Диссертация (Моделирование процессов деформирования многослойных тонких термоупругих пластин на основе метода асимтотической гомогенизации)

2СОДЕРЖАНИЕВведение4Глава 1. Разработка теории термоупругости многослойных тонких пластинна основе метода асимптотической гомогенизации101.1. Постановка трехмерной задачи линейной теории термоупругости длямногослойной пластины101.2. Асимптотические разложения для многослойной пластины121.3 Формулировка локальных задач141.4 Решение задачи нулевого приближения171.5 Решение задач первого, второго и третьего приближений191.6 Осредненные уравнения равновесия многослойных пластин211.7 Осредненные определяющие соотношения221.8 Осредненные кинематические соотношения231.9 Осредненная система уравнений равновесия для пластин231.10 Напряжения межслойного сдвига и поперечныенапряжения в пластине251.11 Пластины с симметричным расположением слоев261.12 Однослойная пластина при воздействии равномерноготемпературного поля26Глава 2.

Моделирование напряженно-деформированного состояниямногослойных тонких пластин при изгибе282.1 Задача об изгибе симметричной пластины равномерным давлением282.2 Сравнение решения задачи об изгибе многослойной пластины с трехмернымрешением302.3 Задача об изгибе многослойной пластины при неравномерномнагреве443Глава3. Разработка теории гармонических колебаний многослойных тонкихпластин на основе метода асимптотической гомогенизации493.1 Постановка трехмерной задачи линейной теории упругости приустановившихся колебаниях493.2 Асимптотические разложения для многослойной пластины503.3 Формулировка локальных задач колебаний пластины523.4 Решение задачи нулевого приближения533.5 Решение задачи первого, второго и третьего приближений543.6 Осредненные уравнения установившихсяколебаний многослойных пластин573.7 Осредненные определяющие соотношения теории пластин583.8 Осредненные кинематические соотношения теории пластин593.9 Осредненная система уравнений для установившихсяколебаний многослойных пластин603.10 Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряженияв пластине60Глава 4.

Моделирование гармонических изгибных колебаниймногослойных тонких пластин624.1 Изгибные колебания симметричной многослойной тонкой пластины624.2 Собственные колебания симметричной многослойной пластины654.3 Вынужденные изгибные колебания симметричноймногослойной пластины724.4 Разработка программного комплекса77Выводы и заключение79Список литературы804ВведениеНасегодняшнийденьвомногихотрасляхпромышленности:машиностроении, строительстве, авиа- и космической технике, медицине, имногих других в качестве элементов конструкций широкое применение находятмногослойные пластины из композиционных материалов.

Поэтому существуетпотребность развития математических моделей и методов, которые позволили быописывать происходящие в них процессы деформирования.Несмотря на появление в последнее время мощных вычислительныхсредств, позволяющих решать задачи теории упругости в общей трехмернойпостановке для конструкций сложной формы, интерес к решению задач вдвумерной постановке (для пластин и оболочек) не пропадает. Очевидныепреимущества двумерных постановок – снижение размерности задачи, отсутствиенеобходимости детального построения сеток по толщиной координате длядостижения приемлемой точности расчета напряжений. Однако платой засокращение размерности является уменьшение точности получаемого решения,главнымобразом,длянапряжениймежслойногосдвигаипоперечныхнапряжений, которые для многих задач играют наиболее важную роль припроектировании тонкостенных конструкций.Расчет этих напряжений в общей трехмерной постановке задачи теорииупругости крайне затруднителен, в связи с чем существует потребность вразработке уточненных методов теории тонких пластин и оболочек.Проблемы модификации классических теорий пластин и оболочек с цельюполучения уточненных алгоритмов расчета напряженно-деформированногосостояния тонких тел, рассматриваются во многих работах, укажем лишьнекоторые исследования в этой области [3, 4, 10, 13, 16-18, 20, 55, 58, 66-71, 81].Одним из методов упрощения задачи теории упругости в общей трехмернойпостановке является понижение размерности, которое может быть проведено,например при учете малости каких-либо параметров, входящих в задачу,5например толщины пластины, которая мала по сравнению с ее другимихарактерными размерами (длина, ширина) [49, 50].

Понижение размерности вэтом случае может быть осуществлено при помощи методов асимптотическогоосреднения [5, 8, 130], заменяющих традиционные гипотезы теории пластин. Такв работах [5, 59, 127] проведено исследование асимптотического поведенияуравнений равновесия при помощи рядов специального вида, применяющихсяпри осреднении уравнений с периодическимибыстро осциллирующимикоэффициентами, что позволило построить решение, асимптотически сходящеесяк решению задач трехмерной теории упругости.Для случая пластин применение асимптотического разложения в рядначалось с работы R.V.

Kohn, M. Vogelius [126]. Исследование пологих оболочекпроведено С.В. Шешениным и К.А. Скопцовым в [66]. В работах Г.П. Панасенко[5, 57, 58], М.В. Резцова [61-63] рассматривается применение методов осредненияи асимптотического разложения применительно к задаче теории упругости внеоднородной пластине толщины ɛ с характерным периодом неоднородностейтакже ɛ. В работе Горбачева В.И., Емельянова А.Н. [15] рассматриваетсяпроблема осреднения краевой задачи для неоднородного тела, обладающегомоментными свойствами.Обширный обзор литературы по применению асимптотических методовможно найти в [76].Отметим работы С.В. Шешенина [68-70, 71], О.А. Ходоса [71], в которыхпредложены теории тонких пластин и оболочек с двумерной микроструктурой –гофрированными, сотовыми, сетчатыми конструкциями, используя для этогометод асимптотического осреднения (метод гомогенизации - МГ), хорошозарекомендовавшийсебяприосреднениикомпозитовстрехмернойпериодической структурой [5, 59, 65, 33-38, 97, 155].

