Диссертация (Моделирование процессов деформирования многослойных тонких термоупругих пластин на основе метода асимтотической гомогенизации), страница 2

Жуковского, февраль 2013;- III Международной научно-технической конференции «Аэрокосмическиетехнологии», посвященной 100-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея,май 2014;- Международнойнаучнойконференция"Физико-математическиепроблемы создания новой техники (PhysMathTech - 2014), посвященной 50-летию9Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э.Баумана17-19 ноября 2014 года.

2014;- XIX Международной конференции по вычислительной механике исовременным прикладным программным системам (ВМСППС’2015), май 2015;- Международной конференции Multiscale Modeling and Methods: Upscalingin Engineering and Medicine : Abstracts of the Fifth International Conference / Ed. byYu. Dimitrienko, G.

Panasenko ; Bauman Moscow State Technical University, Moscow: BMSTU, June 25-27, 2015;- и опубликованы в 12 работах [25-32, 39-40, 98, 99], в том числе в 4работах, опубликованных в журналах из списка ВАК [25, 27, 28, 39].Структура и объем работы: диссертация состоит из 4 глав, введения,выводов и заключения и списка использованной литературы из 172 наименований.Объем диссертации 97 с.10ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИМНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ НА ОСНОВЕМЕТОДА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ГОМОГЕНИЗАЦИИ1.1. Постановка трехмерной задачи линейной теории термоупругости длямногослойной пластиныРассмотрим многослойную пластину постоянной толщины, введем малыйпараметр   h / L  1 , как отношение общей толщины пластины h к характерномуразмеру всей пластины L (например, к ее максимальной длине).

Введемпрямоугольные декартовы координаты x , ориентированные таким образом, чтоkось Ox направлена по нормали к внешней и внутренней плоскостям пластины, а3осиOx1 , Ox 2 принадлежат срединной поверхности пластины. Кроме L введемследующие характерные величины: t0 - характерное время исследуемого процессанагрева, характерное значение плотности 0 , удельной теплоемкостиc0 ,температуры 0 , теплопроводности 0 , напряжения  0 .

Тогда можно ввестисоответствующие им безразмерные величины: t  t / t0 - время,xk  xk / L -координаты,    / 0 - плотность, c  c / c0 - теплоемкость,    / 0 - температуру,ij  ij / 0 - компоненты тензора теплопроводности, qi  qi L / 00 - компонентывекторатепловогопотока, ij   ij /  0 -компонентытензоранапряжений,Cijkl  Cijkl /  0 - компоненты тензора модулей упругости, u j  u j / L - компонентывектора перемещений,  j   / x - оператор дифференцирования по декартовымjкоординатам.

Волной сверху обозначены соответствующие размерные величины.Рассмотрим для многослойной пластины трехмерную задачу линейнойтеории термоупругости, которая в безразмерном виде записывается следующимобразом:11 j ij  0,C2 t  i qi ,1  jui  iu j  ,2g j   j , ij  ij  Cijkl ( kl   klT ),(1.1)qi  ij g j ,3 :  i 3   3 p i 3 ,q3   qe  ,T : ui  uei ,qI nI  0; S :[ i 3 ]  0,[u3 ]  0,иизсостоит[ q3 ]  0,уравнений[ ]  0равновесия,нестационарногоуравнениятеплопроводности, соотношений Коши, выражения для градиента температуры,определяющих соотношений термоупругости, закона Фурье, граничных условийна внешних поверхностях пластины оболочки – на внешней и внутреннейповерхности 3 (их уравнение имеет вид x3  h / 2 ), на торцевой поверхности T , атакже граничных условий идеального контакта на поверхности раздела  S слоевпластины ( [ui ] - скачок функций), которые могут и отсутствовать, например, дляоднослойной пластины.В системе (1.1) обозначены: p - давление ивнешнихповерхностяхпластины,uei -q0 - тепловой поток назаданныекомпонентывектораперемещений на торцах пластины.

