Диссертация (Моделирование процессов деформирования многослойных тонких термоупругих пластин на основе метода асимтотической гомогенизации), страница 6

В задаче (3.11) функцииu (2)j ,  kl ,  ij , а u j ,  ij(2)(1)(1)(2)(2)u (3)j ,  kl ,  ij - неизвестные, а u j ,  kl ,  ij - входные данные и т.д.3.4 Решение задачи нулевого приближенияВвиду того, что задачи (3.9)-(3.11) являются одномерными по локальнойпеременной  , их решение можно найти аналитически. Решение уравненийравновесия с граничными условиями в локальной задаче (3.9) имеет вид i(0)3  0, : 0.5    0.5 .Подставляя сюда выражение (3.7) для(3.15) i(0)3 , получим(0)Ci 3 KL KL Ci 3k 3 k(0)3  0 .(3.16)Выразим из этой системы уравнений деформации  k(0)3(0) k(0)3  Ck31i 3Ci 3 KL KL,(3.17)54где Ci31k 3 матрица компонент, обратная к Ci 3k 3 .

Подставляя в (3.17)выражения длядеформаций  k(0)3 из задачи (3.9), после интегрирования с учетом условий  ui(1)  0 ,находим перемещения ui(1)u(1)I  u(0)3, I 2(0)KLCCi 3KL d  1I 3i 3(0.5(0)u3(1)   KL(CCi 3KL d  133i 30.5CCi 3KL d ) ,1I 3i 30.5(3.18)CCi 3KL d ) ,133i 30.5(0)( xJ ) , согласно (3.9), не зависят от  .здесь учтено, что деформации  KLПодставляя выражение (3.17) в первую группу соотношений (3.7), находим,что напряжения  IJ(0) , в отличие от  i(0)3 , являются ненулевыми(0)(0) IJ(0)  CIJKL KL,(3.19)(0)CIJKL CIJKL  CIJk 3Ck31i 3Ci 3 KL .(3.20)3.5 Решение задачи первого, второго и третьего приближенийРешение уравнений установившихся колебаний (3.10), (3.11) и (3.12) вместес граничными условиями на  S и   0.5 имеет вид(1)i3( iJ(0), J   2ui(0) )d  hi(0) (  0.5) ,(3.21)( iJ(1), J   2ui(1) )d  hi(1) (  0.5) ,(3.22)0.5 i(2)3 0.5(3)i3  p i 3 ( iJ(2), J   2ui(2) )d  hi(2) (  0.5) .(3.23)0.5Условиясуществованияудовлетворяющихграничнымвнешней поверхности   0.5 ,решенияусловиям(3.21)-(3.23) i(1)3  0,задач i(2)3  0,(3.10)-(3.12), i(1)3   pнаприводят к следующей системе уравнений длявычисления функций hi(0) , hi(1) , hi(2)hi(0)   iJ(0), J       2ui(0) ,(3.24)55hi(1)   iJ(1), J   2  ui(1)  ,(3.25)hi(2)   iJ(2), J   2  ui(2)  pi 3 ,p  p  p .(3.26)т.к.

ui(0) - не зависит от  . С учетом формул (3.24)-(3.26), напряжения  i(3m ) (3.21)(3.23) принимают вид i(1)3 (  iJ(0), J   iJ(0), J  (     ) 2ui(0) )d ,(3.27)(  iJ(1), J   iJ(1), J   2 (  ui(1)    ui(1) ))d ,(3.28)0.5(2)i30.5 ( p  p(  0.5)) i 3 (3)i3(  iJ(2), J   iJ(2), J   2 ( ui(2)   ui(2) ))d .(3.29)0.5Если подставить выражения (3.19) в (3.27), то с учетом (3.15) получим длянапряжений  i(1)3 следующую формулу(0) I(1)3   KL,J(0)(0)( CIJKL CIJKL)d 0.5 33(1) (     ) 2uI(0) d ,0.5(3.30)(     ) 2u3(0) d .0.5Заметим,чтовотличиеотквазистатическойустановившихся колебаний напряжение 33(1)задачи[15],дляотлично от нуля.

