Диссертация (Математическое моделирование задач механики деформируемого твердого тела и численные методы их решения), страница 6

В качестве такой, выберем задачу одноосного растя­жения плоских образцов (толщина 1.5 мм, общая длина 180 мм, длина рабочей части 60 мм)из титанового сплава ОТ-4 при постоянных напряжениях и температуре 500 ∘ C [89]. Для ееописания будем использовать конкретизацию определяющих соотношений энергетическоговарианта теории ползучести (1.11)-(1.13) вида⎧1 ⎪⎪= ·,⎨ ()⎪⎪=.⎩Ψ()(1.22)В качестве функции напряжения будем использовать экспоненциальную зависимость () = e ,(1.23)а функцию удельной энергии рассеяния , учитывая отсутствие упрочнения материала, при­мем в формеΨ() = (* − )− .(1.24)Здесь , , – характеристики материала.Подставляя функции (1.23)-(1.24) в систему (1.22), при = 0 = const, получим⎧1 e0⎪⎪⎨ = · = ( − ) ,00*(1.25)0⎪ e⎪⎩=.(* − )В качестве начальных условий для системы (1.25) примем(0) = 0, (0) = 0.(1.26)Найдем аналитическое решение задачи (1.25)-(1.26), используя результаты диссертацииГорева Б.

В. [20] и статьи [23]. Из второго уравнения системы (1.25) получим∫︁(* − ) =0∫︁ e0 = e0 .0Вычисляя интеграл, стоящий слева,∫︁∫︁*(* − ) =0 =]︀1 [︀ +1* − (* − )+1 ,+1* −найдем выражение для удельной энергии рассеяния, которое запишем в форме26]︀1/(+1)[︀− ( + 1)e0 () = * − +1.*(1.27)Используя соотношение (1.27), получим деформацию ползучести[︂]︂1/(+1)()( + 1)e0 +1() == * − * −, * = * /0 .00+1(1.28)При подстановке в формулу (1.27) вместо удельной энергии рассеяния ее критическогозначения * , можно найти величину длительной прочности конструкции]︀−1[︀.* = +1· ( + 1)e0*(1.29)Отметим также, что в случае переменных напряжений аналитическое решение задачи(1.25)-(1.26) удается получить в очень редких случаях.В начале 70-х годов О.

В. Сосниным с коллегами был проведен ряд экспериментовна ползучесть плоских образцов из титанового сплава ОТ-4 при постоянных и переменныхнапряжениях в диапозоне температур = 400 − 550∘ С [93, 94].По результатам экспериментов, для определяющих уравнений (1.25) были определеныхарактеристики ползучести, которые для температуры = 500∘ С имеют вид [89](︀)︀4(︀)︀−1, = 0.111 кГ/мм2 ч−1 .* = 9 кГ/мм2 , = 3, = 0.35 кГ/мм2(1.30)Перевод параметров (1.30) в систему СИ осуществляется заменой 1 кГ/мм2 ≈ 9.8 МПа.В таблице 4 приведены теоретико-экспериментальные данные о процессе деформирова­ния плоских образцов из титанового сплава ОТ-4 для трех значений начального напряжения0 = 98, 112.7 и 147 МПа, где * , * , * и * , * , * – рассчетные данные, полученные в ста­тье [89], и аналитические значения, рассчитанные по формулам (1.27)-(1.29), для длительнойпрочности, деформации ползучести и удельной энергии рассеяния в момент разрушения со­ответственно, остальные обозначения аналогичны, используемым в таблице 1.Таблица 4.

Основные теоретико-экспериментальные данные для титанового сплава ОТ-40 , МПа* ,ч** ,ч*984440.714450.9112.72110.512650.78147650.6780.6* ,МДж/м388.2* ,ч*446.22760.9263.96830.782677.54270.6* ,МДж/м388.2Как и при моделировании растяжения образцов из стали Х18Н10Т, задача (1.25)-(1.26)имеет одну предельную особую точку, приходящуюся на момент разрушения. Можно такжеожидать, что приближение к особой точке вызовет затруднение при численном решении сиспользованием явных методов.Рассмотрим приблеженное решение задачи (1.25)-(1.26) с характеристиками ползучести(1.30). В качестве методов численного интегрирования задачи Коши, используем методы ЭЯ,ЭКЯ и РК4Я.27В таблице 5 приведены результаты численного решения задачи (1.25)-(1.26) для трехзначений начального напряжения 0 = 98, 112.7 и 147 МПа с шагом интегрирования ℎ =10−1 , 10−2 , 10−3 , 10−4 ч.