Торцы предполагаются теплоизолированными.В уравнениях (1.1) также обозначены:  ij - компоненты тензора малыхдеформаций,  klT   kl  - компоненты тензора тепловой деформации, которыеявляются функциями перепада температуры     0 , где 0 - начальнаяотсчетная температура, kl -компоненты тензора теплового расширения.Компоненты тензора модулей упругости Cijkl , теплопроводности ij , тепловой12деформации  klT , а такжемассовая теплоемкость C   c / Fo0 ( Fo  0t0 / 0c0 L2 -критерий Фурье) - различны для каждого слоя многослойной пластины.

Никакогоспециального допущения об анизотропии материалов слоев не делаем. Малыелатинские индексы пробегают значения 1,2,3, а большие : I,J,K… - принимаютзначения 1,2.В системе (1.1) приняты 3 основных допущения:1) давление на внешней и внутренней поверхностях пластины имеет третийпорядок малости O( 3 ) т.е. 33   3 p ,2) продолжительность нагрева не слишком велика, в том смысле, что критерийФурье Fo  0t0 / 0c0 L2 процесса нагрева имеет один порядок малости с  2 , т.е. Fo   2 Fo0 , где Fo0 число порядка 1: Fo0  O(1) ;3) давления p и тепловой поток q0 - мало изменяются на расстояниях порядка h.Этидопущения,какправило,соответствуютреальнымусловиямнестационарного термонагружения тонких пластин во многих приложениях, вчастности в задачах аэродинамического нагрева теплозащиты высокоскоростныхлетательных аппаратов [19].1.2.

Асимптотические разложения для многослойной пластиныВведем безразмерную локальную  координату:   x3 /  . Координаты x и3 , как обычно, в методе асимптотического осреднения [11] рассматриваются какнезависимые переменные. Координата  по толщине пластины изменяется вдиапазоне 0.5    0.53Тогда термоупругие характеристики пластины можнорассматривать как функции координаты  :  ( ) ,  {Cijkl , ij ,  klT , C} ,(1.2)13в результате задача (1.1) содержит локальную координату  , а также малыйпараметр  , поэтому ее решение можно искать в виде асимптотическихразложений по параметру  в виде функций, зависящих от глобальных илокальной координат:uk  uk(0) ( xI )   uk(1) ( xI ,  )   2uk(2) ( xI ,  )   3uk(3) ( xI ,  )  ...(1.3)   (0) ( )   (1) ( xI ,  )   2 (2) ( xI ,  )   3 (3) ( xI ,  )  ... .Здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквамиI, J, K, Lпринимают значения 1,2, а индексы i, j , k , l - значения 1,2,3.Подставим разложения (1.3) в выражения для  ij и gi в системе (1.1), приэтом используем правила дифференцирования функций локальных координат[10-12] (  / x   / x  (1/  ) j 3 /  ), тогда получимjj ij   ij(0)   ij(1)   2 ij(2)  ...

,gi 1gi( 1)  gi(0)   gi(1)   2 gi(2)  ... ,(1.4)где1 IJ( m )  (uI( m, J)  uJ( m, I) ) ,212 I( 3m )  (u3,( mI )  uI( m/ 31) ) , 33( m )  u3/( m31) ,(1.5)m=0,1,2,…g I( 1)  0 ,g3( 1)   /(0)3 ,gI( m)  ,(Im) ,(1.6)g3( m )   /(3m 1)и.т.д.,здесь обозначены производные по локальной координате ui(1)/ 3  ui(1) /  и поглобальным координатам uI(1), J  uI(1) / xJ .Подставляя выражение (1.3) длятемпературы в формулы (1.2), получаем асимптотические разложения длятепловой деформации пластины:14 klT   klT(0)  klT   2 klT(1) klT ( m )   kl  ( m) ,(0)(0)(2) ...m  0,1, 2...(1.7) 0 , ( m)   ( m) ,m  1, 2...