Выразимдеформации  k(1)3 из 4-й группы соотношений (3.7), тогда с учетом формул (3.27),получим(1)k3 C1k 3i 3(1)i 3 KL KLC(0)KL , J1k 3I 3C(0)(0)( CIJKL CIJKL)d  0.5 C21(0)k 3i 3 iu.(3.31)(     ) d 0.5Если подставить теперь (3.31) в 3-ю группу соотношений (3.7), то найдемоставшиеся напряжения 1-го приближения(0)(0)(1)(0)(0)2(0), N IJKLM IJ(1)  CIJKL KL NIJKLM KL CIJk 3Ck31P3, M   GIJi ui(0)(0)( CPMKL CPMKL)d ,0.5GIJi  CIJk 3Ck31i 30.5(3.32)(     ) d  .56(1)Деформации  KLс учетом формул (3.10), (3.18) можно представить в виде(1)(0), KL KL  ФKLMNS  MN,S(3.33)KL  u3,(0)KL ,(3.34)ФKLMNS ( )  ФKLMNS ( )  ФKLMNS ( )  ,ФKLMNS ( )   (C CL31i 3 SK )Ci 3MN d .1K 3i 3 SL(3.35)0.5С учетом формул (3.33), выражения (3.32) принимают вид(0)(0)(0)2(0) IJ(1)   CIJKLKL  NIJKLM KL, M   GIJi ui ,(3.36)(0)(0)N IJKLM N IJKLM ФIJKLM .Вычислим перемещение ui(2) второго приближения, используя третьюформулу (3.7), и пятую формулу в (3.5), тогда получим(1)1(1)(1)uI(2)/3  u3, I  2Ck 3i 3 ( IJ  Ci 3 KL KL ) ,(1)1(1)(1)uI(2)/3  u3, I  2CI 3i 3 ( i 3  Ci 3 KL KL ) ,После интегрирования этого выражения с учетом условий  ui(2)  0 , находимперемещения ui(2)uI(2) u3,(1)I d  0.5uI(2) 0.5u3,(1)I d  2 0.5u3,(1)I d  0.5(1)Ck31i 3 ( IJ(1)  Ci 3KL KL)d  20.5u3,(1)I d  2 0.5C1k 3i 3(1)( IJ(1)  Ci 3KL KL)d0.5(1)CI31i 3 ( i(1)3  Ci 3 KL KL )d  2C1I 3i 30.5(1)( i(1)3  Ci 3 KL KL )d .573.6 Осредненные уравнения установившихся колебаний многослойныхпластин.Подставляя выражения (3.24)-(3.25) в асимптотическое разложение (3.14)уравнений равновесия, получим  iJ(0), J       2ui(0)   (  iJ(1), J   2   ui(1) ) (3.37) 2 (  iJ(2), J   2   ui(2)  p i 3 )  ...

 0.Домножим уравнения системы (3.8) на  и проинтегрируем их потолщине, тогда получим следующее вспомогательное уравнение (  IJ(0), J   2   uI(1)     I(1)3 ) (3.38) 2 (  IJ(1), J   2   uI(2)     I(2)3 )  ...  0,(2)Здесь учтено, что   i(1)3/ 3     i(1)3  ,   i(2)3/ 3     i 3  в силу граничных условий(1)на 3 :  i(0)3  0,  i 3  0 .Введем обозначения для усилий TIJ , моментов M IJ и перерезывающих силQI в пластинеTIJ   IJ(0)     IJ(1)  ... ,QI     I(1)3   2   I(2)3  ...

,(3.39)M IJ     IJ(0)   2   IJ(1)  ... ,а также обозначения для обобщенных перемещений пластиныU i    ui(0)     ui(1)   2   ui(2)  ... Г I     uI(1)   2   uI(2)  ...где     .Если в этих выражениях сохранить только главные члены асимптотическихразложений, то, с учетом (3.18), получимU i  ui(0)(0) Г I    uI(1)  Ru3,(0)I   KLRIKL ,RIKL  2 0.5CI31i 3Ci 3KL d    2  CCi 3KL d  ,1I 3i 30.558R     2  .Тогда уравнения (3.37)-(3.38) можно записать в традиционном для теориипластин виде уравнений равновесия и уравнений моментов при установившихсяколебанияхTIJ , J   2U I  0 ,QJ , J   2U3  p ,(3.40)M IJ , J  QI   2 Г I  0,Это и есть искомые осредненные уравнения установившихся колебаниймногослойной пластины, здесь обозначено p   2 p .

