до момента программного управления и тем самым формироватьуправляющие воздействия на весь период движения.69Выводы по второй главе1.В ходе анализа движения ВС было сделано допущение, что оноосуществляется по алгоритмам, записанным в память БЦВМ. Системауправления парирует внешние возмущения,и объект движется потраектории с расчетными фазовыми координатами.2.Была сформулирована цель исследования, как решение задачивыработки некоторого управляющего воздействия на периоде программногодвижения ВС с требуемым качеством процесса управления.3.Для решения задачи формирования управляющих воздействийбыли исследованы экстраполяторы нулевого и первого порядка. Сделанвывод, что фиксирующее звено нулевого порядка ведет себя как цепьзапаздывания, то есть элемент первого порядка дает слишком большойфазовый сдвиг и таким образом уменьшает степень устойчивости системы.4.Разработан алгоритм формирования управляющих воздействийна основе прогнозирования сигналов управления на интервал программногодвижения.