.Подставляя выражения (1.4) и (1.7) в закон Гука и закон Фурье в системе (1.1),получаем асимптотическое разложения для напряжений и теплового потока ij   ij(0)   ij(1)   2 ij(2)  ... ,qi 1( 1)iqq(0)iq  q(1)i2(2)i(1.8) ...где( m) IJ( m)  CIJKL KL CIJk 3 k( m3 )  CIJkl klT ( m) ,( m)i3C( m)i 3 KL KLC( m)i 3k 3 k 3C T ( m)i 3kl kl(1.9),qi( 1)  33 g3( 1) ,qi( m )  iJ g J( m )  i 3 g3( m ) ,m  0,1, 2...(1.10)CijK 3  2CijK 3 ,Cij 33  CijK 3 .1.3 Формулировка локальных задачПодставляя разложения (1.3),(1.4),(1.8) в уравнения равновесия и граничныеусловия системы (1.1), получим1(0)(1)(1)(2)2(2)(3) i(0)3/ 3  ( iJ , J   i 3/ 3 )   ( iJ , J   i 3/ 3 )   ( iJ , J   i 3/ 3 )  ...  0 ,12(C t (0)  q3/( 31) ) 1(C t (1)  qI( , I1)  q3/(0)3 )  (C t (2)  qI(0), I  q3/(1)3 )   ...

 0 ,(1)2 (2)33 :  i(0)3   i 3    i 3  ...   p i 3 ,1(q3( 1)qe  )  q3(0)   q3(1)   2 ...  0;(1.11)15T : ui(0)   ui(1)   2ui(2)   3ui(3)  ...  uei ,1( qI( 1)  qI(0)   qI(1)   2 ...)nI  0 .Приравняем в уравнениях равновесия и теплопроводности этой системычлены при отрицательных степенях  к нулю, а при остальных степенях от  кнекоторым величинам hi(0) , hi(1) , hi(2) … и b(0) , b(1) , b(2) …, не зависящим от  . Аналогичнопоступим с граничными условиями, в результате получим рекуррентнуюпоследовательностьлокальныхзадачтермоупругости.Локальнаязадачатермоупругости для нулевого приближения имеет вид i(0)3/3  0,( 1)C  t (0)  q3/30(0)(0) i(0)3  Ci 3 KL KL  Ci 3 k 3 k 3 ,q3( 1)  33 g3( 1) ,g3( 1)   /3(0) ,121 (u3,(0)I  uI(1)/3 ),2(1) u3/3, IJ(0)  (uI(0), J  u J(0), I ), I(0)3 33(0)3 :  i(0)3  0;q3( 1)   qe  ; S :[ i(0)3 ]  0,[ui(1) ]  0, ui(1)  0.(1.12)[ qi( 1) ]  0,[ (0) ]  0,16Локальная задача термоупругости для первого приближения такова(0)(0) i(1)3/3   iJ , J  hi ,(0)C  t (1)  qI( , I1)  q3/3 0,(1)(1)T (1) i(1)3  Ci 3 KL KL  Ci 3 k 3 k 3  Ci 3 kl  kl ,q3(0)  3 J g J(0)  33 g3(0) ,121 (u3,(1)I  uI(2)/3 ),2(2) u3/3, IJ(1)  (uI(1), J  u J(1), I ), I(1)3 33(1)(1.13)g3(0)   /3(1) ,g J(0)  ,(0)J3 :  i(1)3  0;q3(0)  0; S :[ i(1)3 ]  0,[ui(2) ]  0,[ q3(0) ]  0,[ (1) ]  0, ui(2)  0;для второго приближения(1)(1) i(2)3/3   iJ , J  hi ,(1)C  t (2)  qI(0), I  q3/3 0,(2)(2)T (2) i(2),3  Ci 3 KL KL  Ci 3 k 3 k 3  Ci 3 kl  klq3(1)  3 J g J(1)  33 g3(1)12 IJ(2)  (uI(2), J  u J(2), I ),12(3) u3/3, I(2)3  (u3,(2)I  uI(3)/3 ), 33(2)(1.14)g J(1)  ,(1)J ,g3(1)  ,3(2) ,3 :  i(2)3  0;q3(1)  0; S :[ i(2)3 ]  0,[ui(3) ]  0, ui(3)  0;[ q3(1) ]  0,[ (2) ]  0,17для третьего приближения(2)(2) i(3)3/3   iJ , J  hi ,(2)C  t (3)  qI(1), I  q3/3 0,(3)(3)T (3) i(3),3  Ci 3 KL KL  Ci 3 k 3 k 3  Ci 3 kl  kl q3(2)  3 J g J(2)  33 g3(2)121 I(3)3  (u3,(3)I  uI(4)/3 ),2(3)(4) 33  u3/3, IJ(3)  (uI(3), J  u J(3), I ),(1.15)g J(2)  ,(2)J ,g3(2)  ,3(3) ,3 :  i(3)3   p i 3 ; S :[ i(3)3 ]  0,q3(2)  0;[ui(4) ]  0,[ q3(2) ]  0,[ (3) ]  0, ui(4)  0;и т.д.

