Диссертация (Модели и алгоритмы определения приоритетного направления движения воздушного судна по заданным маршрутам), страница 4

значения переменных(включая искусственные) в каждой вершине n-m равны нулю;- различие между соседними, смежными вершинами в группах базисныхи нулевых переменных определяется только одной переменной.Таким образом, следует сделать вывод о том, что определениеитерационной процедуры преобразований при определении маршрутадвижения возможны различные варианты. Для упрощения процессаопределения этих преобразований целесообразно ввести специальную формузаписи уравнений в виде таблицы, содержащей коэффициенты припеременных. Пример такой задачи на этапе выбора начального базисаx1  x2  0 представлен в табл. 1.1.Таблица 1.1 – Определение коэффициентов при переменныхБазисныепеременныеzy1y2S1S2S3S4РешениеZ1-3-200000S101210006S202101008S30-1100101S40010001226Перваястрокатаблицы1.1являетсянеизменнойисодержитобозначения целевой функции и всех, как базисных, так и нулевыхпеременных.

Вторая строка предназначена для информации о значенияхцелевой функции. Значение ее второго элемента принимается равным 1, апоследний – содержит результат процедуры максимизации целевой функциина данном шаге (в частности, при x1  x2  0 решение z=0), остальныеэлементы содержат, взятые с обратным знаком, значения коэффициентов ( Ci )целевой функции.Другие строки предназначены для заполнения информацией обограничениях типа равенств. При этом, последние элементы строк таблицысоответствуют свободным членам b j , в первые элементы этих строк,образующих первый столбец, заносится группа ненулевых, базисныхпеременных на данном шаге расчета (поэтому начальный базис содержитненулевые переменные S1  S4 ), а в остальные элементы заносятся значениякоэффициентов a ji при переменных, включая ненулевые коэффициенты дляфункции z.

После этого возможно успешное решение поставленной задачи,т.е. получение решения, соответствующего условиям оптимальности идопустимости.Такое представление итерационной процедуры преобразований приопределении маршрута движения позволяет достаточно просто проверитьвыполнение условия оптимальности и, если значения всех коэффициентов неотрицательны,тоутверждать,чтополученноерешениеявляетсяоптимальным. Также легко проверяется условие допустимости.После определения порядка включения и исключения переменных,общая вычислительная процедура включает операции, перечисленные ниже.В первую очередь определяется начальное допустимое базисное решение, идействия:271.Выбираетсяведущийстолбец,точнеевыбираетсявводимаяпеременная из числа нулевых, обеспечивающая улучшенное значениецелевой функции.2.

Выбирается ведущая строка, т.е. выбирается исключаемая переменнаяиз числа базисных, которая должна быть обнулена.3. Выбирается преобразование симплекс-таблицы, имеющей новыйсостав нулевых и базисных переменных.Чаще всего это преобразование проводится методом Гаусса-Жордана,реализуемого в процессе выполнения двух процедур:- формирование новой ведущей j-й строки по формуле: базиснаяпеременная этой строки заменяется вводимой переменной, а остальныеэлементы новой ведущей строки равны соответствующим элементам этойстроки, поделенным на генеральный коэффициент a ji ;- формирование остальных строк таблицы, в том числе и строки целевойфункции по формуле: элементы новой l- й строки равны элементам этойстрокиминуссоответствующиеэлементамновойведущейстроки,умноженные на элемент ali ведущего столбца этой строки.После выполнения преобразований симплекс-таблицы проводится новаяитерация расчетов путем возвращения к первому шагу, в результате чегоосуществляется переход к смежной вершине многогранника.Результаты проведенного анализа и практики применения методалинейного программирования позволяют сделать заключение о выборе его вкачестве основного при решении задач управления воздушным движением врайоне аэродрома, т.е.

для определения оптимальных, по критериюобеспечения безопасности полетов, маршрутов движения ВС. Кроме того,эти же результаты анализа и практика свидетельствуют о том, чтовыбранный метод линейного программирования является, по сравнению сдругими, наименее трудоемким при большом числе ограничений.28Объективность сделанных выше выводов подтверждается следующимпримером.Выберем исходные данные, представленные в таблице 1.1. Послевыбора вводимой переменной X1 и исключаемой переменной S2 на третьемшаге итерации, что означает переход из точки А многогранника в смежнуюкрайнюю точку В, формируется новая ведущая и другие строки:X1011/201/2004В частности, для строки целевой функции получим:1-3-200000÷ (-3)011/201/2000-0,501,5004=112После первой итерации значение целевой функции достигло Z=12, атаблица 1.1 будет иметь следующий вид (табл. 1.2).Таблица. 1.2 – Результаты первой итерации расчетовБазисныепеременные ZX1X2S1S2S3S4РешениеZ10-0,501,50012S1001,51-0,5002X1010,500,5004S3001,500,5105S40010012029В процессе второй итерации вводимой переменной выбирается X2,поскольку в строке целевой функции это соответствует единственномуотрицательному элементу- 0,5,а исключаемой переменной является S1.Это соответствует крайней точке С многогранника.