Применение МГ длядвумерных структур вызывает определенные сложности и не является частнымслучаем общей трехмерной задачи, поскольку двумерные пластины и оболочкисохраняют «третью» координату, но не облают по ней периодической структурой.В работах [66, 71] был предложен вариант МГ для тонких пластин, в котором6использовалось допущение о линейном характере распределения по толщинеглавных членов асимптотического ряда для перемещений, что позволилополучить систему уравнений типа Кирхгофа-Лява.В работе [22] был разработан МГ для тонких многослойных пластин, вкотором не делается такое предположение о линейности распределенияперемещений, в ней было показано, что для многослойных пластин такоелинейное распределение отсутствует, а имеет место аналог гипотезы ломанойлинии, используемой в теории Григолюка-Куликова [20].Актуальность темы.

Очевидные преимущества двумерных постановокзадач теории упругости для пластин и оболочек такие, как снижение размерностизадачи, отсутствие необходимости детального построения сеток по толщинойкоординатедлядостиженияприемлемойточностирасчетанапряжений,сохраняются и в настоящее время, и, по-видимому, будут актуальны ивостребованы еще достаточно долго. В этой связи попытки модификацииклассическихуточненныхтеорий пластиналгоритмови оболочек, направленные на получениерасчетанапряженно-деформированногосостояниятонких тел, продолжают быть актуальными.Востребованность и актуальность новых модификации классических теорийпластин и оболочек обусловила цель данной диссертации: разработатьматематическийаппаратдлярешениязадачтермоупругоститонкихмногослойных анизотропных пластин, на основе асимптотического анализаобщей трехмерной теории термоупругости путем введения асимптотическихразложений по малому параметру, без введения каких-либо гипотез относительнохарактера распределения перемещений и напряжений по толщине и задачмоделированиясобственныхколебанийтонкихупругихмногослойныханизотропных пластин, на основе асимптотического анализа общих трехмерныхуравнений упругих колебаний тел, без введения каких-либо гипотез относительнохарактера распределения перемещений и напряжений по толщине.Задачами настоящей работы являются:7- разработка теория термоупругости тонких многослойных анизотропныхпластин, на основе асимптотического анализа общей трехмерной теориитермоупругости путем введения асимптотических разложений по маломупараметру,безвведениякаких-либогипотезотносительнохарактерараспределения перемещений и напряжений по толщине;- разработка теория собственных колебаний тонких упругих многослойныханизотропных пластин, на основе асимптотического анализа общих трехмерныхуравнений упругих колебаний тел, без введения каких-либо гипотез относительнохарактера распределения перемещений и напряжений по толщине;- сравнение расчетов, полученных с помощью разработанных теорий и спомощью конечно-элементного решения трехмерных задач теории упругости итермоупругости на основе конечноэлементного метода.Научная новизна работы состоит:- в разработке теории термоупругости тонких многослойных анизотропныхпластин,котораяпостроенаизуравненийобщейтрехмернойтеориитермоупругости путем введения асимптотических разложений по маломупараметру,безвведениякаких-либогипотезотносительнохарактерараспределения перемещений и напряжений по толщине, и позволяет вычислитьвсе 6 компонент тензора напряжений, включая поперечные нормальныенапряжений и напряжения межслойного сдвига;- в разработке теории собственных колебаний тонких упругих многослойныханизотропных пластин, которая построена на основе асимптотического анализаобщих трехмерных уравнений упругих колебаний тел, без введения каких-либогипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений потолщине, и позволяет вычислить все 6 компонент тензора напряжений, включаяпоперечные нормальные напряжений и напряжения межслойного сдвига.В работе использованы следующие методы исследования:– метод асимптотической гомогенизации или метод асимптотическогоосреднения;8– численные конечно-элементные методы решения задачи трехмернойтеории термоупругости и задачи о свободных и вынужденных колебанияхупругих тел;– численные конечно-разностные методы решения дифференциальныхуравнений.На защиту вынесены следующие положения:- разработанная теория термоупругости тонких многослойных анизотропныхпластин,котораяпостроенаизуравненийобщейтрехмернойтеориитермоупругости путем введения асимптотических разложений по маломупараметру,безвведениякаких-либогипотезотносительнохарактерараспределения перемещений и напряжений по толщине;- разработанная теория собственных колебаний тонких упругих многослойныханизотропных пластин, которая построена на основе асимптотического анализаобщих трехмерных уравнений упругих колебаний тел, без введения каких-либогипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений потолщине.Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задач,применением классических математически методов, сравнением результатоврасчётов с результатами, полученными прямым конечно-элементным решением спомощью программного комплекса ANSYS.Апробация работы: основные результаты доложены на:- научнойконференции«Фундаментальныеиприкладныезадачимеханики», посвященная 135-летию кафедры теоретической механики именипрофессора Н.Е.