Здесь обозначена операция осреднения по толщине пластины0.5 ui(1) ui(3) d .(1.16)0.5Уравнения равновесия в системе (1.11) после введения функций hi(0) , hi(1) , hi(2)принимают видhi(0)   hi(1)   2 hi(2)  ...  0 .(1.17)Решением локальной задачи нулевого приближения (1.12) – являются(0)(0)функции u (1)j ,  kl ,  ij , они зависят от локальных координат  l и входных данныхэтой задачи – перемещений u(0)j ( xJ ) и теплового потока.

Решением задачи (1.13)(1)(1)(1)(0)являются функции u(2)в этой задаче – входные данные. В задачеj ,  kl ,  ij , а u j ,  ij(2)(1)(1)(2)(2)(1.14) функции u(3)j ,  kl ,  ij - неизвестные, а u j ,  kl ,  ij - входные данные и т.д.1.4 Решение задачи нулевого приближенияВвиду того, что задачи (1.12)-(1.15) являются одномерными по локальнойпеременной  , их решение можно найти аналитически. Поскольку задача18термоупругости является несвязанной, то решение задачи нестационарнойтеплопроводностивсистеме(1.12)можнонайтиотдельноотзадачимеханического равновесия. Будем считать, что эта задачаCt (0)  (33 /(0)3 )/ 333 /(0)3   qe  ;3 :[33 /(0)3 ]  0,S :(1.18)[ (0) ]  0.решена, например, численно, и найдено температурное поле  (0) ( , xJ , t ) . Тогдарешение уравнений равновесия с граничными условиями в локальной задаче(1.12) имеет вид i(0)3  0 ,  : 0.5    0.5 .(1.19)Подставляя сюда выражение (1.9) для  i(0)3 , получим(0)Ci 3KL KL Ci 3k 3 k(0)3  Ci3kl klT (0)  0 .(1.20)Выразим из этой системы уравнений деформации  k(0)3(0) k(0)3  Ck31i 3 (Ci 3KL KL Ci 3kl klT (0) ) ,(1.21)где Ci31k 3 матрица компонент, обратная к Ci3k 3 .

Подставляя в (1.21) выражения длядеформаций  k(0)3 из формул (1.5), после интегрирования с учетом условий ui(1)  0 , находим перемещения ui(1) :(0)uI(1)   u3,(0)I   KLU IKL  U IT ,(1.22)(0)u3   KLU 3 KL  U 3T ,где обозначены функцииU iKL ( )  2(Ci31j 3C j 3 KL d  0.5U iT ( )  2( 2(Ci31j 3C j 3 KL d  )  2(0.5CZ T (0)ikl klC j 3kl  klT (0) d   ZiKL  Ci31j 3C j 3KL ,CZ iKL d   Z iKL d  )0.5C j 3kl  klT (0) d  ) 1i3 j3(1.23)0.5d  0.50.51i3 j30.5Zikl  klT (0) d ),0.5Zikl  Ci31j 3C j 3kl ,(0)( xJ ) , согласно (1.5), не зависят от  .здесь учтено, что деформации  KLПодставляя выражение (1.21) в первую группу соотношений (1.9), находим,что напряжения  IJ(0) , в отличие от  i(0)3 , являются ненулевыми19(0)(0)(0) T (0) IJ(0)  CIJKL KL CIJkl kl ,(1.24)(0)CIJkl CIJkl  CIJn3Cn31i 3Ci 3kl .(1.25)1.5 Решение задач первого, второго и третьего приближенийЗадачитеплопроводности в системах (1.13), (1.14) и (1.15) решаютсярекуррентно, не зависимо от задач механики.