Эти уравнения отличаютсяот традиционных уравнений колебаний пластин [10 ] только наличием слагаемого(0) KLRIKL в коэффициентах Г I .3.7 Осредненные определяющие соотношения теории пластинПодставляя выражения (3.19), (3.30), (3.36) для напряжений  IJ(0) ,  IJ(1) ,  I(1)3 винтегралы формул (3.39), получим(0)(0)2(0)TIJ  CIJKL KL BIJKLKL  KIJKLM  KL, M   GIJi ui(3.41)(0)(0)2 ˆ(0)M IJ  BIJKL KL DIJKLKL  K IJKLM  KL, M   GIJi ui(3.42)(0)2(0)2(2)QI  KIJKL KL, J   GuI     I 3 (3.43)где обозначены тензоры осредненных упругих констант пластины(0)(0)CIJKL  CIJKL CIJKL    CIJk 3Ck31i 3Ci 3 KL  , BIJKL     CIJKL,(0)K IJKLM    N IJKLM,K IJKL   (0)(0)( CIJKL CIJKL)d  ,0.5(0)DIJKL   2   2CIJKL,(0)K IJKLM   2   N IJKLM,(3.44)59GIJi    GIJi    CIJk 3Ck31i 3(     )d  ,0.5Gˆ IJi   2   GIJi   2  CIJk 3Ck31i 3(     )d  ,0.5G  (     )d  .0.5В частном случае, когда выполняются условия: 1) слои пластинырасположены симметрично относительно плоскости   0 , и 2) толщины всехслоеводинаковы,функциивидаотносительно плоскости , а функции(0)(0) CPMKL CPMKLбудутсимметричными(0)(0)( CPMKL CPMKL) - антисимметричными,0.5поэтому следующие функции являются нулевымиBIJKL  0 ,K IJKLM  0 , K IJKL  0GIJi  0(3.45)и определяющие соотношения (3.41)-(3.43) принимают более простой вид(0)TIJ  CIJKL KL,(0)2 ˆ(0)M IJ  DIJKLKL  K IJKLM  KL, M   GIJi ui ,(3.46)который, для моментов имеет отличный вид от классической теории пластинКирхгофа-Лява и Тимошенко [15] из-за второго и третьего слагаемых.3.8 Осредненные кинематические соотношения теории пластинВ систему осредненных определяющих соотношений (3.41)-(3.43)входят(0)деформации срединной поверхности  KL, кривизны KL и градиенты деформаций(0)uI(0) , u3(0) глобальных переменных xI , KL, N , которые зависят от 3 функций1 IJ(0)  (uI(0), J  u J(0), I ) ,2KL  u(0)3, KL.(3.47)603.9 Осредненная система уравнений для установившихся колебаниймногослойных пластинПодставляя далее выражения (3.41)-(3.43) и (3.47) в систему (3.40),получаем систему относительно 3 неизвестных функций uI(0) , u3(0),CIJKLuK(0), LJ  BIJKLu3,(0)KLJ  KIJKLM uK(0), LMJ   2 (GIJi     i 3 )ui(0),J  02(0)(0)(0)BIJKLuK(0), LJI  DIJKLu3,(0)KLJI  K IJKLM uK(0),LMJI   2Gˆ IJi ui(0), IJ   ( Ru3, II  uK , LI RIKL  u3 )  p(3.48)Эта система имеет четвертый порядок относительно прогиба u3(0) , как вклассической теории пластин Кирхгофа-Лява, и третий порядок производныхотносительно продольных перемещений uI(0) , чем отличается от теории КирхгофаЛява.

Отличается она также наличием слагаемых приGIJi ,RIKL иGˆ IJi .Разработанная теория многослойных пластин близка по характеру распределенияперемещений по толщине к теории ломаной нормали Э.И.Григолюка [1],поскольку перемещения согласно (3.3) и (3.17) с точностью до членов 1-гопорядка малости имеют вид (3.18).Нелинейная зависимость перемещений uk от  обусловлена различиеммодулей упругости для разных слоев пластины.3.10 Напряжения межслойного сдвига и поперечные напряжения в пластинеПосле того как решены осредненные уравнения (3.48), и найдены функцииuI(0) , u3(0) , можно вычислить деформации (3.47), а затем напряжения  IJ(0) поформулам (3.19).

Сдвиговые напряжения  I(0)3 и поперечное напряжение  33(0) , какбыло установлено, в пластине тождественно равны нулю. Ненулевые значениясдвиговых напряжений появляются у следующего члена асимптотическогоразложения -  I(1)3 , согласно (3.30).

Для поперечного напряжения первое васимптотическом ряду ненулевое значение – это значение  33(1) , которое61вычисляется согласно (3.30), а следующие члены разложения -  33(2) и  33(3) - по(3.28), (3.29): 33  (     ) 2u3(0) d   20.5(  3(1)J , J   3(1)J , J  (     ) 2ui(1) )d 0.5 ( p  p(  0.5) 3( (2)3J ,J ,(2)3J ,J  (  u2(2)i(3.49)   u ))d )(2)i0.5I3  (  IJ(0), J   IJ(0), J  (     ) 2uI(0) )d  ,0.5 2(3.50)(  IJ(1), J   IJ(1), J   2 (  uI(1)    uI(1) ))d0.5Таким образом, разработанная теория тонких пластин позволяет найти всешесть компонент тензора напряжений.62ГЛАВА 4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ИЗГИБНЫХКОЛЕБАНИЙ МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН4.1 Изгибные колебания симметричной многослойной тонкой пластиныРассмотрим в качестве примера классическую задачу об установившихсяизгибных колебаниях многослойной пластины прямоугольной формы поддействием равномерно распределенного давления.