Обозначения аналогичны приведенным в таблице 2, * – расчетноезначение удельной энергии рассеяния в момент разрушения.Таблица 5. Расчетные данные для титанового сплава ОТ-4 при постоянном шаге0 ,МПаℎ , ч* ,*МДж/м3* , ч , мсМетод ЭЯ98−1100.850883.379446.6446612.4910−20.861184.384446.2744627122.4810−30.884486.6702446.2334462231243.1−40.893887.5903446.2282446228212575−1100.720781.2269264.326437.1810−20.747584.2422264.012640173.1310−30.781788.0972263.974263974736.4−4100.772487.0491263.96892639689717310−10.521476.646177.87782.48110−20.56482.90677.58775821.510−30.574984.504777.54777547213.8−40.592887.144977.54337754332157.310112.714710Метод ЭКЯ98112.710−10.815179.8815446.2446218.8610−20.879286.159446.2344623185.75−3100.869385.1932446.2274462271868.710−40.88386.5367446.227544622751887010−10.760585.7052264264011.24−20.755585.1494263.9726397109.86−3100.755685.1534263.9682639681110.610−40.770686.8503263.968326396831094510−10.50574.227777.57753.4740.550880.969977.54775431.9710−30.5986.727577.54377543325.910−40.585186.002577.54277754273260.710−214710Метод РК4Я98−1100.820280.3785446.2446228.3710−20.842382.5437446.2244622283.3Продолжение таблицы 5 на следующей странце28Таблица 5 (продолжение)0 ,МПа98112.7147ℎ , ч*10−30.8710−4−1* ,* , ч , мс85.2604446.2274462272826.50.883586.5788446.2275446227528387100.683477.0151263.9263916.5310−20.72481.5956263.9626396165.9710−3МДж/м30.75785.3161263.9682639681673.8−4100.774187.2374263.968326396831678610−10.508174.689877.57755.07710−20.553881.408577.54775449.2510−30.566983.329877.54277542490.1−40.586386.179477.54277754274926.210В таблице 6 приведены результаты численного решения задачи (1.25)-(1.26) длятрех значений начального напряжения 0 = 98, 112.7 и 147 МПа с переменным шагоминтегрирования при оценке точности вычислений по методу РРР с параметрами 1 =10−1 , 10−2 , 10−3 , 10−4 и 2 = 1 /2.

Величина начального шага ℎ = 1 ч. Обозначения ана­логичны используемым в таблицах 3 и 5.Таблица 6. Расчетные данные для титанового сплава ОТ-4 при переменном шаге0 ,МПа1** ,МДж/м3* , чℎmin , чℎmax , ч ,мсМетод ЭЯ9810−10.988.1997446.55133 · 10−110.5282814.3410−20.988.1982446.26110−140.062528031137.630.00782822061394.4283841613999−310−410112.71470.988.1999446.2309−199 · 10−2210−45 · 100.988.2446.227910−10.782488.1734264.16062 · 10−100.5283814.36810−20.782688.1994263.98779 · 10−160.031328225137.88−180.00392806991388.5−3100.782688.1997263.970310−40.782688.2263.968510−225 · 10−428364791397210−10.599988.179977.60083 · 10−110.125281514.2310−20.688.198777.54824 · 10−150.015628631140.02−192818171375.8−3100.688.199777.543310−40.688.277.54283 · 109 · 10−31010−231.2 · 10−42815748138866 · 10−844424.027Метод ЭКЯ9810−10.897287.9238446.2303Продолжение таблицы 6 на следующей странце29Таблица 6 (продолжение)0 ,МПа981*10−20.910−30.9−4147 ,* , чℎmin , чℎmax , ч88.1978446.22764 · 10−150.5427234.1888.1992446.227610−170.031342881332.10.00394218893282.1МДж/м3−21мс0.988.1999446.22763 · 1010−10.781888.112263.96992 · 10−924484.16310−20.782688.1934263.96833 · 10−140.25425034.340.031342509330.90.0024260363321.310112.7* ,−3100.782688.199−1710263.9683−4100.782688.1999263.968310−10.599588.131477.543210−1014544.23510−20.688.195477.54274 · 10−150.0625427133.92−170.007842200329.110−2210−34266923324.2446.22754 · 10−6161112.092−10287611.39−3100.688.197677.542710−40.688.199977.5427−212 · 106 · 10Метод РК4Я10−198112.71470.891287.334−2100.899288.124446.22762 · 1010−30.899988.1886446.22762 · 10−130.258505106.210−40.988.1998446.22763 · 10−200.0156857221040.310−10.772487.0492263.96832 · 10−581092.017−13188711.83−2100.782588.1876263.96835 · 1010−30.782688.1972263.96834 · 10−150.125847299.810−40.782688.1995263.96839 · 10−190.0156849811032.641051.915−1100.592287.058777.54274 · 1010−20.599388.100777.54275 · 10−100.588812.3610−30.599988.189977.54276 · 10−140.031385041060.0039843711020.2−4100.688.198777.5427−6−1710На рис.