В результате преобразований получаем табл. 1.3.Таблица 1.3 – Результаты второй итерации расчетовБазисныепеременныеZX1X2Z100X20012/3-1/3004/3X1010-1/32/3001/3S3000-11103S4000-2/31/3012/3S11/3S211/3S30S40Решение12 2/3В таблице 1.3 в строке целевой функции ни одна из нулевыхпеременных S1 и S2 не имеет отрицательных коэффициентов. Следовательно,решение получено – максимальное значение целевой функции: Z =12 2/3.Значение влияющих на максимум переменных в точке экстремума (крайнийправый столбец: X1=3 1/3 , X2=11/3.При этом переменные S3=S4 = 0, чтоуказывает на важность последних двух ограничений в исходной остановкезадачи.30Окончательное решение имеет вид:Z=12 2/3, X1=3 1/3, X2=4/3;Z=3 X1+2 X2, =3(3 1/3) +2(4/3) =30/3 + 8/3 = 12 2/3 ;X1+2 X2+S1 =6, 3 1/3 + 2 (4/3) +0 =6, 10/3 + 8/3 =6, 6 = 6;2 X1 + X2 + S2 =8, 2(3 1/3) + (4/3) + 0 =8, 20/3 + 4/3 =8, 8 =8;- X1 + X2 + S3 =1, -(3 1/3) + (4/3) + 3 =1, -10/3 + 4/3 + 3 =1, -2 + 3 =1, 1 =1;X2 + S4 =2, 4/3 + 2/3 =2 , 6/3 =2 .Полученноерешениепозволяетперейтиквыборупараметровкорректирующих устройств регулятора в контуре управления воздушнымсудном, обеспечивающих максимальное быстродействие при ограниченияхна колебательность и запас устойчивости.В приводимом примере контур автоматического управления нормальнойперезагрузкой ВС представлен (рисунок 1.10) как :W01 ( s) 4 j3 j (s   2 j )W(s)и 02- передаточные функции ВСs  2 js 2  1 j s   0 j(объекта управления);j  1,...., k - номер режима полѐта ВС; Wр.п d- передаточнаяsdфункция привода рулей;Wк .

у 0 0s( s   );Wк . у1  2 s  11s  0; Wк . у 2 - передаточные функцииs s корректирующих устройств с выбираемыми параметрами 0 , 1 ,  2 , 1 , 2 .Wк.у0 (S)Wр.п(S)W01(s)zW02(s)nyWк.у1(S)Wк.у2 (S)Рисунок 1.10 – Структурная схема контура автоматического управлениянормальной перегрузкой ВС31Передаточная функция Ф(s) замкнутого контура управления имеет вид:Ф( s ) A0 js5  A4 j s 4  A3 j s 3  A2 j s 2  A1 j s  A0,где A4 j  d    1 j ;A3 j  d  1 j (d   )   0 j  d3 j1 ;A2 j  1 j d  0 j (d   )  d3 j ( 2 j1  0   4 j 2 );(1.4)A1 j  0 j d  d3 j ( 2 j0   4 j 1 );A0 j  d3 j 4 j 0 .В выражениях (1.4) коэффициенты  и  заданы, аэродинамическиепараметрымногорежимногообъекта 0 j , 1 j ,.....,  4 jменяютсявзависимости от номера j режима полета.

В качестве оценок устойчивости истепени колебательности системы управления ВС примем: ij Aij2Ai 1 , j Ai 1, j; i  1,...., 4,(1.5)Эти оценки характеризуют угол, стороны которого локализуют корнихарактеристического многочлена. С увеличением  ij угол уменьшается иснижается колебательность системы, поэтому для обеспечения заданногокачества необходимо выполнение условия: ij   i* , i  1,..., 4; j  1,....., k ,(1.6)*где  i - заданные пороговые значения оценок.Такойподходпозволяетвыбиратьпараметрыкорректирующихустройств удовлетворяющие выражению (1.6) на всех к режимах полѐта.Длярешениязадачиоптимизациимаршрута,т.е.полученияуправляющих воздействий на систему управления ВС параметры  ij должныиметь минимальное значение в пределах ограничений (1.6). Это гарантирует,что нарастание переходного процесса будет минимальным.32Описание алгоритма решения задачи представлено ниже.В первую очередь находим величины А 4j для всех к режимов полета ВС.Для каждого режима полета определяем максимально допустимоезначение обобщенного параметра A3jmax и параметра 1max :A3 j max A42 j 4*; 1 j max A3 j max  d  a1 j (d   )  a0 jda3 j.Выбираем первый из параметров регулятора равным 1  min{1 j max }.для обеспечения выполнения условия  4 j   4* на каждом режиме полета ВС.Подставляя полученное значение 1 в выражение для обобщенногокоэффициента А 3j, получаем его действительное значение, что позволяетперейти к следующему шагу расчетов.Далее находимA2 j max A32jA4 j 3* .(1.7)Формулируем условие выбора параметров регулятора  0 и  2 , сиспользованием соотношения (1.4) для обобщенного параметра A2 j ивыражение (1.6).Условие выбора параметров регулятора представлено соотношением(1.8).

Для каждого j-го режима полета ВС, кроме одного – наихудшего побыстродействию системы, должно быть справедливо:0  a4 j 2  b j , j  1,...., k 1,гдеbj A2 j max  a1 j d  a0 j (d   )da3 j(1.8) a2 j1.Далее, минимизируется время нарастания tн переходного процесса длянаихудшего режима полѐта ВС, что обеспечивает максимум целевойфункции: z  0  2 a4k , .33Затем, обозначив параметры  0 и  2 через переменные х1 и х2 и введяискусственные переменные s1 ,....., sk 1 , приходим к формулировке задачилинейного программирования в стандартном виде:z  x1  a4 k x2  0.s1  ....