1.4 изображены кривые ползучести для задачи деформирования образцов изсплава ОТ-4, полученные методом РК4Я с переменным шагом интегрирования при контро­лем точности вычислений по методу РРР с параметрами 1 = 10−4 и 2 = 5 · 10−5 .

Точкамиотмечены экспериментальные данные [89]. Квадратными маркерами отмечены кривые, со­ответствующие точным аналитическим решениям (1.27)-(1.29). Треугольными маркерамиотмечены приближенные решения задачи (1.25)-(1.26). Конец кривой отмечается последниммаркером соответствующего типа. Фактически кривые, соответствующие расчетным и ана­литическим решениям, сливаются в одну. Кривые ползучести, полученные с использованиемпостоянного шага интегрирования, имеют аналогичный вид. Результаты эксперимента длясплава ОТ-4 приведены в приложении Б.30Рис.

1.4. Кривые ползучести для сплава ОТ-4, метод РК4Я, переменный шаг, 1 = 10−4На рис. 1.5 даны зависимости шага интегрирования от аргумента для задачи(1.25)-(1.26) при использовании контроля точности вычислений по методу РРР с параметра­ми 1 = 10−4 и 2 = 5 · 10−5 . Введены следующие обозначения: a – метод ЭЯ, b – метод ЭКЯ,c – метод РК4Я.Рис. 1.5. Зависимость шага ℎ от аргумента для задачи (1.25)-(1.26)31Используя аналитическое решение (1.27)-(1.30) задачи (1.25)-(1.26), расчитаем относи­тельную погрешность деформации ползучести и удельной работы рассеяния в -ойточке по формулам [2, с.

22-25]∆∆(︁ )︁ · 100%, = (︁ )︁ · 100%,(1.31)()() ⃒ (︁ )︁⃒⃒ (︁ )︁⃒⃒⃒()() ⃒()() ⃒где ∆ = ⃒ − ⃒ и ∆ = ⃒ − ⃒ – абсолютные погрешности деформации =()()ползучести и удельной работы рассеяния соответственно, и – расчетные значения()деформациии удельной энергии рассеяния в момент времени соответственно,(︁ )︁(︁ ползучести)︁()() и – точные значения деформации ползучести и удельной энергии рассеяния()в момент времени , расчитанные по формулам (1.27)-(1.30).На рис. 1.6 даны зависимости относительной погрешности от аргумента для задачи(1.25)-(1.26) при использовании метода РК4Я: сплошлошные линии – переменный шаг (1 =10−3 и 2 = 1 /2), штрих пунктирная линия – постоянный шаг (ℎ = 10−3 ч).Рис.

1.6. Зависимость погрешности от аргумента для задачи (1.25)-(1.26)В таблице 7 приведена относительная погрешность удельной работы рассеяния при рас­чете задачи (1.25)-(1.26) методами ЭЯ, ЭКЯ, РК4Я с постоянным и переменным шагом, гдедля относительной погрешности удельной работы рассеяния вычислены следующие величи­ны [28, с. 32-33, 36]: max – максимальное значение, med – медиана, av – среднее значениеи dev – среднее квадратическое отклонение от среднего значения.